晶向指数和晶面指数晶向指数和晶面指数主讲：张希清主讲：张希清1 晶向晶向（（crystal directions）） ：：通过晶体中任意两个通过晶体中任意两个结点的连线的方向，代表了结点的连线的方向，代表了晶体中原子列的方向晶体中原子列的方向晶面：晶面： （（crystal planes））晶晶体体结结构构中中不不在在同同一一直直线线上上任任三三个个阵阵点点所所构构成成的的平面，代表了晶体中原子面的方向平面，代表了晶体中原子面的方向ⅠⅠ.什么是晶向和晶面什么是晶向和晶面?2 （（1 1））. .不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向2 2））. .材料的许多性质和行为材料的许多性质和行为( (如各种物理性质、力学行为、如各种物理性质、力学行为、相变、相变、X X光和电子衍射特性等光和电子衍射特性等) )都和晶面、晶向密切相关；都和晶面、晶向密切相关；ⅡⅡ、、如何表征晶向和晶面？如何表征晶向和晶面？3 （（1 1））. .解析法：用一组解析法：用一组(3(3或或4 4个个) )数字表征晶面和晶向数字表征晶面和晶向这组数就称为晶面指数或晶向指数。
它是材料科学工这组数就称为晶面指数或晶向指数它是材料科学工作者的共同语言作者的共同语言晶向符号晶向符号( (指数指数) ) ：表示晶向方位的数字符号表示晶向方位的数字符号晶面符号晶面符号( (指数指数) )：表示晶面在空间方位的符号表示晶面在空间方位的符号2 2））. .图示法：用各种晶体投影图表征晶面或晶向图示法：用各种晶体投影图表征晶面或晶向为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际国际上通用密勒指数上通用密勒指数（Ｍ（Ｍiller indices ））来统一标定晶向指数来统一标定晶向指数与晶面指数与晶面指数4 一一. . 晶向符号晶向符号( (三轴，如立方三轴，如立方) )用三指数用三指数u，，v，，w表示晶向符号表示晶向符号确定确定三轴坐标系下晶向指数三轴坐标系下晶向指数［ｕｖｗ［ｕｖｗ] ]的步骤如下：的步骤如下：(1)(1)设坐标设坐标以以晶晶胞胞的的某某一一阵阵点点O为为原原点点，，过过原原点点O的的晶晶轴轴为为坐坐标标轴轴x, y , z, 以晶胞点阵矢量的长度作为坐标轴的长度单位以晶胞点阵矢量的长度作为坐标轴的长度单位立方立方立方立方晶系晶系晶系晶系中阵中阵中阵中阵点坐点坐点坐点坐标标标标5 (2) (2) 求坐标求坐标过原点过原点O作一直线作一直线OP，使其平行于待定晶向。
使其平行于待定晶向在直线在直线OP上任取（除原点外）上任取（除原点外）一个阵点一个阵点P，确定，确定P点的点的3个坐个坐标值标值X、、Y、、Z方法上可作平方法上可作平行六面体，从行六面体，从而求而求X、、Y、、Z，不能向各晶，不能向各晶轴面作垂线求轴面作垂线求坐标6 (3)以轴单位以轴单位a、、b、、c来度量，得系数来度量，得系数U、、V、、W.U=X/a，，V＝＝Y/b，，W＝＝Z/cr = U a + V b + W c确定立方晶系中确定立方晶系中确定立方晶系中确定立方晶系中晶向指数示意图晶向指数示意图晶向指数示意图晶向指数示意图 OP7 (4) (4) 化为互质整数比化为互质整数比将这将这3个坐标值化为互质的最小整数个坐标值化为互质的最小整数u，，v，，w不求倒数不求倒数5)(5) 列括号［ｕｖｗ］列括号［ｕｖｗ］，，[u v w][u v w]即为待定晶向的晶向指即为待定晶向的晶向指数若晶向上一坐标值为负值则在指数上加一负号若晶向上一坐标值为负值则在指数上加一负号不加不加逗号逗号e.g., x-axis [100] y-axis [010] z-axis [001][111][110] [U V W] —— 晶向晶向Miller指数指数X/a：：Y/b：：Z/c＝＝u：：v：：w8 9 （（1 1）找出该晶向上两点的坐标）找出该晶向上两点的坐标(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )和和(x(x2 2,y,y2 2,z,z2 2););（（2 2）将）将(x(x1 1-x-x2 2) )，，(y(y1 1-y-y2 2) )，，(z(zl l-z-z2 2) )化成互质整数化成互质整数u u，，v v，，w;w;（（3 3）满足）满足u u：：v v：：w w＝＝(x(x1 1一一x x2 2) )：：(y(y1 1一一y y2 2) ) ：：(z(zl l—z—z2 2) )。
若原点不在待标晶向上，还可以这样操作：若原点不在待标晶向上，还可以这样操作：[112]10 11 （（1 1））与与原原点点位位置置无无关关；；每每一一符符号号代代表表一一组组在在空空间间相相互互平平行且方向一致的所有晶向行且方向一致的所有晶向 晶向符号特征及规律：晶向符号特征及规律：（（2 2）若晶向所指的方向相反，则晶向数字相同符号相反若晶向所指的方向相反，则晶向数字相同符号相反 [110][110]与与平行的晶向平行的晶向, ,方向相反方向相反 [110][110]12 （（3 3）有些晶向在空间位向上不同，但晶向原子排）有些晶向在空间位向上不同，但晶向原子排列情况相同，这些晶向可归为一个列情况相同，这些晶向可归为一个晶向族晶向族，用，用〈ｕｖｗ〉表示如〈〈ｕｖｗ〉表示如〈111111〉晶向族包括〉晶向族包括[111][111]、、[T11][T11]、、[1T1][1T1]、、[11T][11T]、、[TT1][TT1]、、[1TT][1TT]、、[T1T][T1T]、、[TTT] [TTT] 同一晶向族中晶向上原子排列因对称关同一晶向族中晶向上原子排列因对称关系而等同。
系而等同 13 晶向族：等价晶向晶向族：等价晶向 e.g., <100>=[100]+[010]+[001] +[100]+[010]+[001] (立方晶体立方晶体)区别区别: :晶族晶族(crystal group)(crystal group)14 <110>=?<110>=?<110>=[110]+[101]+[011]+[T10]+[1T0]+[T01]+[10T]+[0T1]+[01T]+[TT0]+[T0T]+[0TT]15 晶向族晶向族: :任意交换指数的位置和改变符号后的所有指数任意交换指数的位置和改变符号后的所有指数 < <111111> >=?=?< <111111> >=[111]+[ 11]+[1 1]+[11 ]=[111]+[ 11]+[1 1]+[11 ]＋＋ [TT1][TT1]＋＋[1TT][1TT]＋＋[T1T][T1T]＋＋[TTT][TTT]< <112112> >=?=?< <123123> >=?=?16 二二. . 晶面指数晶面指数( (三轴，如立方三轴，如立方) )1 1、确定、确定立方晶系晶面指数立方晶系晶面指数（ｈｋｌ）的步骤如下（ｈｋｌ）的步骤如下: : 设坐标设坐标：： 在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同；同；原点设在待求晶面以外原点设在待求晶面以外。
晶面符号中应用最广的是晶面符号中应用最广的是米氏符号米氏符号，由英国学者米勒尔在，由英国学者米勒尔在1839年创立17 ❷ 求截距系数求截距系数：： 顺序求待标晶面在三个轴上的顺序求待标晶面在三个轴上的截距系数截距系数(p(p、、q q、、r)r)，即由该晶，即由该晶面在三个晶轴上的截距用相应的面在三个晶轴上的截距用相应的轴单位去度量而求得轴单位去度量而求得 因为截距的具体值不便应用，因为截距的具体值不便应用，且轴单位相同用具体值也不必要，且轴单位相同用具体值也不必要，所以取截距系数所以取截距系数 截距系数相同的晶面，由于晶截距系数相同的晶面，由于晶系的不同，其在各晶轴上所截的真系的不同，其在各晶轴上所截的真正长短也并不一定相等正长短也并不一定相等18 取倒数取倒数：：取各截距系数的倒数；取各截距系数的倒数； 1/x, 1/y, 1/z 化整数化整数：：将三倒数化为互质的整数比将三倒数化为互质的整数比h：：k：：l 取倒数是为了使一些平行于某晶轴的晶面能标定其取倒数是为了使一些平行于某晶轴的晶面能标定其符号，否则如符号，否则如∞：２：：２：1等无法标定。
不存在某位为零等无法标定不存在某位为零而无法求倒问题，因为晶面符号表示一系列平行晶面，而无法求倒问题，因为晶面符号表示一系列平行晶面，如某面的截距为零，则平移即可如某面的截距为零，则平移即可 求比是因为对诸如截距系数为：求比是因为对诸如截距系数为：1、、2、、4；；2、、4、、8等晶面，其位向实际上完全相同，性质也一样，而这些平等晶面，其位向实际上完全相同，性质也一样，而这些平行的晶面在晶体中近于无穷多个，用截距系数或倒数作符行的晶面在晶体中近于无穷多个，用截距系数或倒数作符号将会有无数个，不现实也没必要由于其方位相同，性号将会有无数个，不现实也没必要由于其方位相同，性质相同，所以应采用同一符号，故应质相同，所以应采用同一符号，故应求比求比并且并且化简化简h：：k：：l＝＝1/p：：1/q：：1/r19 加加括括号号：：去去掉掉比比号号，，加加一一小小括括弧弧，，记记为为（（hklhkl）），，即即表表示示该该晶晶面面的的米米氏氏符符号号，，如如果果所所求求晶晶面面在在晶晶轴轴上上截截距距为为负负数数（（该该晶晶面面与与该该轴轴负负方方向向相相截截））则则在在指指数数上上加加一一负负号号。
其其中中h h、、k k、、l l称称为为晶晶面面指指数数（（米米勒勒指指数数）），，它它们们是是一一组组小小的、互质的整数的、互质的整数20 21 2.2.晶面指数特点与规律：晶面指数特点与规律：（1)与原点位置无关；每一晶面符号对应一组相互平行的晶面晶面符号代表在原点同一侧的一组相互平行且无限大的晶面符号代表在原点同一侧的一组相互平行且无限大的晶面，晶面，而不是某一晶面而不是某一晶面2) (2) 若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面是以点为若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面是以点为对称中心，且相互平行的晶面如（对称中心，且相互平行的晶面如（110110）和（）和（TT0TT0）互）互相平行 （（3）） 晶面指数是截距系数的倒数，因此，截距系数越大，晶面指数是截距系数的倒数，因此，截距系数越大，则相应的指数越小，而当晶面平行某一晶轴时，其截距则相应的指数越小，而当晶面平行某一晶轴时，其截距系数为系数为∞，对应的指数为，对应的指数为1/∞＝＝0.（（100100）与）与 平行的晶面平行的晶面, ,方向相反方向相反 （（ 00 00））22 （4)立方晶系中：相同指数（指数和符号均相同）的晶向和晶面互相垂直，即同指数的晶向是晶面的法线方向。
如：如：[111] ⊥⊥（（111）、）、[110] ⊥⊥（（110）、）、[100] ⊥⊥（（100）该规律适用于三根晶轴相互垂直时，如果三轴不相互垂直，则规律适用于三根晶轴相互垂直时，如果三轴不相互垂直，则(hkl)与与[hkl]不垂直晶面晶面（（hkl）的法线与晶向）的法线与晶向[hkl]的方向平行，这就是晶面指的方向平行，这就是晶面指数的几何意义数的几何意义 （（100100）与）与 ［［100100］？］？有何关系？有何关系？23 动画动画--晶面指数的确定方法晶面指数的确定方法24 例例: (由晶面符号画出晶面由晶面符号画出晶面)25 3 3、晶面族、晶面族 在晶体内在晶体内凡晶面间距和凡晶面间距和晶面上原子排晶面上原子排列分布情况完列分布情况完全相同，只是全相同，只是空间位向不同空间位向不同的一组晶面的的一组晶面的集合集合称为称为晶面晶面族族26 晶面族表示方法：晶面族表示方法：用花括号用花括号{hkl}{hkl}表示表示它代表它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和由对称性相联系的若干组等效晶面的总和 如如{100}包括包括(100)、、(010)、、(001)、、(T00)、、(0T0)、、(00T)。
{ {110110} }＝？＝？{111{111｝＝？｝＝？27 Total: 12Total: 12{ {h k lh k l} } 晶面族：等价晶面晶面族：等价晶面晶面族：任意交换指数的位置和改变符号后的所有结果晶面族：任意交换指数的位置和改变符号后的所有结果{110}=(110)+(101)+(011)+(T10)+(1T0)+(T01)+(10T)+(0T1)+(01T)+(TT0)+(T0T)+(0TT)晶面族中等价晶面的个数用于多晶晶面族中等价晶面的个数用于多晶x x射线衍射中多重性因射线衍射中多重性因子的表示子的表示立方立方晶系晶系晶体晶体28 Total: 8Total: 8Total: 24Total: 24{111}=(111)+(T11)+(1T1)+(11T)+(TT1)+(1TT)+(T1T)＋＋(TTT)立方晶系：立方晶系：再加上以上各指数均取相反数的符号再加上以上各指数均取相反数的符号立方晶系：立方晶系：29 Total: 48Total: 48再加上以上各指数均取相反数的符号再加上以上各指数均取相反数的符号30 立方晶体中重要晶面的原子排列和面密度立方晶体中重要晶面的原子排列和面密度plane indicesBCCFCCatomic arrangementplanar densityatomic arrangementplanar density{100}{110}{111}DiscussionsDiscussions31 linear indicesBCCFCCatomic arrangementlinear densityatomic arrangementlinear density<100><110><111>立方晶体中重要晶向的原子排列和线密度立方晶体中重要晶向的原子排列和线密度32 三三. .六方晶系的晶向和晶面指数六方晶系的晶向和晶面指数 为何用四轴坐标? 该系统的独特对称性决定的。
33 a ac cb b六方晶系的晶向指数和六方晶系的晶向指数和晶面指数同样可以应用晶面指数同样可以应用上述三轴方法标定，这上述三轴方法标定，这时取时取a1，，a2（（b），），c为为晶轴，而晶轴，而a1轴与轴与a2轴的轴的夹角为夹角为120度，度，c轴与轴与a1，，a2轴相垂直轴相垂直但这种但这种三轴方法标定的三轴方法标定的晶面指数和晶向指数，晶面指数和晶向指数，不能完全显示六方晶系不能完全显示六方晶系的对称性的对称性用三个指数表示晶面和晶向，晶体学上等价的晶面和晶向不用三个指数表示晶面和晶向，晶体学上等价的晶面和晶向不具有类似的指数具有类似的指数34 为了使晶体学上等价的晶面或晶向具有类似的指数，对六方为了使晶体学上等价的晶面或晶向具有类似的指数，对六方晶体来说，就得采用四指数表示晶体来说，就得采用四指数表示对六方晶系采用对六方晶系采用a a1 1，，a a2 2，，a a3 3及及c c四个晶轴，其中四个晶轴，其中a a1 1、、a a2 2、、a a3 3处于同一底面上，且处于同一底面上，且a a1 1，，a a2 2，，a a3 3之间的夹角均为之间的夹角均为120°120°，，表示晶体底面的表示晶体底面的(六次六次)对称性，对称性，C C轴轴垂直于底面。
这样，其晶面指数就以垂直于底面这样，其晶面指数就以( (hkilhkil) )表示35 1)1)晶面指数晶面指数(h k i l)(h k i l)四四个指数来表示个指数来表示 2)确定步骤确定步骤方法同立方晶方法同立方晶系系一样一样，， 3)3)(h k i l)(h k i l)为在四个坐为在四个坐标轴的截距系数倒数的标轴的截距系数倒数的化简4)4)底面指数为底面指数为(0001)(0001)1 1、晶面指数、晶面指数36 可以证明: i ≡－(h＋k)根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以个前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以下关系：下关系：i ＝－＝－ ( h + k ) a3＝一(a1+a2)37 六方晶体中常见的晶面六方晶体中常见的晶面38 (1)(1)平移晶向平移晶向( (或坐标或坐标) )，，让原点为晶向上一点，让原点为晶向上一点，取另一点的坐标取另一点的坐标; ;(2)必须满足必须满足u+v+t＝＝0，， 或或t=－－(u+v)标定方法：标定方法：2 2、晶向指数、晶向指数晶向指数晶向指数 [uvtw][uvtw] 四个指数来表示。
四个指数来表示39 动画动画—六方晶系晶向的四轴表示和三轴表示六方晶系晶向的四轴表示和三轴表示用四轴分量表示一个矢量的方法有无穷多种，用四轴分量表示一个矢量的方法有无穷多种，为使指数为使指数唯一唯一, 设一额外设一额外限制限制条件：条件：. ---Let t＝－＝－(u＋＋v)40 (3)(3)化成最小、整数化成最小、整数比比 u u：：v v：：t t：：w w(4) 放在方括号中放在方括号中[uvtw][uvtw]，不加逗号，，不加逗号，负号号记在上方在上方 41 42 指数变换指数变换 三指数三指数→四指数四指数. 四指数四指数→三指数三指数 设一个矢量的设一个矢量的3轴下指数为轴下指数为[U V W], 四轴下矢量四轴下矢量为为 [u v t w].有有∵∵∵∵43 or:44 For example:45 六方晶系的晶向族与晶面族六方晶系的晶向族与晶面族1)1)同一族的晶向或晶面具同一族的晶向或晶面具有等同的效果；有等同的效果；2)2)三个三个水平方向具有等同水平方向具有等同的效果，指数的交换只的效果，指数的交换只能在他们之间进行，能在他们之间进行，Z Z轴只能改变符号轴只能改变符号；；3)3)改变符号时，前三项要改变符号时，前三项要满足满足p p＋＋q q＋＋r r＝＝0 0的相关的相关性要求。
性要求46 共六个等价面；而{0001}只包括(0001)和(0001)两个晶面，称为基面共六个等价面；{1010}=(1010)+(1100)+(0110)+(0110)+(1100)+(1010){1120}＝(1120)+(1210)+(2110) ＋(1120)+(1210)+(2110)47 四四. .晶带与晶带符号晶带与晶带符号晶带晶带和晶带轴和晶带轴————平行或相交于同一直线的所有晶面构成平行或相交于同一直线的所有晶面构成一个一个晶带晶带，此直线称为，此直线称为它们的它们的晶带轴晶带轴属此晶带的晶面称属此晶带的晶面称为为晶带面晶带面晶体上彼此交棱相互平行的一组晶面的组合构晶体上彼此交棱相互平行的一组晶面的组合构成一个晶带成一个晶带[001]如：如：NaClNaCl的立方体晶体，的立方体晶体，（（010010）、（）、（001001）、（）、（0 0 0 0）、（）、（00 00 ）组成一个晶）组成一个晶带；（带；（001001）、（）、（100100）、）、（（00 00 ）、（）、（ 00 00）组成一个）组成一个晶带；（晶带；（100100）、（）、（010010）、）、（（ 00 00）、（）、（0 00 0）组成一）组成一个晶带。
个晶带 48 晶带轴晶带轴是指用以表示晶带方向的一根直线，它通过是指用以表示晶带方向的一根直线，它通过晶体中心，平行于该晶带的所有晶面的交棱晶体中心，平行于该晶带的所有晶面的交棱晶带用晶带轴的晶向符号表示晶带用晶带轴的晶向符号表示[uvw]必须注意，虽然晶带符号与晶向符必须注意，虽然晶带符号与晶向符号是同样形式的一个符号，但作为号是同样形式的一个符号，但作为晶向符号时，它只代表一个晶棱方晶向符号时，它只代表一个晶棱方向；而作为晶带符号时，它代表与向；而作为晶带符号时，它代表与此晶棱方向平行的一组晶面此晶棱方向平行的一组晶面49 通过晶带定理可以求晶向指数或晶面指数：通过晶带定理可以求晶向指数或晶面指数： a) a) 两不平行的晶面（两不平行的晶面（h h1 1k k1 1l l1 1）和（）和（h h2 2k k2 2l l2 2）的）的晶带轴晶带轴[uvw] [uvw] b) b) 二晶向二晶向[u[u1 1v v1 1w w1 1] ]和和[u[u2 2v v2 2w w2 2] ]所决定的晶面所决定的晶面晶带定律晶带定律(zone law)：：同一晶带上晶带轴同一晶带上晶带轴[uvw]和该和该晶带的晶带面（晶带的晶带面（hkl）之间存在以下关系：）之间存在以下关系： hu+kv+lw=0 凡满足此关系的晶面都属于以凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为晶带轴的晶为晶带轴的晶带，此关系式称作带，此关系式称作晶带定律晶带定律。
Wiss Law50 晶带定律的运算和应用 h h1 1u u＋＋k k1 1v v＋＋l l1 1w = 0w = 0 h h2 2u u＋＋k k2 2v v＋＋l l2 2w = 0w = 0 解出：解出： u:v:w=①①由晶面（由晶面（h1 k1 l1）和晶面（）和晶面（h2 k2 l2）求晶带轴）求晶带轴.（h1k1l1）（h2k2l2）[u v w]51 如有两个晶面（如有两个晶面（h1k1l1）和（）和（h2k2l2）同属于某一）同属于某一个晶带个晶带[uvw]，则，则u、、v、、w值唯一，也就是说值唯一，也就是说两个不两个不平行的晶面不可能同属于两个晶带平行的晶面不可能同属于两个晶带因为如另有一因为如另有一个晶带个晶带[rst]包含此两个晶面，那么由晶带定义，包含此两个晶面，那么由晶带定义，(h1k1l1)与与(h2k2l2)有一交线属于有一交线属于[uvw]晶带，另有一交晶带，另有一交线属于线属于[rst]晶带，即两个晶面有两个交线，这是不可晶带，即两个晶面有两个交线，这是不可能的，所以它们只能同属一个晶带。
反过来，同理可能的，所以它们只能同属一个晶带反过来，同理可得：得：两个晶带不可能同时包含两个不平行的晶面两个晶带不可能同时包含两个不平行的晶面52 hu hu1 1＋＋kvkv1 1＋＋lwlw1 1 = 0 = 0 huhu2 2＋＋kvkv2 2＋＋lwlw2 2 = 0 = 0 解出：解出：h:k:l=②②由晶向由晶向[u[u1 1 v v1 1 w w1 1] ]和晶向和晶向[u[u2 2 v v2 2 w w2 2] ]求晶面：求晶面：[u1v1w1][u2v2w2](h k l)53 1.1.晶面间距晶面间距晶面间距晶面间距————晶面指数为（晶面指数为（hklhkl）的晶面相邻两）的晶面相邻两个晶面之间距离，用个晶面之间距离，用d dhklhkl表示d(hkl)d(hkl)＝＝f(a,b,c f(a,b,c α,β,γ h,k,l)α,β,γ h,k,l)五、面间距和夹角五、面间距和夹角由晶面指数还可求出面间距由晶面指数还可求出面间距dhkl54 •不同晶面族的晶面间距不相同不同晶面族的晶面间距不相同。
•同一晶面族的原子排列方式相同，晶面间的间距相同同一晶面族的原子排列方式相同，晶面间的间距相同•晶面间的面间距越大，该晶面上的原子排列越密集，否晶面间的面间距越大，该晶面上的原子排列越密集，否则越疏 •低指数的晶面面间距较大，高指数的晶面间距则较小低指数的晶面面间距较大，高指数的晶面间距则较小55 晶面间距可根据一些几何关系求得晶面间距可根据一些几何关系求得h h、、k k、、l l为晶面指数（为晶面指数（hklhkl），），a a、、b b、、c c为点阵常数，为点阵常数，αα、、ββ、、γγ为晶面法线方向与晶轴夹角为晶面法线方向与晶轴夹角 晶面间距的计算晶面间距的计算56 三斜三斜单斜单斜57 例例1 1 某斜方晶体的某斜方晶体的a=7.417Å, a=7.417Å, b=4.945Å,c=2.547Å, b=4.945Å,c=2.547Å, 计算计算d d110110和和d d200200d110 =4.11Å, d20058 2. 2. 两点阵平面（两点阵平面（两点阵平面（两点阵平面（h h1 1k k1 1l l1 1）和）和）和）和( (h h2 2k k2 2l l2 2) ) 之间夹角之间夹角之间夹角之间夹角θ θ 59 思考题思考题p.89: 2－－3；；2－－4；；2－－5；；2－－6；；2－－7；；2－－8；； 2－－9；；2－－1060 61 。