本文格式为Word版，下载可任意编辑动态法测杨氏模量实验报告 动态法测量杨氏模量 一、 测验目的 1. 理解动态法测量杨氏模量的根本原理 2. 掌管动态法测量杨氏模量的根本方法，学会用动态法测量杨氏模量 3. 了解压电陶瓷换能器的功能，熟谙信号源和示波器的使用学会用示波器查看判断样品共振的方法 4. 培养综合运用学识和使用常用测验仪器的才能 二、 测验原理： 在确定条件下，试样振动的固有频率取决于它的几何外形、尺寸、质量以及它的杨氏模量假设在测验中测出试样在不同温度下的固有频率，就可以计算出试样在不同温度下的杨氏模量 根据杆的横振动方程式 ?4y?S?2y??0 （1） ?x4EJ?t2式中?为杆的密度，S为杆的截面积，J?即为杨氏模量 如图1所示，长度L远远大于直径d（L>>d）的一修长棒，作微小横振动（弯曲振动）时得志的动力学方程（横振动方程）为 ?4y?x4??ys2dS 称为惯量矩（取决于截面的外形），E ?S?2yEJ?t2y y ?0 （1） L O x x x x 棒的轴线沿x方向，式中y为棒上距左端x处截面的y方向位移，E为杨氏模量，单位为Pa或N/m；ρ为材料密度；S为截面积；J为某一截面的转动惯量，J???sy2ds。
2 图1 修长棒的弯曲振动 横振动方程的边界条件为：棒的两端(x=0、L)是自由端，端点既不受正应力也不受切向力用分开变量法求解方程（1），令y(x,t)?X(x)T(t)，那么有 1d4X?S1d2T??? （2） Xdx4EJTdt2由于等式两边分别是两个变量x和t的函数，所以只有当等式两边都等于同一个常数时等式才成立假设此常数为K4，那么可得到以下两个方程 d4Xdx4d2Tdt2?K4X?0 （3） K4EJ?T?0 （4） ?S假设棒中每点都作简谐振动，那么上述两方程的通解分别为 ?X(x)?a1chKx?a2shKx?a3cosKx?a4sinKx （5） ?T(t)?bcos(?t??)?于是可以得出 y(x,t)?(a1chKx?a2shKx?a3cosKx?a4sinKx)?bcos(?t??) （6） 式中 ????K41EJ?2???S??? （7） 式（7）称为频率公式，适用于不同边界条件任意外形截面的试样。
假设试样的悬挂点（或支撑点）在试样的节点，那么根据边界条件可以得到 cosKL?chKL?1 (8) 采用数值解法可以得出本征值K和棒长L应得志如下关系 KnL=0，4.730，7.853，10.996，14.137，…… (9) 其中第一个根K0L=0对应试样静止状态；其次个根记为K1L=4.730，所对应的试样振动频率称为基振频率（基频）或称固有频率，此时的振动状态如图2（a）所示；第三个根K2L=7.853所对应的振动状态如图2（b）所示，称为一次谐波由此可知，试样在作基频振动时存在两个节点，它们的位置分别距端面0.224L和0.776L将基频对应的K1值代入频率公式，可得到 (a) n=1 (b) n=2 图2 两端自由的棒作基频振动波形和一次谐波振动波形 杨氏模量为 E?1.9978?10?3 ?L4SJ??7.8870?102?2L3m2f （10） J假设试样为圆棒(d<
假设圆棒试样不能得志d<
动态法测量杨氏模量的测验装置如图3所示由信号源1输出的等幅正弦波信号加在放射换能器（激振器）2上，使电信号变成机械振动，再由试样一端的悬丝或支撑点将机械振动传给试样3，使试样受迫作横振动，机械振动沿试样以及另一端的悬丝或支撑点传送给接收换能器（拾振器）4，这时机械振动又转变成电信号，该信号经放大处理后送示波器5显示当信号源的频率不等于试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有电信号波形或波形很小，只有试样发生共振时，示波器上的电信号突然增大，这时通过频率计读出信号源的频率即为试样的共振频率 测出共振频率，由上述相应的公式可以计算出材料的杨氏模量这一测验装置还可以测量不同温度下材料的杨氏模量，通过可控温加热炉可以变更试样的温度 图3 2．李萨如图法观测共振频率 测验时也可采用李萨如图法测量共振频率激振器和拾振器的信号分别输入示波器的X和Y通道，示波器处于查看李萨如图外形态，从小到大调理信号发生器的频率，直到展现稳定的正椭圆时，即达成共振状态这是由于，拾振器和激振器的振动频率虽然一致，但是当激振 器的振动频率不是被测样品的固有频率时，试样的振动振幅很小，拾振器的振幅也很小甚至检测不到振动，在示波器上无法合成李萨如图形（正椭圆），只能看到激振器的振动波形；只有当激振器的振动频率调理到试样的固有频率达成共振时，拾振器的振幅突然很大，输入示波器的两路信号才能合成李萨如图形（正椭圆）。
3．外延法精确测量基频共振频率 理论上试样在基频下共振有两个节点，要测出试样的基频共振频率，只能将试样悬挂或支撑在0.224L和0.776L的两个节点处但是，在两个节点处振动振幅几乎为零，悬挂或支撑在节点处的试样难以被激振和拾振 测验时由于悬丝或支撑架对试样的阻尼作用，所以检测到的共振频率是随悬挂点或支撑点的位置变化而变化的悬挂点偏离节点越远（距离棒的端点越近），可检测的共振信号越强，但试样所受到的阻尼作用也越大，离试样两端自由这确定解条件的要求相差越大，产生的系统误差就越大由于压电陶瓷换能器拾取的是悬挂点或支撑点的加速度共振信号，而不是振幅共振信号，因此所检测到的共振频率随悬挂点或支撑点到节点的距离增大而变大为了消释这一系统误差，测出试样的基频共振频率，可在节点两侧选取不同的点对称悬挂或支撑，用外延测量法找出节点处的共振频率 所谓的外延法，就是所需要的数据在测量数据范围之外，一般很难直接测量，采用作图外推求值的方法求出所需要的数据外延法的适用条件是在所研究的范围内没有突变，否那么不能使用 本测验中就是以悬挂点或支撑点的位置为横坐标、以相对应的共振频率为纵坐标做出关系曲线，求出曲线最低点（即节点）所对应的共振频率即试样的基频共振频率。
4．基频共振的判断 测验测量中，激发换能器、接收换能器、悬丝、支架等部件都有自己共振频率，可能以其本身的基频或高次谐波频率发生共振另外，根据测验原理可知，试样本身也不只在一个频率处发生共振现象，会展现几个共振峰，以致在测验中难以确认哪个是基频共振峰，但是上述计算杨氏模量的公式（11）～（13）只适用于基频共振的处境因此，正确的判断示波器上显示出的共振信号是否为试样真正共振信号并且是否为基频共振成为关键对此，可以采用下述方法来判断和解决 （1）测验前先根据试样的材质、尺寸、质量等参数通过理论公式估算出基频共振频率的数值，在估算频率邻近探索 （2）换能器或悬丝发生共振时可通过对上述部件施加负荷（例如用力夹紧），可使此共振信号变化或消散 （3）试样发生共振需要一个孕育过程，共振峰有确定的宽度，信号亦较强，切断信号源后信号亦会逐步衰减因此，发生共振时，急速切断信号源，除试样共振会逐步衰减外，其余假共振会很快消散 （4）试样共振时，可用一小细杆沿纵向轻碰试样的不同部位，查看共振波振幅波节处波的振幅不变，波腹处波的振幅减小波形符合图2（a）的规律即为基频共振 （5）用听诊器沿试样纵向移动，能明显听出波腹处声大，波节处声小，并符合图2（a）的规律。
对一些修长棒状（或片状）试样，有时能直接听到波腹和波节 （6）当输入某个频率在显示屏展现共振时，即使托起试样，示波器显示的波形依旧很少变化，说明这个共振频率不属于试样悬丝共振时可明显望见悬丝上形成驻波 （7）试样振动时，查看各振动波形的幅度，波幅最大的共振是基频共振；展现几个共振频率时，基频共振频率最低 四、测验数据及数据分析处理 测验数据如下： — 8 —。