第三章 线性系统的时域分析法,3.1 线性系统时间响应的性能指标 3.2 一阶系统的时域响应 3.3 二阶系统的时域响应 3.4 高阶系统的时域响应 3.5 稳定性分析 3.6 稳态误差计算,分析和设计控制系统的首要工作是确定系统的数模，一旦获得系统的数学模型，就可以采用几种不同的方法去分析系统的性能 线性系统：,时域分析法，,根轨迹法，,频率法,非线性系统：,多输入多输出系统：,描述函数法，,相平面法,采样系统：,Z 变换法,状态空间法,3-1 线性系统时间响应的性能指标,3.1.1典型输入信号,动态性能，静态性能 动态性能需要通过其对输入信号的响应过程来评价因此在分析和设计控制系统时，需要一个对系统的性能进行比较的基准---典型输入信号条件：1 能反映实际输入；2 在形式上尽可能简单，便于分析；3 使系统运行在最不利的工作状态1,考查系统对恒值信号的跟踪能力,A=1，称单位斜坡函数,记为 t1(t),,2. 斜坡函数 （等速度函数）,,考查系统对匀速信号的跟踪能力,3. 抛物线函数（等加速度函数）,A=1，称单位抛物线函数,记为,,考查系统的机动跟踪能力,4. 脉冲函数,,考查系统在脉冲扰动下的恢复情况,各函数间关系：,（5）正弦函数,二. 阶跃响应的时域性能指标,c(t) = ct(t) + css(t) = 暂态响应 + 稳态响应,1. 暂态性能指标,图32,(1) 延迟时间td：c(t)从0到0.5c()的时间。
2)上升时间tr：c(t)第一次达到c()的时间无超调时, c(t)从0.1 c()到0.9 c()的时间3) 峰值时间tp： c(t)到达第一个峰值的时间,(4)调节时间ts： c(t)衰减到与稳态值之差不超过2%或5%所需的时间通常该偏差范围称作误差带,用符号表示， 即 =2%或 =5% 5)超调量s%：c(t) 最大峰值偏离稳态值的部分，常用百分数表示，描述的系统的平稳性2. 稳态性能指标 稳态误差ess：稳定系统误差的终值即,最后一节介绍3.2 一阶系统的时域分析,凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统TRC，时间常数 其典型传递函数及结构图为：, T 2T 3T 4T,当输入信号r(t)=1(t)时，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应3.2.1 单位阶跃响应,响应曲线在0，） 的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响应称为非周期响应 无振荡,,,,,,,,,0.632,0.95,0.982,,,,,0.865,1.0,一阶系统的瞬态响应指标调整时间ts 定义：c(ts) 1 = ( 取5%或2%),,,一阶系统响应具备两个重要的特点： 可以用时间常数T去度量系统输出量的数值。
响应曲线的初始斜率等于1/TT反映了系统的惯性 T越小惯性越小，响应快！ T越大，惯性越大，响应慢3.2.2 单位斜坡响应 r(t) = t ,,,,r(t)= t,c(t) = t T + Tet/T,稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上滞后了一个时间常数T的斜坡函数T,T,稳态分量（跟踪项+常值）,暂态分量,,表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位置上仍有误差，一般叫做跟踪误差 比较阶跃响应曲线和斜坡响应曲线：,在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，最终趋于0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也最大；无差跟踪 在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，最终趋于常值T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等于0有差跟踪3.2.3单位脉冲响应 R(s)=1,它恰是系统的闭环传函，这时输出称为脉冲（冲激）响应函数，以h(t)标志求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函对应,线性定常系统的重要性质,2. 在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分，积分常数由零初始条件决定。
1.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系统的输出则为原来输出的导数3.3.1 二阶系统的数学模型 标准化二阶系统的结构图为：,闭环传递函数为,二阶系统有两个结构参数 (阻尼比)和n(无阻尼振荡频率) 二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的3.3 二阶系统的时域分析,微分方程式为：,对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼振荡频率的含义是不同的例如: RLC电路,3.3.2二阶系统的闭环极点,二阶系统的闭环特征方程，即 s 2 + 2n s + n2 = 0,其两个特征根为：,上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比 的不同取值，特征根有不同类型的值，或者说在s平面上有 不同的分布规律分述如下：,s1,s2, 1 时，特征根为一对不等值的负实根，位于s 平面的负实轴上，使得系统的响应表现为过阻尼的3) 0 < < 1 时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，位于s平面 的左半平面上，使得系统的响应表现为欠阻尼的2) =1时，特征根为一对等值的负实根，位于s 平面的负实轴上，使得系统的响应表现为临界阻尼的s1= s2 = n,,,,,,n,s1,s2,jd, n,,(4) =0 时，特征根为一对幅值相等的虚根，位于s平面的虚轴上，使得系统的响应表现为无阻尼的等幅振荡过程。
jn,(5) < 0 时，特征根位于s平面的右半平面，使得系统的响应表现为幅值随时间增加而发散s1,s2,,阻尼比取不同值时，二阶系统根的分布, 1, = 1,0< < 1, = 0,3.3.3单位阶跃响应,由式,，其输出的拉氏变换为,式中s1，s2是系统的两个闭环特征根对上式两端取拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应表达式阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征根在s 平面上的位置不同，二阶系统的时间响应对应有不同的运动规律下面分别加以讨论1）欠阻尼情况 0<<1,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两部分组成：稳态分量为1，表明系统在1(t)作用下不存在稳态位置误差；瞬态响应是阻尼正弦项，其振荡频率为阻尼振荡频率d，而其幅值则按指数曲线衰减，两者均由参数 和n决定 (2)无阻尼情况=0,,,1,,衰减振荡,等幅振荡,,（3）临界阻尼情况=1 s1,2= n,此时响应是稳态值为1 的非周期上升过程，其变化率 t = 0，变化率为0； t 0变化率为正，c(t) 单调上升； t ，变化率趋于0整个过程不出现振荡，无超调，稳态误差01,,（4）过阻尼情况 1,响应特性包含两个单调衰减的指数项， 且它们的代数和不会超过1，因而响应是非振荡的。
调节速度慢不同于一阶系统）,（5）不稳定系统 <0,总结： 1）1时，响应与一阶系统相似，无超调，但调节速度慢； 3）0时，无过渡过程，直接进入稳态，响应等幅振荡； 4）0<<1时，响应有超调，但上升速度快，调节时间短，合理选择可使既快又平稳，工程上把0.707的二阶系统称为二阶最优系统；,Mp,3.3.4 二阶系统的动态性能指标,1.欠阻尼,用tr , tp , Mp , ts 四个性能指标来衡量瞬态响应的好坏1,0.5,,,,,,,,,0.05 或 0.02,,tr,tp,ts,td,,(1) 上升时间tr ：从零上升至第一次到达稳态值所需的时间，是系统响应速度的一种度量tr 越小，响应越快2) 峰值时间tp：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间3) 超调量Mp：响应曲线偏离阶跃曲线最大值，用百分比表示Mp只是 的函数，其大小与自然频率n无关 Mp,(4) 调节时间ts ：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过5%所需要的时间 c(t) c() c() ( t ts ),工程上，当0.1 < < 0.9 时，通常用下列二式近似计算调节时间 = 5% c(), = 2% c(),总结：,各性能指标之间是有矛盾的。
例3-1单位负反馈随动系统如图所示,(1) 确定系统特征参数与实际参数的关系 (2) 若K = 16(rad/s)、T = 0.25(s)，试计算系统的动态性能指标 解: (1) 系统的闭环传递函数为,与典型二阶系统比较(page 72)可得： K/T= n2 1/T = 2n,(2) K = 16，T = 0.25时,( =0.05 ),K/T= n2 1/T = 2n,,例3-2已知单位负反馈系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试求系统的开环传递函数解：由系统的单位阶跃响应曲线，直接求出超调量和峰值时间 Mp = 30% tp = 0.1,求解上述二式，得到 = 0.357，n= 33.65(rad/s) 于是二阶系统的开环传递函数为(page 72),作业1：P129 3-63.4高阶系统的时域分析,G(s)，H(s) 一般是复变量s 的多项式之比，故上式可记为,3.4.1高阶系统的阶跃响应 控制系统的基本结构如图所示其闭环传递函数为,,式中0 < k <1 即系统有q 个实极点和r 对共轭复数极点 称为系统闭环特征根，或闭环极点根据能量的有限性，分子多项式的阶次m不高于分母多项式的阶次n。
对上式进行因式分解，可以表示为,取拉氏反变换，并设全部初始条件为零，得到系统单位阶跃响应的时间表达式：,于是，系统单位阶跃响应的拉氏变换：,式中 ；k =arccos k ；Ak、Bk是与C(s)在对应闭环极点上的留数有关的常数上式表明，如果系统的所有闭环极点都具有负实部，系统时间响应的各暂态分量都将随时间的增长而趋近于零，这时称高阶系统是稳定的 3.4.2闭环主导极点 1）高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由 pi ，kn决定，也即闭环极点负实部的绝对值越大，相应的分量衰减越快 2）各分量所对应的系数由系统的零极点分布决定 3）系统的零极点共同决定了系统瞬态响应曲线的形状4）对系统瞬态响应起主导作用的极点，称为闭环主导极点 条件： 1 距离s平面虚轴较近，且周围没有其它的闭环极点和零点； 对应的暂态分量衰减缓慢，起主要作用 不会构成闭环偶极子，产生零极点相消现象 2 其实部的绝对值比其它极点小5倍以上 应用闭环主导极点的概念，可以把一些高阶系统近似为一阶或二阶系统，以实现对高阶系统动态性能的近似评估 一般情况，高阶系统具有振荡性，所以主导极点常常是一对共轭复数极点。
找到了一对共轭复数极点，高阶系统的动态性能就可以应用二阶系统的性能指标来近似估计3.5线性系统的稳定性分析 稳定性是对系统的基本要求，探讨系统的稳定条件，提出保证系统稳定的措施3.5.1稳定的概念和定义,如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统；如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则称为小范围稳定的系统 对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系统在初始扰动(t)的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定反之，则为不稳定 3.5.2线性系统的稳定条件 线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而与输入信号无关 根据定义输入扰动(t)，设扰动响应为Cn(t)如果当 t时， Cn(t)收敛到原来的平衡点，即有,那么，线性系统是稳定的 不失一般性，设n 阶系统的闭环传递函数为,,线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点。