第三章 线性系统的时域分析 3.1 引言 3.2 线性系统的稳定性 3.3 劳斯—赫尔维茨稳定判据 3.4 系统时间相应的性能指标 3.5 典型系统的动态性能分析 3.6 高阶系统的运动 3.7 线性系统的稳态误差Date1电子信息工程学院3.1 引言对自动控制系统性能的基本要求：★稳★准★快★稳定性：稳定性是对系统的基本要求，不稳定的系统不能实现预定任务稳定性通常由系统的结构决定与外界因素无关★快速性： 对过渡过程的形式和快慢提出要求，一般由动态性能描述★准确性：在参考输入信号作用下，当系统达到稳态后，其稳态输出与参 考输入所要求的期望输出之差叫做给定的稳态误差显然，这种误 差越小，表示系统的输出跟随参考输入的精度越高，准确性用稳态 误差来表示Date2电子信息工程学院系统分析时域分析频域分析根轨迹分析系统分析 ： 在给定系统的条件下，将物理系统抽象成数学模型，以其数学模型为依据，用成熟的数学方法和先进的计算工具对表征系统 特性的性能指标进行分析、研究和评价 以微分方程或传递函数为数学模型，直接在时间域中研究 线性定常系统的时间响应，并对系统进行分析及评价 时域分析：特点： 直观、准确、物理概念清楚 。
不适合高阶复杂系统的分析 局限性：数学模型 系统分析 系统综合校正和设计Date3电子信息工程学院3.2 线性系统的稳定性一 、稳定性的基本概念 θ例3-1 单摆的运动例3-2 倒摆的运动例3-3 光滑轨道平衡状态平衡状态平衡状态平衡状态 ，稳定的平衡状态不稳定平衡状态稳定不稳定大范围（全局）稳定小范围（局部）稳定稳定的平衡工作状态平衡状态不稳定的平衡工作状态大范围稳定的平衡工作状态小范围稳定的平衡工作状态Date4电子信息工程学院线性系统的平衡状态• 描述线性系统运动的微分方程如下 对于线性控制系统，系统仅有唯一的平衡工作点0因此平衡 工作点的稳定性将直接称其为系统的稳定性系统受到扰动大小（初始状态）只影响自由运动中各个模态 前的系数，不会影响系统的稳定性• 在系统输入为0时，自由运动• 0是系统唯一的平衡点Date5电子信息工程学院c(t)t非线性系统的平衡状态§ 平衡状态下系统停止运动，这意味着系统中变量 不再随着时间的推移而变化，所以平衡状态下变 量的各阶导数为0考虑下述非线性一阶系统：平衡状态： 设系统的初始状态为系统的运动：c0>1c01过阻尼βImRe(b) 0<ξ<1欠阻尼ImRe(c) ξ=1临界阻尼th(t)012th(t)1001tt0h(t)1h(t)Date40电子信息工程学院3、系统参数对阶跃响应的影响（1） 对阶跃响应的影响 通常取 为宜，此时超调量 适度，调节时间也较短。
（2）T对阶跃响应的影响 th(t)0t12t13t1T=T0T=2T0T=3T0如果参数 增大几倍，则响应 曲线就在横坐标方向“展宽”同样 的倍数 Date41电子信息工程学院4、二阶系统的动态性能指标（二阶欠阻尼系统）(1)上升时间 (2)峰值时间 由于Date42电子信息工程学院(3)超调量由于 故上式可写为(4)调节时间进一步近似为 Date43电子信息工程学院3.6 高阶系统的时域分析在有些情况下（去掉某些零极点对系统的响应的曲线形态影响 不大），可以找到系统传递函数的一对主导极点，将高阶系统 降阶为二阶系统系统的闭环传递函数为 ：求系统的单位阶跃响应Date44电子信息工程学院假设闭环传递函数均为单极点和单零点，应用留数法可得 各运动模态在整个阶跃响应中的作用取决于两个因素：ü 每一项在整个输出中所占的“比重”即的大小，愈大，其所对应的运动模态对整个输出的贡献就愈大；ü 极点离虚轴的相对距离极点离虚轴愈远，其对应的暂态分量衰减愈快因而，远离虚轴的极点所对应的运动模态在整个系统到达稳态之前早已消逝，而那些离虚轴较近的极点所对应的运动模态衰减很慢，在整个过渡过程中始终起作用。
Date45电子信息工程学院极点所对应的运动命题题1 若闭环传递 函数中一极点与某零点靠的很近，，则可认为该 极点被零点 抵消偶极子——Date46电子信息工程学院命题题2 如果闭环传递 函数中有某一极点与其它的零点和极点相比远离原点，一般可忽略该极点的作用由于Date47电子信息工程学院主导极点• 对于一个稳定的高阶系统，如果存在靠近虚轴的一个实数极点或一对共轭复数极点，且在其附近又无零点存在，其它的极点或因远离虚轴或为偶极子而被忽略掉，则这个或这对极点称为高阶系统的闭环主导极点它决定了高阶系统的过渡过程的主要特征• 由于欠阻尼情况的二阶系统有较好的过渡过程，所以在实际的工程设计中，常取主导极点为一对共轭复极点此时，高阶系统可用其主导极点所对应的二阶系统近似因此可用二阶系统的分析方法来估计原高阶系统的过渡过程及各性能指标Date48电子信息工程学院降阶时注意系统增益不变Date49电子信息工程学院零极点对阶跃响应的影响 1、零点对阶跃响应的影响假设系统增加一个闭环实 零点，即系统中增加了一个串连环节且闭环零点位于复平面的左半平面可见见，增加一个闭环闭环 左实实零点后，系统阶跃统阶跃 响应应增加了一项项，该项该项 的值值 与 的变化率成正比，与该零点离虚轴的距离成反比。
显然，该零点的 增加将使系统响应过程加快，超调量增大，使系统对输入作用的反应灵敏 了Date50电子信息工程学院反之，如果增加的闭环零点位于复平面的右半平面，即显然，这将使系统响应过程变慢，超调量减小，系统对输入 作用的反应变滞呆了Date51电子信息工程学院2、极点对阶跃响应的影响假设系统增加一个闭环左实极点系统在单位阶跃信号作用下输出的拉普拉斯变换像函数 系统中增加一个闭环左实极点，系统的过渡过程将变慢，超调量将 减小，系统的反应变得较为呆滞 对于闭环传递函数存在右实极点的情况，系统时域响应是发散的， 系统不稳定，所以不予讨论 Date52电子信息工程学院3.7 线性系统的稳态误差讨论稳态误差的前提条件：稳定系统控制系统的性能 动态性能 稳态性能 —稳态误差控制系统的稳态误差，是系统控制准确度(控制精度)的一种度量 ★ 稳态误差的不可避免性：稳态误差是系统的原理性误差，是由系统本身的特性和系统的输入的形式决定的本节主要讨论线性控制系统由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差即原理性稳态误差的计算方法Date53电子信息工程学院一、稳态误差的定义1、误差的定义定义1 上式定义的误差，在系统性能指标的提法中经常使用，但在实际系统中有时无法量测，因而一般仅具有数学意义。
定义2 被控量的期望值与实际值之间的差值将被控量的期望值用系统的输入信号 替代，相应地用反馈信号替代被控量 的实际值从系统输入端定义从系统输出端定义r(t)－e(t)c(t )G(s)F(s)b(t )Date54电子信息工程学院两种定义之间的关系r(t)r’(r)e’(t)G(s)F(s)c(t)－1/F(s)r(t)－e(t)c(t )G(s)F(s)b(t )等效单位反馈被控量的 期望值Creq● 对于单位负反馈系统，两种定义是一致的 ● 对于非单位反馈系统 Date55电子信息工程学院2、稳态误差的定义稳态分量 暂态分量 ，对于稳定系统稳定系统在输入量或扰动的作用下，经历过渡过程进入稳 态后的误差称为稳态误差 定义根据拉氏变换 的终值 定理，当 在 右半平面及虚轴上解析时，有不满足中值定理时Date56电子信息工程学院二、稳态误差的计算1、控制输入下的稳态误差及静态误差系数r(t)－e(t)c(t )G(s)F(s)b(t )—系统的误差传递函数根据拉氏变换 的终值 定理，当 在 右半平面及虚轴上解析时，有※若sE(s)在原点有极点，可用中值定理求得∞，说明ess(t)是 趋于无穷的，但具体的函数形式需由Laplace反变换来求。
Date57电子信息工程学院（1）单位阶跃输入 系统的静态位置误差系数 ：定义稳态误差输入信号系统的结构和参数—开还传递函数—开环传递函数中含有积分单元的个数 —0型系统 —1型系统 —2型系统 Date58电子信息工程学院（2）单位斜坡输入 系统的静态速度误差系数 ：定义（3）单位加速度输入 系统的静态加速度误差系数 ：定义Date59电子信息工程学院误差系数系统类型静态位置误差 系数静态速度误差 系数静态加速度误差 系数0型系统1型系统2型系统00∞0∞∞静态误差系数与系统类型之间的关系Date60电子信息工程学院单位阶跃函数输入信号静差系统类型单位斜坡函数单位加速度函数0型系统∞∞1型系统0∞2型系统00稳态误差与系统的类型和输入信号之间的关系0型系统可以有静差的跟踪阶跃信号、不能够跟踪斜坡、加速度信号—有差系统1型系统可以无静差的跟踪阶跃信号、有静差的跟踪斜坡信号、不能够跟踪加速度 信号—一阶无差系统2型系统可以无静差的跟踪阶跃信号和斜坡信号、有静差的跟踪加速度信号 —二阶无差系统Date61电子信息工程学院例3-13 设有一非单位反馈控制系统， , ，输入信号 ,试分别确定当 为1和0.1时，系统输出端 的稳态位置误差 。
系统开环传递函数系统输出端的稳态位置误差此时，系统输出量的希望值为 解Date62电子信息工程学院例3-14单位负反馈系统的开环传递函数 ，求输入 时的稳态误差 1型单位负反馈稳定系统单位负反馈系统的开环传递函数 ，分别求输入 时的稳态误差 例3-15此系统为1型单位负反馈稳定系统Date63电子信息工程学院例3-16已知闭环系统的开环传递函数为 ，分别求斜坡输入 和正弦输入 时系统的稳态误差 此系统为1型稳定系统当系统为斜坡输入 时 当输入为正弦函数 时 不能应用 拉普拉斯 变换的终 值定理 Date64电子信息工程学院2、扰动作用下的稳态误差R(s)E(s)N(s) C(s)－ B(s)由扰动信号 造成的误差为—非单位反馈系统的开环传递函数 记—扰动误差传递函数 根据拉氏变换 的终值 定理，当 在 右半平面及虚轴上解析时，有Date65电子信息工程学院系统是否存在误差取决于扰动作用点之前传递函数 所含有的积分环节个数，且稳态误差的大小与 的比例系数成反比。
扰动的稳态误 差与系统结构、参数及输入信号之间的关系扰动输 入000Date66电子信息工程学院例3-17设比例控制系统如图所示图中， 为单位阶跃信号； 为比例控制器输出转矩，用以改变被控对象的位 置； 为阶跃扰动转矩试求系统的稳态误差 K1R(s)E(s)M(s)N(s)系统为I型系统, 对阶跃输入信号的稳态误差为零 扰动作用点前，积分环节个数为0，扰动作用点后，积分环节个数为1， 系统在扰动阶跃扰动转矩作用下的稳态误差 系统总的稳态误差Date67电子信息工程学院三、减小或消除稳态误差的措施1、增大系统开环比例系数或扰动作用点之前的前向通道比例系数增大开环比例系数以后，对于0型系统可以减小系统在阶跃输入时的位 置误差；对于I型系统，可以减小系统在斜坡输入时的速度误差；对于II型系统，可以减小系统在加速度输入时的加速度误。