2. 2.1.2横侧运动控制器设计横侧运动的动力学微分方程为：Jp'p=5对上式进行Laplace变换，得:JpP(s)s2 = KlpVd(s)代入相应的参数值，有横侧运动控制対象的传递函数:y 八$丿 J p $ 0.03191 5添加PID控制器，得到横侧运动的系统框图如图2所示:in图2俯仰运动系统框图outPID控制器设计如下:y(t = K認,-P) + Kpi\ (pc- p) + K/)(l(pc- p)由于以变化很小有龙.=0得下式:匕=K/Pc ・ P)+ K」(p° ・ p) + Kg根据图1可得闭环传递函数如下：KcKppl/} t KcKpilp 1 P(s) Jp Jp $而一八 gp s * KcKpplp | KcK茁 J p J p Jp s令空出丄=0,即控制器取消积分环节，得下式J, SK店必P（s） {p P°（s）八 K 心—J*， 儿*儿采用PD控制器能将横侧运动控制问题化解为典型二阶系统：P（s） {p 爲pp pJnp< （s） s2 I KcK』p s + KcKpJp s2 + 2如 + co,；儿其中:二阶系统的峰值时间为:7U通过选择二阶系统的峰值时间心和阻尼比S对确定Km和K肿2. 2. 1.3旋转运动控制器设计旋转运动的动力学方程为：Jp = hFhsin(p)通常因横侧角较小(约5度左右)，可令sin(p)-p."TOFhcos(p) = G sin{p) - p因此旋转运动的动力学方程可简化为：J,r = IQp 对上式进行Laplace变换，得：JtR(s)s = l,GP(s) 即：代入相应的参数值，有旋转运动控制对象的传递函数：P(s) J, s s添加PID控制器，得到旋转运动的系统框图如图3所示:in图3旋转运动系统框图PID控制器设计如下：卩。
"宀)+心\(3我也")由于©变化很小有得下式：Pc = ・ r) + kJ (rc- r) + Krd(-r)根据图3可得闭环传递函数如下：K"s +啲_ 4 + k」g认)右丄化卄亠J 4+K/G J+K/G令K“严0,即控制器取消积分环节，得下式K>pl,Gs 4- Kril,GHs) L(s) 32 , KJfi* J, * 厂采用PI控制器能将横侧运动控制问题化解为典型二阶系统:2匚3辭+ co： s2 + 2qcdos +KJQs + K£GHs) — J皿)八* +止其中:二阶系统的峰值时间为:n（八厂）通过选择二阶系统的峰值时间和阻尼比G可确定心和K沪■仿真阶跃响应控制：俯仰运动的仿真中用到的参数如表1所示图4俯仰运动阶跃响应表1俯仰运动仿真参数No.JcKcLiJ5JKepKejKed11.8145120.8814.44220.7073.39350.339351.080221.52.96150.7071.50640 J 50640.7196322.22110.7070.84840.084840.5401431.48070.7070.37710.037710.3601仿真结杲如图4所示:横侧运动的仿真中用到的参数如表2所示。
表2横侧运动仿真参数No.JpLp5JKepKeiIQ10.03191120.170.76.34600.7070.62990.062990.1404214.44220.7070.30860.030860.098231.33.41710.7070.18260.018260.0756422.22110.7070.07720.007720.0491图5横侧运动阶跃响应仿真结果如图5所示:旋转运动的仿真中用到的参数如表3所示表3旋转运动仿真参数No.几3仆4Kep12.04522.22110.7071.53582.4124231.48070.7071.02381.0722341.11050.7070.76790.6031450.88840.7070.61430.3860仿真结果如图6所示:图6旋转运动阶跃响应比较多组参数的仿真效果,并进行分析总结，特别是内外环的控制特点2.2.2采用LQR进行直升机控制器设计■描述LQR设计过程可得:根据俯仰运动、横侧运动、旋转运动的简化动力学方程:态空间表达式:P• •P■r■y001001000000000为状态变量，Y = [e prf为输出状态变窗得出状£pr—00000G/,T0十000Kh0KI1 0 0 0 0 0 0'~o o'■ ■0 0 0 1 0 0 0p+0 00 0 0 0 0 1 01• p0 0KlnKlnp = ^xVd =f pJpJ p•IQ、1 K x£+丄上x匕■ J" = WJ.r = llGp令:'0I00000■ 00 ■0000000GK山1000000JcJe0000100000000000B =00K IK I000Gif000Jpc PJpr00000001000 _A~J 0 0 0 0 0 o'~o o'c =0 0 0 1 0 0 0D =0 00 0 0 0 0 1 090 0■ ■得状态方程式：X = AX + BUY = CX + DU线性二次最优控制问题简称为LQ问题，即对线性系统：x= Ax + Bu, x(0) = x0, te [0,tf ]满足性能指标：劝=^xT(tf )Sx(tf) + 与：[xT(t)Qx(t) + ur(t)Ru(t)]dtS.Q是n^n正半定对称矩阵；R是pxp正定对称矩阵；如果对终端情况没有要，即^xT(tr)Sx(tf) = O有：JW)=勺:[xT(t)Qx(t) + uT(t)Ru(t)]dt线性二次最优控制律为：U(t) = -KX(t) = -RBrPX(t)矩阵P必须满足Riccati方程：atp+pa-pbrWp+q = o通过MATLAB中的LQR函数求解K：[K,S,E] = lqr(A,B,Q,R,N)式中，N的缺省值为零。
■通过阶跃响应曲线比较三组K值控制效果：将相应的参数代入A,B,C,D,得：0100000■ 0000000005.825.82100000000~1000006'0()0000100B =00C=0001000D=00000000063.94■63.940000010000002.07000009000001000初始值为:期望值为:x.=[5 0 0 5 0 5 q第一组参数，选取:Q=0 00 00 00 00 01 00 I解得:1.3052 0.8510K =1.3052 0.85100.7071O 70710.7071 2.1762 0.7308 1.41060.7071 ^2.1762 07308 -1.4106仿真结杲如图7所示:图7 LQR第一组参数仿真结果10 0 00 2 0 00 0 00 0 00 0 00 0 05 0 00 6 00 0 7_第二组参数，选取:0 0 3 0Q= 0 0 0 40 0 0 0解得:1.5332 09797K =1.4865 0.95252.1359-1.10401.0221 5.7052 1.8302 3.9604。