初等几何研究广西民族师范学院 数学与计算机科学系 张龙军 13123411259909242428 02科学严谨的几何证明科学严谨的几何证明 主要内容主要内容2024/9/33•§§1 1 几何证明概述几何证明概述•§§2 2 证度量关系证度量关系•§§3 3 证位置关系证位置关系 2024/9/34学习重点：学习重点：重点是几何题的各种证明方法及应用．同一法、三角法、重点是几何题的各种证明方法及应用．同一法、三角法、向量法等方法的应用是难点．向量法等方法的应用是难点． 度量关系：线段或角的相等；和差倍分线段角；度量关系：线段或角的相等；和差倍分线段角；比例线段；定值问题的证法；比例线段；定值问题的证法；位置关系：平行的证法；垂直的证法；共线点的位置关系：平行的证法；垂直的证法；共线点的证法；共点线的证法；共圆点的证法；共点圆的证法；共点线的证法；共圆点的证法；共点圆的证法；证法； §§1 1 几何证明概述几何证明概述一、几何证明的一般方法一、几何证明的一般方法1.按推理的逻辑结构分按推理的逻辑结构分2024/9/35逻辑推理逻辑推理演绎推理（证明推理）演绎推理（证明推理）合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理 一、几何证明的一般方法一、几何证明的一般方法2024/9/36数学证数学证明方法明方法演绎法演绎法归纳法归纳法普通归纳法普通归纳法数学归纳法数学归纳法完全归纳法完全归纳法不完全归纳法不完全归纳法v演绎法：证题时由一般规律推导特殊事项的推理方法称为演绎法．换句话说，演绎法是从一般到特殊的推理方法.v归纳法：以个别或特殊的知识为前提推导出一般性知识为结论的推理方法称为归纳法．即归纳法是从特殊到一般的推理方法．§§1 1 几何证明概述几何证明概述 一、几何证明的一般方法一、几何证明的一般方法2.2.按推理的序列方向分按推理的序列方向分2024/9/37分析法分析法——由命题的结论出发，执果索因，探寻由命题的结论出发，执果索因，探寻由命题的结论出发，执果索因，探寻由命题的结论出发，执果索因，探寻结论（及中间结论）成立的必要条件，如此逐步往结论（及中间结论）成立的必要条件，如此逐步往结论（及中间结论）成立的必要条件，如此逐步往结论（及中间结论）成立的必要条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实。
上逆求，直至达到已知的事实上逆求，直至达到已知的事实上逆求，直至达到已知的事实 综合法综合法————由命题的假设入手，由因导果，通过由命题的假设入手，由因导果，通过由命题的假设入手，由因导果，通过由命题的假设入手，由因导果，通过一系列的正确推理，逐步靠近目标，最终得出结论．一系列的正确推理，逐步靠近目标，最终得出结论．一系列的正确推理，逐步靠近目标，最终得出结论．一系列的正确推理，逐步靠近目标，最终得出结论．证题方法证题方法§§1 1 几何证明概述几何证明概述 一、几何证明的一般方法一、几何证明的一般方法3.3.按所证明的命题类型分按所证明的命题类型分2024/9/38证题方法证题方法直接证法间接证法反证法同一法归谬法穷举法v（１）直接证法：由命题的假设出发，根据定义，公理，定理进行一系列正面的推理，最后得出命题的结论，此证明方法称为直接证法．v（２）间接证法：对于不能直接证明的命题，我们往往证明它的等效命题（如逆否命题），这种证明方法称为间接证法．§§1 1 几何证明概述几何证明概述 间接证法间接证法包括包括反证法反证法与与同一法同一法①①反证法反证法：由否定结论的正确性出发，根据假设，定义，公理，定理进行一：由否定结论的正确性出发，根据假设，定义，公理，定理进行一系列正确的推理，最后得出一个与命题的假设或某个公理，定理或自相矛盾系列正确的推理，最后得出一个与命题的假设或某个公理，定理或自相矛盾的结果，表明结论的反面不能成立，从而可以肯定原结论的正确性．的结果，表明结论的反面不能成立，从而可以肯定原结论的正确性．利用反证法，当结论的反面只有一款时，否定了这一款便完成了证明，这种利用反证法，当结论的反面只有一款时，否定了这一款便完成了证明，这种反证法叫反证法叫归谬法归谬法；；当结论的反面有多款时，必须驳倒其中每一款，这种反证法称为当结论的反面有多款时，必须驳倒其中每一款，这种反证法称为穷举法穷举法．．②②同一法同一法：若欲证某图形具有某种性质而又不易直接证明时，有时可以作出：若欲证某图形具有某种性质而又不易直接证明时，有时可以作出具有所有性质的图形，然后证明所作的图形与所给的某图形就是同一个，把具有所有性质的图形，然后证明所作的图形与所给的某图形就是同一个，把他们等同起来，这种证明方法称为他们等同起来，这种证明方法称为同一法同一法．．2024/9/39§1 几何证明概述几何证明概述v一、几何证明的一般方法一、几何证明的一般方法v3.按所证明的命题类型分按所证明的命题类型分证题方法证题方法直接证法间接证法反证法同一法归谬法穷举法 一、几何证明的一般方法一、几何证明的一般方法4.4.按所选知识工具分按所选知识工具分2024/9/310证题方法证题方法平面几何证法三角法代数法（如复数法）坐标法（解析法）向量法……§§1 1 几何证明概述几何证明概述 §1 几何证明概述例例1.1.在单位正方形的周界上任意两点之间连一条曲线在单位正方形的周界上任意两点之间连一条曲线l l，如，如果它将正方形分为面积相等的两部分，试证：这曲线的长度果它将正方形分为面积相等的两部分，试证：这曲线的长度不小于不小于1 1．． 2024/9/311v二、例题选讲二、例题选讲MNCBAD 分类思想、化归思想分类思想、化归思想 §1 几何证明概述例例2 2 以正方形ＡＢＣＤ的一边ＣＤ为底向形内做等腰三角以正方形ＡＢＣＤ的一边ＣＤ为底向形内做等腰三角形形△△ＥＣＤ，使其两底角都是１５ＥＣＤ，使其两底角都是１５°°，则，则△△ＡＢＥ是等边ＡＢＥ是等边三角形．三角形．2024/9/312ＡＢＣＤＥＥ’v二、例题选讲二、例题选讲ＡＢＣＤＥF同一法同一法．． §1 几何证明概述例例2.2.以正方形ＡＢＣＤ的一边ＣＤ为底向形内做等腰三角形以正方形ＡＢＣＤ的一边ＣＤ为底向形内做等腰三角形•ＥＣＤ，使其两底角都是１５ＥＣＤ，使其两底角都是１５°°，则，则△△ＡＢＥ是等边三角形ＡＢＥ是等边三角形．．2024/9/313v二、例题选讲二、例题选讲ＡＢＣＤＥFG21三角法三角法．． §1 几何证明概述2024/9/314v思考题.v1.证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.• 已知：直角三角形ＡＢＣ，Ｍ是斜边ＡＣ的中点，• 求证：ＡＭ＝ＢＭ＝ＣＭ. ＡＢＣＭDE穷举法穷举法．． §1 几何证明概述例例3.3.设设ＡＢＣＤ为任意四边形，ＡＢＣＤ为任意四边形，E、、F将将AB分成三等分，分成三等分，G、、H将ＣＤ分成三等分，求证：将ＣＤ分成三等分，求证：S SEFGH= S= SABCD．．2024/9/315v二、例题选讲二、例题选讲 §1 几何证明概述例例3.3.设ＡＢＣＤ为任意四边形，设ＡＢＣＤ为任意四边形，E E、、F F将将ABAB分成三等分，分成三等分，G G、、H H将ＣＤ分成三等分，求证：将ＣＤ分成三等分，求证：S SEFGHEFGH= S= SABCDABCD．．2024/9/316v二、例题选讲二、例题选讲特特殊殊化化思思想想x3x5x3yy5y只需证只需证 §1 几何证明概述♠二、例题选讲：二、例题选讲：2024/9/317 例例4.如图，如图，AD为为△△ABC的的BC边上的中线，边上的中线，O为为AD上一点，直线上一点，直线BO、、CO与与AC、、AB分别交于分别交于E、、F.求证：求证：EF∥ ∥BC．． 证法1：延长OD,补平行四边形 §1 几何证明概述Ø例例5. 5. 在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABCABC中，中，M M是腰是腰ACAC的中点，的中点，过直角顶点过直角顶点C C作作CD⊥BMCD⊥BM于于D D，，CDCD延长线交延长线交ABAB于于E E．．Ø求证：求证：∠∠AME=∠CMBAME=∠CMB．．2024/9/318♠二、例题选讲二、例题选讲补形补形FNαγβØ略证：易证△CAN≌△BCM，Ø因此N是AF的中点，Ø由对称性可知，FM经过点E，Ø立即可知∠AME=∠CMB． §1 几何证明概述Ø例例5. 5. 在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABCABC中，中，M M是腰是腰ACAC的的中点，过直角顶点中点，过直角顶点C C作作CD⊥BMCD⊥BM于于D D，，CDCD延长线延长线交交ABAB于于E E．求证：．求证：∠∠AME=∠CMBAME=∠CMB．．2024/9/319♠二、例题选讲二、例题选讲坐标法坐标法yxØ略证：建立坐标系如图，Ø欲证∠AME=∠CMB．Ø只需证kBM=- kEMØ求出各点坐标计算斜率即可得证。
§1 几何证明概述Ø例例5. 5. 在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABCABC中，中，M M是腰是腰ACAC的的中点，过直角顶点中点，过直角顶点C C作作CD⊥BMCD⊥BM于于D D，，CDCD延长线延长线交交ABAB于于E E．求证：．求证：∠∠AME=∠CMBAME=∠CMB．．2024/9/320♠二、例题选讲二、例题选讲 （三角法）（三角法）三角法三角法 §1 几何证明概述2024/9/321 §1 几何证明概述2024/9/322♠复数法复数法 §1 几何证明概述2024/9/323♠二、例题选讲（复数法）二、例题选讲（复数法）例例6．如图，以平行四边形．如图，以平行四边形ABCD的边的边AB、、AD向外作正方向外作正方形形ADMX、、ABNY，求证：，求证：AC⊥⊥XY且且AC=XY．． 证明：以证明：以A为原点建立复平面，设点为原点建立复平面，设点B、、D对应的复数为对应的复数为z1、、z2 §1 几何证明概述2024/9/324♠向量法向量法 §1 几何证明概述2024/9/325♠向量法向量法Ø例7：证明：在三角形中，三条高交于一点（垂心） §1 几何证明概述Ø例例8. 设设AD是是△△ＡＢＣ的高，ＡＢＣ的高，P为为AD上一点，上一点，BP、、CP的的延长线分别交延长线分别交AC、、AB于于E、、F. 证明：证明：AD平分平分∠∠EDF．．2024/9/326♠二、例题选讲二、例题选讲证法一：证法一： §1 几何证明概述Ø例例8. 8. 设设ADAD是是△△ＡＢＣ的高，ＡＢＣ的高，P P为为ADAD上一点，上一点，BPBP、、CPCP的延长线分别交的延长线分别交ACAC、、ABAB于于E E、、F. F. 证明：证明：ADAD平平分分∠∠EDFEDF．．2024/9/327♠二、例题选讲二、例题选讲 （解析法）（解析法） 第三届第三届(1993(1993年年) )澳门数学竞赛题澳门数学竞赛题; ; 第十四届第十四届(2001(2001年年) )爱尔兰数学竞赛题；爱尔兰数学竞赛题； 第十八届第十八届(1958(1958年年) )普特南数学竞赛题；普特南数学竞赛题； 第二十六届第二十六届(1994(1994年年) )加拿大数学竞赛题；加拿大数学竞赛题； 首届首届(1987(1987年年)“)“友谊杯友谊杯””国际数学竞赛题国际数学竞赛题. ”. ” Ø1.1.图中，图中，过过ABAB为直径的半圆上任一点为直径的半圆上任一点C,C,作作CDCD垂直垂直ABAB于于D,D,圆圆H H与与CDCD、弧、弧BCBC分别相切于分别相切于E E、、F F，又与，又与ABAB相切相切于于G G，求证：，求证：AC=AGAC=AG2024/9/329O R x rH代数法代数法♠练习：练习： Ø2.2.在正方形ＡＢＣ在正方形ＡＢＣD中，作中，作DE∥∥AC，在，在DE上取一点上取一点F，使，使AF=AC，又作，又作CE∥∥AF，交，交DE于于F，求证：，求证：∠∠DAF=∠∠FAE=∠∠EAC．．2024/9/330试用坐标法证明试用坐标法证明45°♠练习：练习： Ø3.3.已知：已知：AC⊥⊥AB，，BD ⊥⊥AB，，AD与与BC交于交于E，过，过E作作EF⊥⊥AB于于F，求证：，求证：∠∠AFC=∠∠BFD．．2024/9/331♠练习：练习：C’ 2024/9/332v思考题：思考题：试用坐标法证明试用坐标法证明 2024/9/333v思考题：思考题：v2.在在△△ＡＢＣ的两边ＡＢ和ＡＣ向外作正方形ＡＢＥＦ和ＡＢＣ的两边ＡＢ和ＡＣ向外作正方形ＡＢＥＦ和ＡＣＧＨ，则：ＡＣＧＨ，则：v（（1））△△AＢＣ的高线ＡＤ必平分ＦＨ；ＢＣ的高线ＡＤ必平分ＦＨ；v（（2）反之，）反之，△△AFH的中线的中线AM必垂直于必垂直于BC.试用复数法证明（试用复数法证明（2 2））PQ 2024/9/334v思考题：思考题：v3.证明：梯形两条对角线的中点连线平行于底边且等于证明：梯形两条对角线的中点连线平行于底边且等于两底之差的一半．两底之差的一半．试分别用坐标法、试分别用坐标法、向量法证明向量法证明4.在三角形各边上取一点，分各边所成的比相等，证明在三角形各边上取一点，分各边所成的比相等，证明这三点构成的三角形与原三角形有相同的重心．这三点构成的三角形与原三角形有相同的重心． §2 证度量关系2024/9/335v一、方法归纳一、方法归纳v（一）证线段相等（一）证线段相等Ø（１）全等三角形的应用（１）全等三角形的应用Ø（２）等腰三角形的应用（２）等腰三角形的应用Ø（３）平行四边形的应用（３）平行四边形的应用Ø（４）媒介线的应用（４）媒介线的应用Ø（５）圆内等量的应用（５）圆内等量的应用v（二）证明角相等（二）证明角相等Ø（１）全等三角形的应用；（１）全等三角形的应用；Ø（２）等腰三角形的应用；（２）等腰三角形的应用；Ø（３）平行线的应用；（３）平行线的应用；Ø（４）媒介角的应用；（４）媒介角的应用；Ø（５）三角形中内角与外角的关系；（５）三角形中内角与外角的关系；Ø（６）圆心角，圆周角，弦切角的关系；（６）圆心角，圆周角，弦切角的关系；Ø（７）相似形的应用．（７）相似形的应用． §2 证度量关系2024/9/336v（三）证线段与角的和、差、倍、分关系（三）证线段与角的和、差、倍、分关系Ø（１）三角形两边中点的连线等于第三边的一半；（１）三角形两边中点的连线等于第三边的一半；Ø（２）梯形两腰中点的连线等于两底和的一半；（２）梯形两腰中点的连线等于两底和的一半；Ø（３）平行四边形的对角线互相平分，菱形的角被对角线平分；（３）平行四边形的对角线互相平分，菱形的角被对角线平分；Ø（４）直角三角形中若有一个锐角为（４）直角三角形中若有一个锐角为30°，则斜边是，则斜边是30°角对边的２倍；角对边的２倍；Ø（５）直角三角形斜边中点距三顶点等远；（５）直角三角形斜边中点距三顶点等远；Ø（６）三角形一外角等于不相邻二内角之和等等（６）三角形一外角等于不相邻二内角之和等等v（四）证明线段、角的不等关系（四）证明线段、角的不等关系Ø（１）三角形中，大角对大边；（１）三角形中，大角对大边；Ø（２）圆内，直径是最大弦；（２）圆内，直径是最大弦；Ø（３）点到直线的垂线段最短；（３）点到直线的垂线段最短；Ø（（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边Ø…… §2 证度量关系2024/9/337v（五）、证比例线段关系（五）、证比例线段关系Ø（１）三角形的角平分线定理；（１）三角形的角平分线定理；Ø（２）圆幂定理；（２）圆幂定理；Ø（３）平行线分线段成比例定理；（３）平行线分线段成比例定理；Ø（４）相似三角形对应线段成比例（４）相似三角形对应线段成比例Ø…… §2 证度量关系♠几个著名定理几个著名定理2024/9/338 §2 证度量关系♠几个著名定理几个著名定理2024/9/339 §2 证度量关系Ø例例1 1：等边三角形外接圆周上任一点：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余到三顶点的连线中，最长的等于其余两线的和两线的和. .Ø即：证明即：证明 AP=BP+PCAP=BP+PC2024/9/340♠二、例题选讲二、例题选讲Ø证法证法1：延长：延长BP至至D使使PD=PC，连，连CD.Ø然后证明然后证明AP=BD. §2 证度量关系Ø例例1 1：等边三角形外接圆周上任一点：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余到三顶点的连线中，最长的等于其余两线的和两线的和. .Ø即：证明即：证明 AP=BP+PCAP=BP+PC2024/9/341♠二、例题选讲二、例题选讲Ø证法证法2：在：在AP上取一点上取一点C’，使，使PC’ =BP，连，连BC’.Ø然后证明然后证明AC’=PC.C’ §2 证度量关系Ø例例1 1：等边三角形外接圆周上任一点：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余到三顶点的连线中，最长的等于其余两线的和两线的和. .Ø即：证明即：证明 AP=BP+PCAP=BP+PC2024/9/342♠二、例题选讲二、例题选讲Ø证法证法3(托勒密定理托勒密定理)：：ØBC·AP=AC·BP+AB·PC，，Ø所以所以AP=BP+PC 例例3 3．证明等腰三角形底边上的任一点到两腰的距离之和为．证明等腰三角形底边上的任一点到两腰的距离之和为常量．常量．设Ｐ为等腰三角形ＡＢＣ设Ｐ为等腰三角形ＡＢＣ底边ＢＣ上任一点ＰＤ底边ＢＣ上任一点ＰＤ⊥⊥ＡＢ，ＰＥＡＢ，ＰＥ⊥⊥ＡＣ， ＡＣ， 证明证明: :ＰＤ＋ＰＥ为常量．ＰＤ＋ＰＥ为常量．2024/9/343ＡＢＣＤＨＰＥ§2 证度量关系 例例4 4：从圆心Ｏ向已知直线：从圆心Ｏ向已知直线l l作垂线作垂线OMOM，通过垂足，通过垂足M M任作两条直线任作两条直线ABAB和和CDCD，交圆于，交圆于A A，，B B，，C C，，D D．交直线．交直线l l于于P P、、Q.Q.求证：求证：MP=MQMP=MQ．．2024/9/344蝴蝶定理来由蝴蝶定理来由 :蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名蝴蝶定理出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法 例例4 4：从圆心Ｏ向已知直线：从圆心Ｏ向已知直线l l作垂线作垂线OMOM，通过垂足，通过垂足M M任作两条直线任作两条直线ABAB和和CDCD，交圆于，交圆于A A，，B B，，C C，，D D．交直线．交直线l l于于P P、、Q.Q.求证：求证：MP=MQMP=MQ．．2024/9/345证法一：综合法 例例4 4：如图，已知：如图，已知AC=CBAC=CB, ,求证：求证：MC=CNMC=CN．．2024/9/346§2 证度量关系三角法三角法 例例4 4：如图，已知：如图，已知AC=CB,AC=CB,求证：求证：MC=CNMC=CN．．2024/9/347§2 证度量关系NMCAGBDEF证明：连接证明：连接DA、、DB、、FA、、FB，，D（（AM，，CB））= D（（AG，，EB）） = F（（AG，，EB）） = F（（AC，，NB））即（即（AM，，CB）） = （（AC，，NB））MC=CN．射影几何法射影几何法圆也是二次曲圆也是二次曲线线 §2 证度量关系例例5 5：设ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ是：设ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ是△△ＡＢＣ的三条高线（则ＡＢＣ的三条高线（则△△ＤＤＥＦ称为ＥＦ称为△△ＡＢＣ的垂足三角形）．证明这些高线平分垂足ＡＢＣ的垂足三角形）．证明这些高线平分垂足三角形的内角或外角．三角形的内角或外角．2024/9/348 §2 证度量关系例例6 6：三角形垂心到顶点的距离，等于其外心到对边中点距：三角形垂心到顶点的距离，等于其外心到对边中点距离之二倍．离之二倍．2024/9/349 §2 证度量关系例：在例：在△△ABC中，已知中，已知AB>AC，，E是是BC边上中线边上中线AD上一上一点，求证：点，求证：∠∠ECD>∠∠EBD.2024/9/350不等关系的证明不等关系的证明 §2 证度量关系练习：练习：1 1、圆内三弦、圆内三弦ABAB、、CDCD、、EFEF两两相两两相交于交于P P、、Q Q、、R R，且，且PC=QE=RAPC=QE=RA，，PB=QD=RFPB=QD=RF，求证：，求证：△△PQRPQR是正三角是正三角形形．．2024/9/351aaabbbxzy §2 证度量关系2.2.在梯形在梯形ABCD中，中，∠∠A=∠∠B=90°，以，以AB为直径的圆切为直径的圆切CD于于E，过，过E作作EF∥∥BC交交AB于于F，求证：，求证：AC平分平分EF．．2024/9/352M连接连接BD交交AC于于M，，先证明先证明EM∥ ∥BC（从而（从而M在在EF上），上），再证明再证明M是是EF的中点。
的中点 §2 证度量关系7.7.在锐角在锐角△△ABC中，作中，作BD⊥⊥AC于于D，，CE⊥⊥AB于于E，取，取BC的中点的中点F，求证：，求证：∠∠FED=∠∠EDF= ∠∠A.2024/9/353因为因为FE=FD=BF=FC，所以，所以∠∠1= ∠∠2 ，， ∠∠3= ∠∠B ,∠∠4= ∠∠C ，，2∠∠1+2 ∠∠B +2 ∠∠C=360° ,所以所以∠∠1= 180°- -（（∠∠B+ ∠∠C））= ∠∠A.1324ED §2 证度量关系31.如图，以如图，以△△ABC的边的边AB、、AC向形外作正方形向形外作正方形ABEF、、ACGH，求证：，求证：BH=CF.2024/9/354证证△△ABH≌△≌△AFC. §2 证度量关系如图，已知如图，已知⊙ ⊙O和和⊙ ⊙O1外切于外切于P点，点，AB为两圆的一条外公切线，为两圆的一条外公切线，A、、B为为切点，切点，AC为为⊙ ⊙O的直径，的直径，CD切切⊙ ⊙O1于于D，求证：，求证：AC=CD.2024/9/355CD2=CP∙CBAC2=CP∙CB需证明需证明C、、P、、B共线共线思考题思考题POO1 §2 证度量关系13.13.在在△△ABC中，已知中，已知AB≤1/2AC，求证：，求证：∠∠ACB < < 1/2 ∠∠ABC.2024/9/356.D 平面几何中的位置关系证明问题：1. 两直线平行、垂直两直线平行、垂直2. 点共线点共线3. 线共点线共点4. 点共圆点共圆5. 圆共点圆共点2024/9/357§3 位置关系的证明位置关系的证明 一、 平行、垂直2024/9/358§3 位置关系的证明位置关系的证明平行：平行：1.同时和第三条直线平行的两条直线平行同时和第三条直线平行的两条直线平行. 2.平行线的判定平行线的判定:同位角相等同位角相等(内错角相等、同旁内角互内错角相等、同旁内角互补补)两直线平行两直线平行.3.在同一平面内在同一平面内,和同一直线垂直的两条直线平行和同一直线垂直的两条直线平行.4.平行四边形的性质平行四边形的性质:平行四边形的对边平行且相等平行四边形的对边平行且相等.5.三角形中位线定理三角形中位线定理.6.梯形中位线定理梯形中位线定理.7.平行于三角形一边的直线的判定平行于三角形一边的直线的判定:如果一条直线截三角形的两边如果一条直线截三角形的两边(或延长线或延长线)所得的对所得的对应线段成比例应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边那么这条直线平行于三角形的第三边.8.经过圆的直径两端点的切线互相平行经过圆的直径两端点的切线互相平行. 一、 平行、垂直2024/9/359§3 位置关系的证明位置关系的证明垂直：垂直：1.证两直线构成直角证两直线构成直角. 2.利用等腰三角形的利用等腰三角形的“三线合一三线合一” 证明垂直证明垂直 .3.矩形的邻边、菱形的对角线互相垂直矩形的邻边、菱形的对角线互相垂直.4.利用勾股定理的逆定理可证明垂直利用勾股定理的逆定理可证明垂直 .5.直径所对的圆周角是直角直径所对的圆周角是直角. 一、平行、垂直2024/9/360§3 位置关系的证明位置关系的证明例例1：已知，如图，点：已知，如图，点E、、F分别是平行四边形分别是平行四边形ABCD的边的边AB、、DC上的点，且上的点，且AE=DF，，AF与与DE交于点交于点H，，BF与与EC交于点交于点G，求证：，求证：GH∥∥CD，，且且 。
一、 平行、垂直2024/9/361§3 位置关系的证明位置关系的证明例例2.以以△△ABC的三边为边在的三边为边在BC边的同侧作等边三角形边的同侧作等边三角形ABD、、BCF、、ACE，连结，连结DF、、EF求证：DF∥∥AE 一、 平行、垂直2024/9/362§3 位置关系的证明位置关系的证明如图，两圆外切于如图，两圆外切于P，过，过P任作一直线分别交两圆于任作一直线分别交两圆于A、、B，一条外公切线分别切两圆于，一条外公切线分别切两圆于C、、D，求证：，求证：AC⊥⊥BD.QH 一、平行、垂直2024/9/363§3 位置关系的证明位置关系的证明圆内接四边形圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于的两组对边的延长线分别交于E、、F，求证：，求证：∠∠E、、∠∠F的平分线互相垂直的平分线互相垂直.4522131只需证只需证∠∠4 =∠ ∠5∠ ∠4 = ∠ ∠B + ∠ ∠2∠ ∠5 = ∠ ∠3 + ∠ ∠2而而∠∠3 = ∠ ∠B. 2024/9/364§3 位置关系的证明位置关系的证明24.已知：已知：AB’∥∥A’B，， AC’∥∥A’C ，求证：求证： BC’∥∥B’C. 65§3 位置关系的证明位置关系的证明25.在在△△ABC中，中，AB=AC，，∠∠A=90°，，∠∠B的三等分的三等分线交线交BC边上的高于边上的高于M、、N，，CN的延长线交的延长线交AB于于E，，求证：求证：EM∥∥BN.1130°30°分析：只需证分析：只需证这可以通过计算证明这可以通过计算证明设设AC=则可求得则可求得AE、、DM、、DN 2024/9/366§3 位置关系的证明位置关系的证明27.以四边形以四边形ABCD的各边为直径的各边为直径作圆，求证：相邻两个圆的公共作圆，求证：相邻两个圆的公共弦与另两个圆的公共弦平行弦与另两个圆的公共弦平行. 二、共点线的证法证明三线共点的方法：证明三线共点的方法：1.转化为共线点的问题来证明转化为共线点的问题来证明2. 利用已知的共点线定理（如外心、内心、重心、垂心等）利用已知的共点线定理（如外心、内心、重心、垂心等）3.应用应用Ceva定理定理4.利用位似形的性质利用位似形的性质——对应点连线过位似中心对应点连线过位似中心5.利用射影几何有关定理：德萨格（利用射影几何有关定理：德萨格（ Desargues ）定理、布利安双）定理、布利安双（（Brianchon）定理等）定理等6.解析法解析法2024/9/367§3 位置关系的证明位置关系的证明☆☆ 二、共点线的证法已知已知⃞⃞EFGH的各顶点分别在的各顶点分别在 ⃞⃞ABCD的各边上，求证：的各边上，求证：AC、、BD、、EG、、FH四线共点四线共点.2024/9/368§3 位置关系的证明位置关系的证明证法一：设证法一：设AC、、BD交于交于O，，再证明再证明EG、、FH经过经过O.证法二：证法二： Desargues 定理定理. §3 位置关系的证明♠几个著名定理几个著名定理2024/9/369 三、共线点的证法证明三点（Ｘ，Ｙ，Ｚ）共线的方法：证明三点（Ｘ，Ｙ，Ｚ）共线的方法：1.利用平角：证明利用平角：证明∠∠XYZ=180°（或（或0°））2.证明ＸＹ与ＸＺ平行于同一条直线；证明Ｘ、Ｙ、Ｚ同在一定直线上；证明ＸＹ与ＸＺ平行于同一条直线；证明Ｘ、Ｙ、Ｚ同在一定直线上；证明ＸＺ和某定直线的交点就是Ｙ证明ＸＺ和某定直线的交点就是Ｙ3.利用已知的共线点定理（如欧拉线、西姆松线等）利用已知的共线点定理（如欧拉线、西姆松线等）4.应用应用Menelaus定理定理5.利用位似形的性质利用位似形的性质——对应点连线过位似中心对应点连线过位似中心6.利用射影几何有关定理：德萨格（利用射影几何有关定理：德萨格（ Desargues ）定理、帕普斯（）定理、帕普斯（ Pappus ）定理、）定理、 帕斯卡（帕斯卡（Pascal）定理）定理等等2024/9/370§3 位置关系的证明位置关系的证明☆☆ 三、共线点的证法两圆相切于两圆相切于P，，AB、、CD是这两个圆是这两个圆的平行弦，求证：若的平行弦，求证：若A、、P、、D共线，共线，则则B、、P、、C共线共线.2024/9/371§3 位置关系的证明位置关系的证明12 §3 位置关系的证明♠几个著名定理几个著名定理2024/9/372 §3 位置关系的证明♠几个著名定理几个著名定理2024/9/373 §3 位置关系的证明2024/9/374 §3 位置关系的证明Ø例例1 1：证明：在三角形中，：证明：在三角形中，Ø（（1 1）三条中线交于一点（重心）；）三条中线交于一点（重心）；Ø（（2 2）三条角平分线交于一点（内心）；）三条角平分线交于一点（内心）；Ø（（3 3）三条边的中垂线交于一点（外心）；）三条边的中垂线交于一点（外心）；Ø（（4 4）三条高交于一点（垂心））三条高交于一点（垂心）2024/9/375♠例题选讲例题选讲CevaCeva定定理理 §3 位置关系的证明Ø例例2：在：在△△ABC中，设三边中，设三边BC、、CA、、AB分别与三角形的分别与三角形的内切圆相切于内切圆相切于X、、Y、、Z，证明：，证明：AX、、BY、、CZ交于一点交于一点（葛尔刚（（葛尔刚（Gergonne）点）点).2024/9/376♠例题选讲例题选讲CevaCeva定定理理 §3 位置关系的证明例例3：莱莫恩（：莱莫恩（Lemoine）定理）定理如图，过如图，过△△ABC的三个顶点的三个顶点A、、B、、C作它的外接圆的切线，分别作它的外接圆的切线，分别和和BC、、CA、、AB的延长线交于的延长线交于P、、Q、、R，求证：，求证：P、、Q、、R三点共三点共线．线．2024/9/377♠例题选讲例题选讲MenelausMenelaus定理定理能否用射影几何中的能否用射影几何中的BrianchonBrianchon定理证明？定理证明？ §3 位置关系的证明例例4：： 西姆松（西姆松（Simson ）定理）定理三角形外接圆周上任意一点，在三边（所在直线）上的射三角形外接圆周上任意一点，在三边（所在直线）上的射影共线影共线 ．．2024/9/378♠例题选讲例题选讲12v证法一：只需证证法一：只需证 ∠∠1+ ∠∠2=180°证法二：应用证法二：应用Menelaus定理定理 四、共圆点的证法证明四点共圆，通常用下列方法：证明四点共圆，通常用下列方法：（（1）证诸点到一定点的距离相等（圆的定义））证诸点到一定点的距离相等（圆的定义）（（2）证明ＡＢＣＤ是圆内接四边形（或证对角互补，或证某两点视另两点）证明ＡＢＣＤ是圆内接四边形（或证对角互补，或证某两点视另两点连线段的视角相等，当然这两点要在这线段的同侧）连线段的视角相等，当然这两点要在这线段的同侧）（（3）相交弦定理之逆：若ＡＢ）相交弦定理之逆：若ＡＢ∩ＣＤＣＤ=O，证明ＯＡ，证明ＯＡ·ＯＢ＝ＯＣＯＢ＝ＯＣ·ＯＤＯＤ（（4）直径所对圆周角是直角：如果其中某两点的连线段为直径，可证明其）直径所对圆周角是直角：如果其中某两点的连线段为直径，可证明其余的点对这线段的视角均为直角．余的点对这线段的视角均为直角．2024/9/379§3 位置关系的证明位置关系的证明 四、共圆点的证法•例例4 4：三角形三边中点，三垂足，垂心与三顶点连线：三角形三边中点，三垂足，垂心与三顶点连线段的中点，这九点共圆，称为这三角形的九点圆．段的中点，这九点共圆，称为这三角形的九点圆．2024/9/380如图：Ｌ，Ｍ，Ｎ设是如图：Ｌ，Ｍ，Ｎ设是△△ＡＢＣ三边ＡＢＣ三边中点，Ｄ，Ｅ，Ｆ是垂足，Ｈ是垂心，中点，Ｄ，Ｅ，Ｆ是垂足，Ｈ是垂心，Ｐ，Ｑ，Ｒ是ＨＡ，ＨＢ，ＨＣ的中点Ｐ，Ｑ，Ｒ是ＨＡ，ＨＢ，ＨＣ的中点则Ｌ，Ｍ，Ｎ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｐ，Ｑ，则Ｌ，Ｍ，Ｎ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｐ，Ｑ，Ｒ九点共圆Ｒ九点共圆§3 位置关系的证明位置关系的证明 九点圆的性质三角形的九点圆的半径是三角形外接圆半径的一半；三角形的九点圆的半径是三角形外接圆半径的一半；三角形的九点圆的圆心在三角形的九点圆的圆心在“欧拉线欧拉线”上；上；三角形的外心，重心，九点圆圆心，垂心分别为Ｏ，Ｇ，Ｋ，三角形的外心，重心，九点圆圆心，垂心分别为Ｏ，Ｇ，Ｋ，Ｈ，则ＯＧＨ，则ＯＧ︰︰ＧＫＧＫ︰︰ＫＨ＝ＫＨ＝2 ︰︰ 1 ︰︰ ３３2024/9/381§3 位置关系的证明位置关系的证明四、共圆点的证法四、共圆点的证法 五、共点圆的证法例１．通过圆内接四边形一顶点和邻接二边中点作圆，例１．通过圆内接四边形一顶点和邻接二边中点作圆，证明这四圆共点．证明这四圆共点．2024/9/382§3 位置关系的证明位置关系的证明 五、共点圆的证法例２．四直线相交成四个三角形，证明这四个三角形例２．四直线相交成四个三角形，证明这四个三角形的外接圆共点．的外接圆共点．2024/9/383如图：四直线交成四个三角形如图：四直线交成四个三角形ＢＣＥ，ＤＣＦ，ＡＤＥ，ＡＢＦＢＣＥ，ＤＣＦ，ＡＤＥ，ＡＢＦ，，圆ＢＣＥ，圆ＤＣＦ交于圆ＢＣＥ，圆ＤＣＦ交于O须证明另两圆：圆ＡＤＥ，圆须证明另两圆：圆ＡＤＥ，圆ＡＢＦ过点ＡＢＦ过点O，，只需证明只需证明AEOD四点共圆、四点共圆、ABOF四点共圆四点共圆§3 位置关系的证明位置关系的证明 •例例3 3．．密克（密克（Miquel ）定理：）定理： • 在在△△ＡＢＣ三边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢＡＢＣ三边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ所在直线上分别取Ｘ，Ｙ，Ｚ三点，则所在直线上分别取Ｘ，Ｙ，Ｚ三点，则⊙⊙ＡＹＺ，ＡＹＺ，⊙⊙ＢＺＸ，ＢＺＸ，⊙⊙ＣＸＹ三个圆ＣＸＹ三个圆共点共点. .2024/9/384ＡＡＢＢＣＣＸＸＹＹＺＺＭＭ五、共点圆的证法五、共点圆的证法§3 位置关系的证明位置关系的证明123 §3 位置关系的证明39．在．在△△ＡＢＣ中，ＡＢＣ中，AD⊥⊥BC于于D，过，过D作作DE⊥⊥AC于于E，，DF⊥⊥AB于于F，求证：，求证：B、、C、、E、、F四点共圆四点共圆.2024/9/38521 §3 位置关系的证明41．在．在△△ＡＢＣ中，已知ＡＢＣ中，已知O是外心，是外心，AB的中垂线的中垂线ME交交AC于于E，，AC的中垂的中垂线线NF交交AB于于F，求证：，求证：O、、B、、C、、E、、F五点共圆五点共圆.2024/9/386Dv先证先证O、、B、、C、、E四点共圆四点共圆.v再证再证O、、B、、C、、F四点共圆四点共圆.132 §3 位置关系的证明42．圆的内接四边形的两条对角线．圆的内接四边形的两条对角线互相垂直，从交点向各边作垂线，互相垂直，从交点向各边作垂线，求证：这四个垂足与各边中点，八求证：这四个垂足与各边中点，八点共圆点共圆.2024/9/387vP、、Q、、M、、N四点共圆四点共圆,vPM是直径是直径.v再证再证F在此圆上在此圆上. 婆罗摩笈多定理婆罗摩笈多定理（婆罗摩笈多（婆罗摩笈多(Brahmagupta) ，印度数学家，约公元，印度数学家，约公元598年生，约年生，约660年卒．数学、天文学）年卒．数学、天文学）定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边一边且过对角线交点的直线将平分对边.2024/9/388 。