目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 四、曲线的凹凸性与拐点四、曲线的凹凸性与拐点 函数的单调性、函数的单调性、凹凸性与极值凹凸性与极值 利用导数研究函数利用导数研究函数 第三三章 二、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 三、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 函数单调性的判定法函数单调性的判定法若定理定理 1. 设函数则 在 I 内单调递增(递减) .证证: 无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明 在 I 内单调递增.在开区间 I 内可导,证毕 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 确定函数的单调区间.解解:令得故的单调增单调增区间为的单调减单调减区间为 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .例如, 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明时, 不等式证证: 令从而因此且证证证明 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1:在其中当时,(1) 则称 为 的极大值点极大值点 ,称 为函数的极大值极大值 ;(2) 则称 为 的极小值点极小值点 ,称 为函数的极小值极小值 .极大值点与极小值点统称为极值点极值点 .二、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:为极大值点为极小值点不是极值点2)对常见函数, 函数极值的可能点集合为：3) ｛驻点，不可导点｝｛驻点，不可导点｝1) 函数的极值是函数的局部性质局部性质.例如例如 ,为极大值点, 是极大值 是极小值 为极小值点, 函数 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2 (极值第一判别法极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1) “左左正正右右负负” ,(2) “左左负负右右正正” ,(自证)点击图中任意处动画播放\暂停 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求函数求函数的极值 .解解:1) 求导数2) 求极值可疑点令得令得3) 列表判别是极大值点， 其极大值为是极小值点， 其极小值为 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数 , 且则 在点 取极大值 ;则 在点 取极小值 .证证: (1)存在由第一判别法知(2) 类似可证 . 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求函数的极值 . 解解: 1) 求导数2) 求驻点令得驻点3) 判别因故 为极小值 ;又故需用第一判别法判别. 目录 上页 下页 返回 结束 三、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到 .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求 在 内的极值可疑点(2) 最大值最小值 目录 上页 下页 返回 结束 特别特别:• 当 在 内只有一个极值可疑点时,• 当 在 上单调单调时, 最值必在端点处达到.若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小)• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .(小) 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求函数在闭区间上的最大值和最小值 .解解: 显然且故函数在取最小值 0 ;在及取最大值 5. 目录 上页 下页 返回 结束 存在一个取得最大利润的生产水平? 如果存在, 找出它来.售出该产品 x 千件的收入是例例6. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本是解解: 售出 x 千件产品的利润为问是否故在 x2 = 3.414千件处达到最大利润, 而在 x1= 0.586千件处发生局部最大亏损. 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明：在经济学中称为边际成本称为边际收入称为边际利润由此例分析过程可见, 在给出最大利润的生产水平上即边际收入＝边际成本（见右图）成本函数收入函数即收益最大亏损最大 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2 . 设函数在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有则称图形是凹凹的;(2) 若恒有则称图形是凸凸的 .四、曲线的凹凸与拐点四、曲线的凹凸与拐点连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点拐点 .拐点 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4.(凹凸判定法)(1) 在 I 内则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;(2) 在 I 内则 f (x) 在 I 内图形是凸的 .证证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明 (1) 成立;(2)设函数在区间I 上有二阶导数证毕 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 判断曲线的凹凸性.解解:故曲线在上是向上凹的.说明说明:1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在 两侧异号异号, 则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号, 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求曲线的拐点. 解解:不存在因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线的拐点 .凹凸 目录 上页 下页 返回 结束 对应例例9. 求曲线的凹凸区间及拐点.解解: 1) 求2) 求拐点可疑点坐标令得3) 列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及均为拐点.凹凹凸 目录 上页 下页 返回 结束 作作 业业第三节 P84页页 练习题练习题3.1 1, 2, 3.P87-88页页 练习题练习题3.2 1, 2, 3.P92-93页页 练习题练习题3.3 3.P103-104页页 综合习题三综合习题三 4, 6, 9. 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 可导函数单调性判别（条件是充要的）在 I 上单调递增在 I 上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点连续曲线上有切线的凹凸分界点 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结3. 连续函数的极值(1) 极值可疑点 :导数为0 或导数不存在的点(2) 第一充分条件过由正正变负负为极大值过由负负变正正为极小值(3) 第二充分条件为极大值为极小值定理3 注：当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 目录 上页 下页 返回 结束 最值点应在极值点和边界点上找 ;应用题可根据问题的实际意义判别 .4. 连续函数的最值 目录 上页 下页 返回 结束 试问 为何值时,在时取得极值,还是极小.解解: 由题意应有又1.求出该极值, 并指出它是极大即 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设是方程的一个解,若且则在(A) 取得极大值 ;(B) 取得极小值 ;(C) 在某邻域内单调增加 ;(D) 在某邻域内单调减少 .提示提示:A 目录 上页 下页 返回 结束 证明: 当时, 有证明证明: 令, 则是凸凸函数即3 .(自证)第五节 。