辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室本章提纲 灰色系统的基础理论灰色系统的基础理论 10.1 灰色预测模型灰色预测模型 10.2 灰色聚类分析灰色聚类分析 10.3 灰色综合评价方法灰色综合评价方法 10.4 小结小结 10.5 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1灰色系统的基础理论灰色系统的基础理论 v10.1.1 灰色系统理论介绍灰色系统理论介绍 v10.1.2 灰色系统的特点灰色系统的特点 v10.1.3 灰色系统建模与适用范围灰色系统建模与适用范围 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.1灰色系统理论介绍 u灰色系统理论（Grey System Theory）的创立源于20世纪80年代邓聚龙教授在1981年上海中美控制系统学术会议上所作的“含未知数系统的控制问题”的学术报告中首次使用了“灰色系统”一词1982年，邓聚龙发表了“参数不完全系统的最小信息正定”、“灰色系统的控制问题”等系列论文，奠定了灰色系统理论的基础他的论文在国际上引起了高度的重视，美国哈佛大学教授、《系统与控制通信》杂志主编布罗克特（Brockett）给予灰色系统理论高度评价，因而，众多的中青年学者加入到灰色系统理论的研究行列，积极探索灰色系统理论及其应用研究。
辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.1灰色系统理论介绍 u灰色系统是通过对原始数据的收集与整理来寻求其发展变化的规律这是因为，客观系统所表现出来的现象尽管纷繁复杂，但其发展变化有着自己的客观逻辑规律，是系统整体各功能间的协调统一因此，如何通过散乱的数据系列去寻找其内在的发展规律就显得特别重要灰色系统理论认为，一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性的模型而呈现本来的规律，也就是通过灰色数据序列建立系统反应模型，并通过该模型预测系统的可能变化状态灰色系统理论认为微分方程能较准确地反应事件的客观规律，即对于时间为t的状态变量，通过方程就能够基本反映事件的变化规律 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.1灰色系统理论介绍 u目前，灰色系统理论得到了极为广泛的应用，不仅成功地应用于工程控制、经济管理、社会系统、生态系统等领域，而且在复杂多变的农业系统，如在水利、气象、生物防治等方面也取得了可喜的成就灰色系统理论在管理学、决策学、战略学、预测学、未来学、生命科学等领域有极为广泛的应用前景 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.2 灰色系统的特点 u概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统的研究方法，如表10.1所示。
研究对象都具有不确定性，这是三者的共同点正是研究对象在不确定性上的区别派生出三种各具特色的不确定性学科 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.2 灰色系统的特点 表10.1 灰色系统与概率、模糊的对比 概率与数理统计样本量大、数据多但缺乏明显规律的问题，即“大样本不确定性”问题模糊数学人的经验及认知先验信息的不确定问题，即“认知的不确定性”问题灰色系统既无经验，数据又少的不确定性问题，即“少数据不确定性”问题 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.2 灰色系统的特点 u灰色系统着重研究概率统计、模糊数学所不能解决的“小样本、贫信息不确定”问题，并依据信息覆盖，通过序列生成寻求现实规律其特点是“少数据建模”与模糊数学不同的是，灰色系统理论着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象比如：到2050年，中国要将总人口控制在15亿到16亿之间，这“15到16亿之间”就是一个灰概念，其外延是非常明确的，但如果进一步要问到底是哪个具体值，则不清楚灰色系统理论与概率论、模糊数学一起并称为研究不确定性系统的三种常用方法，具有能够利用“少数据”建模寻求现实规律的良好特性，克服了数据不足或系统周期短的矛盾。
辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3 灰色系统建模与适用范围 u灰色系统GM(n, h)建模 灰色建模是进行灰色预测与灰色决策的基础，其建模过程可分为五步：语言模型、网络模型、量化模型、动态模型、优化模型五步建模过程事实上是信息不断补充，系统因素及其关系不断明确，明确的关系进一步量化，量化后关系进行判断改造的过程，是系统由灰变白的过程 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3 灰色系统建模与适用范围 u灰色模型和其他任何模型一样，不可能具有普遍适用性，而是有其特定的建模条件灰色模型的特点在于其建模机理与其他模型不同，在建模的数据处理上，通过灰色序列生成找寻数据演变的规律性在进行灰色系统建模前需要判断序列是否是光滑序列，数据序列是否满足灰指数规律灰色系统的模型GM(n, h)是以灰色模块概念为基础，以微分拟合法为核心的建模方法其中n表示微分方程阶数，h表示参与建模的序列个数，用得较多的是GM(1, 1)模型GM(n, h)建模原理如下： 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3 灰色系统建模与适用范围 u定理：给定下列序列： , i＝1, 2, …, h; t=1, 2,…, N；有相应的一阶累加序列： , i＝1, 2,…, h; t=1, 2, …, N；其中： 为一次累加序列；并有相应的多次累差序列： , i＝1, 2, …, h；t=1, 2, …, N；j=1, 2,…, m。
辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3 灰色系统建模与适用范围 当j=1时有 (10.1)当j=2时有 (10.2)当j=3时有 (10.3) 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3 灰色系统建模与适用范围 u再构造如下累差矩阵A，累加矩阵B及常向量yn (10.4) 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3 灰色系统建模与适用范围 (10.4) (10.6) 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3 灰色系统建模与适用范围 u若记h个序列n阶微分方程所表达的动态模型，即GM(n, h)模型为： (10.7) 则微分方程的系数向量为： 可以通过最小二乘法求解 ；式中 为由A，B组成的分块矩阵。
辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3 灰色系统建模与适用范围 u灰色模型适用范围分析灰色模型适用范围分析u（一）作为预测模型，常用GM(n, 1)模型，即只有一个序列变量的GM模型这是因为对社会、经济、农业等系统效益（效果、产量、产值等）的发展变化进行分析和预测时，只需研究一个变量，即“效果”的数据序列二）作为状态模型，常用GM(1, h)模型因为它可以反映h－1个变量对某一变量一阶导数的影响当然，这需要h个时间序列，并且事先必须作尽可能客观的分析，以确定哪些因素的时间序列应计入这h个变量中但GM(1, h)模型只能反映其它h－1个变量对某一变量的一阶导数的影响，不能反映多因素系统内各变量之间的相互作用 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3 灰色系统建模与适用范围 u（三）作为静态模型，一般是GM(0, h)模型，即n＝0，表示不考虑变量的导数，所以是静态它与线性回归模型形式相似，但有本质区别，即它建立在生成数列的基础上，而线性回归模型建立在原始数据基础上。
u（四）Verhulst模型是对序列数据呈饱和S型曲线的情况进行预测将二次幂非线性微分模型 称为Verhulst模型常用于人口预测、生物生长、生命周期预测和产品经济寿命预测等如果X本身呈S形，而其一次累加呈增长型，对X仍建立GM(1, h)模型最合适 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.2 灰色预测模型灰色预测模型 v10.2.1 建立灰色预测模型建立灰色预测模型 v10.2.2 灰色预测模型实例灰色预测模型实例 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.2.1 建立灰色预测模型 u灰色预测是指基于灰色动态模型GM(1, 1)的预测，灰色预测模型一般指GM(1, 1)模型数列灰色预测的步骤如下：u第一步：级比检验，建模可行性分析 对于给定序列 ，能否建立精度较高的GM(1,1)预测模型，一般可用 的级比 的大小与所属区间，即其覆盖来判断 事前检验准则：设 , ，且级比 为 则当时 ，序列 可作GM(1, 1)建模。
辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3 灰色系统建模与适用范围 u第二步：数据变换处理 数据变换处理的原则是经过处理后的序列级比落在可容覆盖中，从而对于级比不合格的序列，可保证经过选择数据变换处理后能够进行GM(1, 1)建模通常的数据变换有平移变换、对数变换、方根变换 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3 灰色系统建模与适用范围 u第三步：GM(1,1)建模u（1）检验序列的非负性，如果序列中的数据有负数，则进行非负化处理，即所有序列数据加最小负数绝对值对含有零的序列在事前检验时，一般要做一次累加处理，消除序列中的零 （2）设原始数据为 （对含有负数的序列，则是经过非负处理并进行了一次累加以后的序列），计算一次累加序列 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3 灰色系统建模与适用范围 u（3）建立矩阵 (10.8) 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3 灰色系统建模与适用范围 u（4）根据公式10.9，求估计值 和 其中， (10.9) 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3 灰色系统建模与适用范围 u（5）用时间响应方程 ，计算拟合值 （6）用后减运算还原，即 , i=2,, n。
辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.1.3 灰色系统建模与适用范围 u（3）建立矩阵 (10.8) 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.3 灰色聚类分析灰色聚类分析 v10.3.1 基于灰色关联度的聚类分析基于灰色关联度的聚类分析v10.3.2基于灰色白化权函数的聚类方法基于灰色白化权函数的聚类方法 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.3.1基于灰色关联度的聚类分析 u灰色关联分析的基本思想是根据系统内部各因素之间发展态势的相似、相异程度来衡量因素之间关联程度的一种方法，即根据灰色时间序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密曲线越接近，相应灰色时间序列之间的关联度就越大，反之就越小它与传统的系统相关分析有所不同，它克服了传统的系统相关分析中的缺憾，它不受变量、典型分布等的限制 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.3.1基于灰色关联度的聚类分析 u定义10.1 灰关联度 设X={x0, x1,…, xm}为灰色关联因子集，系统特征序列为x0=(x0(1) , x0(2) ,…, x0(n))，相关因素序列为xi=(xi(1) , xi(2), …, xi(n))。
x0(k)，xi(k)分别为x0与xi的第k个数据点给定r(x0(k), xi(k))为实数，wk为k点权重，满足 ， (10.10) 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.3.1基于灰色关联度的聚类分析 u若满足以下四个条件： 1.规范性： ，若；若 ，或x0与xi同构； 2. 偶对对称性： ，3. 整体性： ，有 4. 接近性： 越小， 越大 则称 ，为x0对xi的灰关联度，亦称为灰关联映射，通常简记为 ， 为xi对x0在第k点的关联系数，简记为 ，并称上述4个条件为灰色关联四公理。
辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.3.1基于灰色关联度的聚类分析 u几种常用的灰色关联度几种常用的灰色关联度 利用位移差和斜率（速度、加速度）来表示关联度，是目前许多关联度量化模型的基本思路 （一）邓氏关联度 (10.11) 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.3.1基于灰色关联度的聚类分析 (10.12)u其中， 为分辨系数这是邓聚龙教授提出的灰色关联度，在众多的关联度量化模型中最为典型按照公式（10.12）中定义的算式可以得灰色关联度的计算步骤如下： 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.3.1基于灰色关联度的聚类分析 u第一步：求各序列的初值像（或均值像）。
令 (10.13) 第二步：求两极最大差与最小差，记为 M= ，m= (10.14)第三步：求关联系数 (10.15) 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.3.1基于灰色关联度的聚类分析 第四步：计算关联度 (10.16) 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.3.1基于灰色关联度的聚类分析 u（二）广义灰色绝对关联度 (10.17)其中 (10.18) (10.19) 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.3.1基于灰色关联度的聚类分析 其中， ， （k=1, 2,..n） 广义灰色绝对关联度的适用范围较广，它对等时距序列、非等时序列以及序列中有多个数据空缺的情形均适用，甚至还可用计算长度不同的序列间的关联度。
辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.3.1基于灰色关联度的聚类分析 u（三）B型关联度 (10.21) 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.3.1基于灰色关联度的聚类分析 u其中 (10.22) (10.23) (10.24) 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.3.1基于灰色关联度的聚类分析 u , , 分别为离散函数 与 的位移差，一阶斜率差和二阶斜率差。
上述关联度是根据事物发展过程中的相近性与相似性而提出的，其基本思想是用描述相近性的物理特征位移差及描述相似性的物理特征速度差（一阶斜率差）、加速度差（二阶斜率差）来共同反映序列间的关联程度 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.3.1基于灰色关联度的聚类分析 u 三、灰色关联聚类模型三、灰色关联聚类模型 设有n个观测对象，每个对象观测含有m个特征数据，得到序列如下： 对所有的 计算出 的绝对关联度 ，得上三角矩阵A称为特征变量的关联矩阵 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.3.1基于灰色关联度的聚类分析 (10.25) 取临界值 ,一般要求 ,当 时， 则视Xj与Xi为同类特征 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.3.1基于灰色关联度的聚类分析 u定义10.2 灰色关联聚类 特征变量X1, X2,…, Xn在临界值r下的分类称为特征变量的r灰色关联聚类。
r可根据实际问题的需要确定，r越接近于1，分类越细，每一组分类中的变量相对地越少；r越小分类越粗，这时每一组分类中的变量相对地越多 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.4灰色综合评价方法灰色综合评价方法 v10.4.1多层次灰色综合评价方法计算步骤多层次灰色综合评价方法计算步骤 v10.4.2多层次灰色综合评价方法应用案例多层次灰色综合评价方法应用案例 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.4.1多层次灰色综合评价方法计算步骤 u一、确定评价指标结构一、确定评价指标结构u设待评对象序号为c (c=1, 2,…, q)，指标按最高层(目标W)、中间层(一级评价指标Ui) (i=1, 2,…, n)和最低层(二级评价指标Vij) (i=1, 2,…, n; j =1, 2,…, m)建立评价指标体系如图10.2所示 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.4.1多层次灰色综合评价方法计算步骤 图10.2 多层次评价体系结构 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.4.1多层次灰色综合评价方法计算步骤 u二、指标处理二、指标处理 由于各种指标的量纲不一致，因而无法直接进行比较分析，为此，对于不同类型的指标，应采用不同的处理方法。
1. 定量指标 针对所涉及到的指标信息，通过定性分析可分为“越大越优型”和“越小越优型”，对原信息矩阵进行指标测度的统一处理， 即： 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.4.1多层次灰色综合评价方法计算步骤 u(1)评价指标“越大越优”时，可用上限效果测度记统一后的元素为： (2)评价指标“越小越优”时，可用下限效果测度记统一后的元素为： 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.4.1多层次灰色综合评价方法计算步骤 u2. 定性指标：由专家评判法得到定性指标值 u三、确定指标加权子集三、确定指标加权子集 评价指标Ui、Vij对目标W的重要程度是不同的，利用层次分析法确定指标权重求得Ui的权重为ai，指标的权重集为A=(a1, a2,…, an)，满足ai>=0，并归一化指标层Vij的权重为aij ，权重集Ai=(ai1, ai2,…, aim)，满足aij>=0，并归一化(i=1, 2,…, n; j=1, 2,…, m) 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.4.1多层次灰色综合评价方法计算步骤 u四、制定评价指标的评分等级标准四、制定评价指标的评分等级标准 设评价灰类序号为e（e=1, 2,…, g）,有g个评价灰类。
如g = 3，则将评价灰类取为三级(强，中，弱)；若g = 4，则评价灰类取为四级（优，良，中，差）；若g=5，则评价灰类取五个等级（强，较强，一般，较弱，弱）同时评分也可以选择介于两相邻等级之间的数值，如评分为4.5、3.1、2.7、1.5等 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.4.1多层次灰色综合评价方法计算步骤 u五、组织专家评分，确定评价值矩阵五、组织专家评分，确定评价值矩阵 设专家序号为k，k =1, 2,…, p，组织p个专家对第c个候选方案按评价指标Vij评分等级标准打分，得分为 ，并填写评价分值表，由此可得到关于某方案的多人评价矩阵 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.4.1多层次灰色综合评价方法计算步骤 (10.29) 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.4.1多层次灰色综合评价方法计算步骤 u利用灰色系统理论确定评估灰类，将分散的专家评价信息描述成属于不同评价灰类的向量，最后对此向量进行单值化处理。
六、确定评价灰类六、确定评价灰类 视实际评价问题分析确定评价灰类的等级g所对应的灰类灰数e及灰数的白化权函数fe(dijk)白化权函数的转折点的值为阈值可以从样本以外照准则或经验用类比的方法获得， 这样得到的阈值称为客观阈值从评价样本矩阵D (A)中寻找最大、最小和中等值，分别作为上限、下限和中等值的阈值，这种阈值称为相对阈值 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.4.1多层次灰色综合评价方法计算步骤 u七、计算灰色评价系数七、计算灰色评价系数 记第c个候选方案对评价指标Vij的第e个灰类的灰色评价系数 ，则对应的总灰色评价系数 八、计算灰色评价权向量及权矩阵八、计算灰色评价权向量及权矩阵 第c个候选方案对评价指标Vij的第e个灰类的灰色评价权 由于有g个灰类，对评价指标Vij的灰色评价权向量为 再得到对评价指标Ui的灰色评价权矩阵 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.4.1多层次灰色综合评价方法计算步骤 u九、多层灰色综合评价结果九、多层灰色综合评价结果u（1）二级灰色综合评价：第c个候选方案的评价指标Ui 的综合评价结果记为 ，由 可以得到指标Ui的灰色评价矩阵 （2）一级灰色综合评价：第c个候选方案的评价指标W的综合评价结果 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.4.1多层次灰色综合评价方法计算步骤 u十、计算综合评价值并排序十、计算综合评价值并排序uB(c)不能直接用于方案的排序，需要对B(c)作进一步处理。
将各灰类等级按阈值赋值，各评价灰类等级值化向量C={d1,d2,...,dg}，则第c个候选方案的综合评价值W(c)= B(c) CT同理，对q个候选方案分别进行多层次灰色综合评价计算，可得到W={W(1),W(2),...,W(q)}，根据W(c)大小排出q个候选方案的优劣次序 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.4.1多层次灰色综合评价方法计算步骤 图10.3 多层次灰色综合评价模型过程图 辽宁省物流航运管理系统工程重点实验室10.5 小结 u本章对灰色系统理论与方法进行详细阐述，包括：灰色系统理论概述、发展历程与应用现状和灰色系统的特点介绍了灰色系统GM(n, h)建模方法研究了灰色预测方法、灰色关联聚类分析、灰色白化权函数聚类分析、灰色综合评价方法和多层次灰色综合评价方法等灰色系统的技术与方法。