第8讲不确定条件下的选择不确定条件下的选择不确定条件下的选择不确定条件下的选择平狄克平狄克平狄克平狄克 教材第教材第教材第教材第55章及其扩展章及其扩展章及其扩展章及其扩展1Chapter 1 本章讨论的主题本章讨论的主题n风险描述n风险偏好n降低风险n对风险资产的需求2Chapter 1 7.1 风险描述风险描述n不确定性与风险n以前所学的消费者选择是在确定条件下讨论的，但在许多情况下消费者面临着不确定性所谓不确定性是指以一个事件可能有多种结果发生，但我们不知道哪一种结果确定要发生n面对不确定性我们并非完全无能为力，我们可以用概率分析来作出判断，这就是风险问题，风险就是行动结果总是置于一定概率分布之下的“不确定性”n为了计量风险，我们必须知道:1) 所有可能的结果2) 每一种结果发生的可能性3Chapter 1 7.1 风险描述风险描述n概率（Probability）l概率是指每一种结果发生的可能性l概率的大小依赖于不确定事件本身的性质和人们的主观判断即客观概率和主观概率l客观概率：概率的一个较为客观的衡量来源于以往同类事件发生的可能性l投掷硬币：正，反，概率p=0.54Chapter 1 7.1 风险描述风险描述l主观概率：若无客观经验可循，概率的形成取决于主观性的判断，即依据直觉进行判断。
这种直觉可以是基于一个人的判断力或经验l不同的信息或者对于同一信息的不同处理能力使得不同个体形成的主观性概率有所区别l买股票：对同一只股票走势的判断；l天气：是否下雨的判断；l美国-伊朗战争的可能性5Chapter 1 7.1 风险描述风险描述n期望值（Expected Value）l期望值是对不确定事件的所有可能性结果的一个加权平均 u权数是每一种可能性结果发生的概率u期望值衡量的是总体趋势，即平均结果6Chapter 1 7.1 风险描述风险描述n例如l投资海底石油开采项目:l有两种可能结果：u成功 – 股价从30美元升至40美元u失败 – 股价从30美元跌至20美元7Chapter 1 7.1 风险描述风险描述l客观性概率（历史数据）：l100次开采，有25次成功，75次失败l用Pr表示概率，那么，lPr（成功）=1/4；lPr（失败）=3/4；8Chapter 1 7.1 风险描述风险描述n股价的期望值= Pr(成功)･(40美元/股)+ Pr(失败)･(20美元/股)=1/4 ･40+3/4 ･20=25美元/股9Chapter 1 7.1 风险描述风险描述n期望值（Expected Value）的公式：n假设Pr1，Pr2……Prn分别表示每一种可能性结果的概率，而X1，X2……Xn分别代表每一种可能性结果的值，那么，期望值的公式为：10Chapter 1 7.1 风险描述风险描述n方差l例子：l假设你面临着两份推销员兼职工作的选择，第一份工作是佣金制，第二份是固定薪水制。
这两份工作的期望值是一样的，你该如何选择？11Chapter 1 推销员工作的收入推销员工作的收入工作工作1: 佣金制佣金制0.520000.510001500工作工作2: 固定薪水制固定薪水制0.9915100.015101500收入的收入的概率概率收入收入($)概率概率收入收入 ($)期望值期望值结果结果1结果结果27.1 风险描述风险描述12Chapter 1 n工作1的期望值n工作2的期望值7.1 风险描述风险描述13Chapter 1 n这两份工作的期望值虽然一样，但是波动程度不同波动程度越大，也就意味着风险越大 n1）离差（Deviation）l离差是用于度量实际值与期望值之间的差，显示风险程度的大小7.1 风险描述风险描述14Chapter 1 与期望收入之间的离差与期望收入之间的离差工作工作12,000500 1,000- 500工作工作21,51010510-900 结果结果1 离差离差 结果结果2 离差离差7.1 风险描述风险描述15Chapter 1 7.1 风险描述风险描述n工作1的平均离差：平均离差= 0.5･(500)+0.5 ･(500)=500美元n工作2的平均离差：平均离差= 0.99･(10)+0.01･(990)=19.80美元因此，工作1的平均离差高于工作2，可以认为，工作1的风险要远高于工作2。
16Chapter 1 n2）方差：方差的公式n方差=Pr1 ･[X1-E(x)]2 + Pr2 ･[X2-E(x)]2n3）标准差（standard deviation）n衡量的是每一个结果与期望值之间的离差的平方的平均值（即方差）的平方根 即方差的平方根7.1 风险描述风险描述17Chapter 1 计算方差计算方差工作工作12,000 250,000 1,000 250,000 250,000 500.00工作工作21,510100510 980,100 9,900 99.50离差的离差的离差的离差的 结果结果1 平方平方结果结果 2 平方平方 方差方差标准差标准差7.1 风险描述风险描述18Chapter 1 7.1 风险描述风险描述n两份工作的标准差计算：*标准差越大，意味着风险也越大标准差越大，意味着风险也越大19Chapter 1 7.1 风险描述风险描述n方差的概念同样适用于存在多种可能性结果的场合例如，n工作1的可能性收入为1000，1100，1200，1300……2000，每一种可能性结果的概率同为1/11。
n工作2的可能性收入为1300，1400，1500，1600，1700，每一种可能性结果的概率同为1/520Chapter 1 两种工作收入的概率分布两种工作收入的概率分布收入收入0.1$1000$1500$20000.2工作工作1工作工作2工作工作1的收入分布的离散程度的收入分布的离散程度较高：标准差也大，风险也更大较高：标准差也大，风险也更大概率概率21Chapter 1 7.1 风险描述风险描述n不等概率收入分布的情况l工作1: 分散程度更高，风险也越大l收入呈凸状分布: 获得中间收入的可能性大，而获得两端收入的可能性小22Chapter 1 不同概率分布的情形不同概率分布的情形工作工作1工作工作2与工作与工作2相比，工作相比，工作1的收入的收入分布较离散，标准差也更大分布较离散，标准差也更大收入收入0.1$1000$1500$20000.2概率概率23Chapter 1 7.1 风险描述风险描述n决策（Decision making）l在上个例子中，一个风险回避者将选择工作2：因为两份工作的期望值相同，但工作1的风险较高l假设另一种情形：工作1的每一种结果下的收入都增加100美元，期望值变为1600。
该如何选择？24Chapter 1 收入调整后的方差收入调整后的方差 工作工作12,100250,0001,100 250,0001,600500工作工作21510100510980,1001,500 99.50离差的离差的离差的离差的收入的收入的 工作工作1 平方平方工作工作2 平方平方期望值期望值标准差标准差25Chapter 1 7.1 风险描述风险描述n工作1: 收入期望值为1,600美元，标准差为 500美元n工作2: 收入期望值为1,500美元，标准差为 99.50美元n如何选择?l这取决于个人的偏好——对待风险的态度26Chapter 1 7.2 风险的偏好风险的偏好n对不同风险的选择l假设u消费单一商品u消费者知道所有的概率分布u以效用来衡量有关的结果u效用函数是既定的27Chapter 1 n冯.诺依曼—摩根斯坦(VNM)效用函数:n期望效用函数n一个事件g有n个可能发生的结果：na1,a2,a3,……an;n概率分布为：p1,p2,p3,……pnn则VNM效用函数为：nU(g)= p1 U(a1)+p2 U(a2) +p3 U(a3)+,……pn U(an)n=∑ pi U(ai) 28Chapter 1 7.2 风险的偏好风险的偏好n某人现在的收入是某人现在的收入是15000美元，效用为美元，效用为13。
现现在，她考虑从事一项新的、有风险的工作在，她考虑从事一项新的、有风险的工作 n从事这项新的工作，她的收入达到从事这项新的工作，她的收入达到30000美元美元的概率是的概率是0.5(效用效用18），而收入降低到），而收入降低到10000美元的概率也为美元的概率也为0.5 (效用效用10）n她必须通过计算她的期望收入（或期望效用）她必须通过计算她的期望收入（或期望效用）来评价新的工作来评价新的工作例子例子29Chapter 1 7.2 风险的偏好风险的偏好n期望效用（expected utility）是与各种可能收入相对应的效用的加权平均，其权数为获得各种可能收入的概率n新工作的期望效用为： E(u) = (1/2)u($10,000) + (1/2)u($30,000) = 0.5(10) + 0.5(18) = 1430Chapter 1 7.2 风险的偏好风险的偏好l新工作的预期收入为20000美元，预期效用E(u) 为14，但新工作有风险l现有工作的确定收入为15000美元，确定的效用为13，没有风险l如果消费者希望增加其预期效用，就会选择新工作31Chapter 1 7.2 风险的偏好风险的偏好n不同的风险偏好l人们对风险的偏好可分为三种类型：l风险规避型（risk averse）l风险中性型（ risk neutral）l风险爱好型（risk loving） 32Chapter 1 7.2 风险的偏好风险的偏好l风险规避者（Risk Averse）: 风险规避者是指那些在期望收入相同的工作中，更愿意选择确定性收入的工作的人。
l如果一个人是风险规避者，其收入的边际效用往往递减u人们通过购买保险的方式来规避风险33Chapter 1 7.2 风险的偏好风险的偏好n例如，l某女士现在拥有一份确定收入为20000美元，其确定的效用为16l她也可以选择一份有0.5概率为30000美元、0.5概率为10000美元的收入的工作该工作的预期收入为20000美元，预期效用为lE(u) = (0.5)(10) + (0.5)(18) = 14风险规避者风险规避者34Chapter 1 7.2 风险的偏好风险的偏好n因此，两份工作的预期收入是相同的，但是，现有的确定收入给她带来的效用是16，而新的、有风险的预期收入给她带来的效用是14，所以，她会选择前者，即确定收入的工作n所以，该消费者是风险规避者风险规避者风险规避者35Chapter 1 收入收入效用效用该消费者是风险规避型的，因为该消费者是风险规避型的，因为她宁可选择一份确定收入为她宁可选择一份确定收入为20000美元美元的工作，而不选择另一份有的工作，而不选择另一份有0.5可能为可能为10000美元，美元，0.5可能为可能为30000美元的工作美元的工作E101015201314161801630ABCD风险规避者风险规避者7.2 风险的偏好风险的偏好36Chapter 1 7.2 风险的偏好风险的偏好n如果一个人对于具有同一期望收入的不确定性工作与确定性工作的偏好相同时，那么，他就是风险中性者（risk neutral）。
风险中性者风险中性者37Chapter 1 收入收入1020效用效用0306AEC1218该消费者是风险中性的，她对于该消费者是风险中性的，她对于期望收入相等的确定收入工作与期望收入相等的确定收入工作与不确定收入工作之间没有特别的偏好不确定收入工作之间没有特别的偏好7.2 风险的偏好风险的偏好风险中性者风险中性者38Chapter 1 7.2 风险的偏好风险的偏好n如果消费者在期望收入相同的确定性工作与不确定性工作中选择了后者，那么，该消费者就是风险爱好者（risk loving） l例如：赌博、一些犯罪活动风险爱好者风险爱好者39Chapter 1 收入收入效用效用03102030AEC818该消费者宁可去接受有风险该消费者宁可去接受有风险的工作，而不选择确定收入的工作，而不选择确定收入的工作，因此，她是风险爱好型的的工作，因此，她是风险爱好型的7.2 风险的偏好风险的偏好风险爱好者风险爱好者40Chapter 1 小结：不同风险偏好的比较小结：不同风险偏好的比较1)风险规避型（risk averse）l期望值的效用大于期望效用；U(E(g))>U(g) >0 , <02)风险中性型（ risk neutral）l期望值的效用等于期望效用；U(E(g))=U(g) =常数 , =03)风险爱好型（risk loving）l期望值的效用小于期望效用；U(E(g))0 , >041Chapter 1 风险规避程度的数学刻画风险规避程度的数学刻画绝对风险规避系数，Ra越大风险规避程度越大。
1)若Ra>0,风险规避型（risk averse）2)若Ra=0,风险中性型（ risk neutral）3)若Ra<0,风险爱好型（risk loving）42Chapter 1 7.2 风险的偏好风险的偏好n风险贴水（risk premium）是指风险规避者为了规避风险而愿意付出的代价，它是能够给一个人带来相同效用的风险性工作与确定性工作之间的收入差额n 这份等价的确定性工作称之为确定性等值确定性等值n已知效用函数已知效用函数u(g)；；g1，，g2；； p1 ，，p2n用用CE表示确定性等值，表示确定性等值，u(g)表示期望效用，表示期望效用，P表示风险贴水，则有以下表示风险贴水，则有以下公式：公式： nE(g)= p1* g1+p2* g2; nu(g)=p1* u(g1)+p2* u(g2); n解方程解方程U(CE)= u(g)，可计算出，可计算出CE ,所以所以 P=E(g)- CE; 确定性等值与风险贴水确定性等值与风险贴水43Chapter 1 44Chapter 1 收入收入效用效用0g1=10CE=161018g2=30402014ACEGE(g)=20F风险贴水风险贴水P=E(g)- CE7.2 风险的偏好风险的偏好45Chapter 1 7.2 风险的偏好风险的偏好n例如l一个消费者有一份有0.5可能为30000美元，有0.5可能为10000美元的工作（预期收入为20000美元）。
u(10000)=10, u(30000)=18l这种预期收入产生的预期效用为:uE(u) = 0.5(18) + 0.5(10) = 14l根据效用函数这个消费者确定性收入为确定性收入为16的效用也是的效用也是14，，u(16000)=14l由于确定性收入为由于确定性收入为16000与期望值为与期望值为20000的不确定收入所产生的效的不确定收入所产生的效用均为用均为14，因此，，因此，l20000-16000=4000就是风险贴水就是风险贴水, 16000就是这份工作的确定性等就是这份工作的确定性等值确定性等值与风险贴水确定性等值与风险贴水46Chapter 1 收入收入效用效用01016由于确定性收入为由于确定性收入为16与期望值与期望值为为20的不确定收入所产生的效的不确定收入所产生的效用均为用均为14，因此，，因此，4就是风险贴水就是风险贴水101830402014ACEG20F风险贴水风险贴水7.2 风险的偏好风险的偏好47Chapter 1 7.2 风险的偏好风险的偏好n预期收入的波动程度越大，风险贴水也就越高n例如:l有一份工作，获得40000美元收入（效用为20）的可能性为0.5，收入为0（效用为0）的可能性为0.5。
48Chapter 1 7.2 风险的偏好风险的偏好n在此例中，l预期收入仍为20000美元，但预期效用下降至10l预期效用 =0.5u($0) + .5u($40,000) = 0 + .5(20) = 10l预期收入为20000美元的不确定性工作所带来的预期效用仅为10l事实上，确定性收入为10000美元时，其效用也为10因此，在此例中，风险贴水为10000美元（即预期收入20000美元减去确定性收入10000美元） 49Chapter 1 7.3 降低风险降低风险n消费降低风险的措施主要有三种:1) 多样化2) 购买保险3) 获取更多的信息50Chapter 1 7.3 降低风险降低风险n多样化 l假设一个厂商可以选择只销售空调、或加热器，或者两者兼而有之l假设热天与冷天的概率均为0.5 l厂商通过多样化经营可以减少风险51Chapter 1 7.3 降低风险降低风险销售空调销售空调30,000 12,000销售加热器销售加热器12,00030,000 *热天或冷天的概率均为热天或冷天的概率均为0.5 热天热天 冷天冷天 销售空调或加热气的收入销售空调或加热气的收入52Chapter 1 7.3 降低风险降低风险n如果厂商只销售空调，或只销售加热气，那么，收入或为30000美元，或为12000美元。
n预期收入为:l1/2($12,000) + 1/2($30,000) = $21,000多样化多样化53Chapter 1 7.3 降低风险降低风险n假如厂商分别将一半的时间用于销售空调，另一半时间销售加热器：n如果天气炎热，空调的销售收入为15000，加热器的销售收入为6000，预期收入为21000n如果天气较冷，空调的销售收入为6000，加热器的销售收入为15000，预期收入为21000n因此，通过多样化经营，天气无论炎热或较冷，厂商均可获得21000的预期收入（固定收入），没有风险多样化多样化54Chapter 1 7.3 降低风险降低风险n在上例中，加热器与空调是完全负相关的，厂商通过多样化经营可以消除风险n在通常的情况下，通过将投资分散在一些相关性较小的事件上，可以较大程度地消除一部分风险多样化多样化55Chapter 1 7.3 降低风险降低风险n风险规避者为了规避风险愿意付出一定的代价n如果保险的价格正好等于期望损失，风险规避者将会购买足够的保险，以使他们任何可能的损失得到全额的补偿保险保险56Chapter 1 投保的决策投保的决策不投保不投保$40,000$50,000$49,000$9,055投保投保49,00049,00049,0000保险的价格是多少？如果被盗保险公司支付多少？保险的价格是多少？如果被盗保险公司支付多少？ 被盗被盗 安全安全 预期预期 (Pr =0.1)(Pr =0.9) 财富财富标准差标准差57Chapter 1 7.3 降低风险降低风险n保险的购买使得无论有无风险损失，投保人的收入总是固定的。
因为保险的支出等于期望损失，因此，固定收入总是等于风险存在时的期望收入n对于一个风险规避者而言，确定收入给他带来的效用要高于有风险的不确定收入带来的效用保险保险58Chapter 1 7.3 降低风险降低风险n大数定律（the law of large number）是指尽管孤立的事件是偶发性的，或者大部分是不可预测的，但是，许多相似事件的平均结果是可预计的 大数定律大数定律59Chapter 1 7.3 降低风险降低风险n假设:l某人家中被盗的可能性是10%，损失为10000美元l预期损失 = 0.10 x $10,000 = $1,000 l假定有100人面临同样的境况保险公司的收支保险公司的收支60Chapter 1 7.3 降低风险降低风险n每人交纳1000美元的保费，100人就汇集了100000美元的保险基金，用于补偿损失n保险公司估计，这100个人的期望损失总计约为100000美元，有了上述的保险基金，保险公司就不必无法赔付损失了保险公司的收支保险公司的收支61Chapter 1 7.3 降低风险降低风险n完全信息的价值（Value of Complete Information ）l完全信息的价值是信息完全时进行选择的期望收益与信息不完全时进行选择的期望收益的差额。
信息的价值信息的价值62Chapter 1 7.3 降低风险降低风险n假设商场经理要决定订多少套的秋季服装:l如果订100套，则进价为180美元/套l如果订50套，则进价为 200美元/套l每套的售价是300美元l如果衣服没有卖出，可以一半的价格退货l售出100套衣服的概率为0.5，售出50套衣服的概率也是0.5信息的价值信息的价值63Chapter 1 1. 订订50套套 5,000 5,000 5,0002. 订订100套套1,50012,0006,750 售出售出50套套 售出售出100套套 期望收益期望收益 64Chapter 1 7.3 降低风险降低风险n如果没有完全的信息:l风险中性者会订100套服装l风险规避者会订50套服装65Chapter 1 7.3 降低风险降低风险n假设信息完全，那么，订货数必须与销售量相同有两种结果：订50套售出50套，或者订100套售出100套这两种结果的概率均为0.5n如果信息完全，作出正确的选择，那么，预期收益为8,500.l8,500 = 0.5(5,000) + 0.5(12,000)n如果信息不完全，订100套的预期收益为6,750。
n因此，完全信息的价值就是1750（8500-6750）66Chapter 1 本章小结本章小结n面对未来的不确定性，消费者和管理者经常要进行决策n消费者和投资者关心不确定结果的期望值与波动程度n在进行不确定选择时，消费者追求期望效用最大化，它是各种可能结果带来的效用的加权平均，权数为各种结果发生的概率67Chapter 1 本章小结本章小结n人们对风险的偏好类型有三种：风险规避型、风险中性型和风险爱好型n风险规避者为避免风险而愿意付出的最大的代价称为风险贴水n通过多样化、购买保险以及获得更多信息的方式可以降低风险68Chapter 1 习题习题n1．假设王五的效用函数为 ，其中I代表以千元为单位的年收入n（1）王五是风险中性的，风险规避的还是风险爱好型的，请解释n（2）假设王五现在的年收入为10000元，该工作是稳定的，他可以获得另一份工作，收入为15000元的概率为0.5，收入为5000元的概率为0.5，王五将作何选择？（中山大学2004研）n2. 某人的效用函数形式为某人的效用函数形式为u=lnw他有1000元钱，如果存银行，一元钱，如果存银行，一年后他可获存款的年后他可获存款的1.1倍，若他买彩票，经过同样时间后他面临两种倍，若他买彩票，经过同样时间后他面临两种可能：有可能：有50%的机会他获得买彩票款的的机会他获得买彩票款的0.9倍，倍，50%的可能获得彩票的可能获得彩票款的款的1.4倍。
请问他该将多少钱存银行，多少钱买彩票请问他该将多少钱存银行，多少钱买彩票北大2006研）69Chapter 1 练习题练习题n1．假设王五的效用函数为 ，其中I代表以千元为单位的年收入n（1）王五是风险中性的，风险规避的还是风险爱好型的，请解释n（2）假设王五现在的年收入为10000元，该工作是稳定的，他可以获得另一份工作，收入为15000元的概率为0.5，收入为5000元的概率为0.5，王五将作何选择？（中山大学2004研）n解：解：（1）王五的货币边际效用为n ；； >0n 货币的边际效用是递增的，所以王五是风险爱好者n （2）王五获得另一份工作的期望收益为n 期望收益和原来的年收入一样，因为王五是风险爱好者，在期望收益相同时，王五会选择风险更大的工作，即王五将辞掉目前的工作，而找另一份工作n注：也可以直接用效用函数来计算：U（10000）=1000000n0.5* U（15000） +0.5* U（5000）=1095335.370Chapter 1 n2. 某人的效用函数形式为某人的效用函数形式为u=lnw。
他有他有1000元钱，如果存银行，一年后他可获存款的元钱，如果存银行，一年后他可获存款的1.1倍，若他倍，若他买彩票，经过同样时间后他面临两种可能：有买彩票，经过同样时间后他面临两种可能：有50%的机会他获得买彩票款的的机会他获得买彩票款的0.9倍，倍，50%的可能获的可能获得彩票款的得彩票款的1.4倍请问他该将多少钱存银行，多少钱买彩票请问他该将多少钱存银行，多少钱买彩票北大2006研）n解：解：假设此人将其所拥有的1000元中的x用于购买彩票，他将剩余的（1000－x）元存在银行n对于（1000－x）元的银行存款而言，在一年后连本带息将有1.1×（1000－x）元；n而对于x元购买彩票的钱而言，将有两种可能性：n①获得0.9x元，其概率为0.5n②获得1.4x元，其概率为0.5n综上所述，此人的期望效用为：nEU =0.5×ln[1.1×（1000－x）+0.9x]＋0.5×ln[1.1×（1000－x）+1.4x]n =0.5×ln(1100-0.2x)+0.5×ln(1100+0.3x)n令，n解得x=916.7 n所以此人为了使其预期效用最大化，他将花费916.7元用于购买彩票，将剩余的钱83.3元用于银行存款。
71Chapter 1 n3．近年来保险业在我国得到迅速发展，本题应用经济学原理分析为什么人们愿意购买保险，假定有一户居民拥有财富10万元，包括一辆价值2万元的摩托车，该户居民所住地区时常发生盗窃，因此有25%的可能性该户居民的摩托车被盗，假定该户居民的效用函数为 ,其中W表示财富价值n（1）计算该户居民的效用期望值n（2）如何根据效用函数判断该户居民是愿意避免风险，还是爱好风险？n（3）如果居民支付一定数额的保险费则可以在摩托车被盗时从保险公司得到与摩托车价值相等的赔偿，试计算该户居民最多愿意支付多少元的保险费？n（4）在该保险费中“公平”的保险费（即该户居民的期望损失）是多少元？保险公司扣除“公平”的保险费后的纯收入是多少元？（北大1998研） 72Chapter 1 n解：解：（1）该户居民的期望效用为：75%×ln100 000 +25%×ln80 000=11.46n（2） 故该户居民是风险规避者n（3）缴纳保险费后，居民的财富确定地为：n不缴纳保险费，居民的预期效用为：11.46n故 元。
n居民最多愿意支付5 434元n（4）公平的保险费为2×25%=0.5万元n故保险公司扣除“公平”的保险费后的纯收入是5 434－5 000=434（元）73Chapter 1 。