[阅读材料]世界名题与小升初之：牛顿问题 在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合以下用讲义形式出示小升初考试中的各类牛顿问题，又叫牛吃草问题，可以归类到工程问题中，初中学习时用多元一次方程组引 例：著名科学家牛顿著的《普通算术》一书有这样一道题：12头牛4周吃牧草格尔，同样牧草，21头牛9周吃10格尔问24格尔牧草，多少头牛吃18周吃完（格尔-—牧场面积单位）？以后人们称这类问题为牛顿的“牛吃草”问题解题技巧：牛吃草问题是一种较复杂的消元问题，这种题的关键是牧场上牧草的总数量在不断地变化，因此要解答好这类题首先要分析清草的变化情况，即常说的新生量然后再找出牧场上原有草的数量，只要你请注意了这两点，就能很好地把问题解答出来上题较难，学完下面的例题再看这题的解析：12头牛4周吃牧草格尔，那么10格尔草地，12×3=36头牛，吃4周10格尔草地每周长草：（21×9-36×4）÷（9-4）=9 24格尔草地每周长草：9÷10×24=21.610格尔草地原来有草：21×9-9×9=108， 24格尔草地原来有草：108÷10×24=259.2259.2÷18=14.4 14.4+21.6=36头牛。
答：24格尔牧草，36头牛吃18周吃完【典型例题】基本题：匀速长草例1 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长.这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天.供25头牛可吃几天？分析与解 例题的难点，难就难在牧场上牧草的总数量不确定，它随着时间的增加而增加.但是不管它怎么增长，总草量总是由牧场原有草量和每天新长出的草量相加得来的.下面设法找出这两个量来. 从上面的图可以看出：10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的总草量多，多出部分相当于10天新生长出的草量.为了求出一天新长的草量，下面进行转化.10头牛吃20天相当于200头牛吃一天，或一头牛吃200天.15头牛吃10天相当于150头牛吃一天，或一头牛吃150天.这一来每天新生的草量，相当于5头牛吃一天[5=（10×20-15×10）÷（20-10）]. 有了一天新生的草量相当于5头牛吃一天，那么，20天新生的草量就相当于100头牛吃一天.这一来原有的草量就相当于100头牛吃一天（100=10×20-5×20）.有了原有与新生的草量，问题便能很快求出解来. 分步列式如下： 10头牛20天吃的草可供多少头牛吃一天？ 10×20=200（头） 15头牛10天吃的草可供多少头牛吃一天？ 15×10=150（头） （20-10）天新生的草可供多少头牛吃一天？ 200-150=50（头） 每天新生的草可供多少头牛吃一天？ 50÷10=5（头） 20天（或10天）新生的草可供多少头牛吃一天？ 5×20=100（头）或5×10=50（头） 原有草可供多少头牛吃一天？ 200-100=100（头）或150-50=100（头） 每天25头牛中的5头去吃新生的草，其余的牛吃原有的草，全部牧草几天吃完？ 100÷（25-5）=5（天） 综合算式：[10×20-（10×20-15×10）÷（20-10）×20]÷（25-5）=5（天） 答：25头牛5天吃完.稍变化：草匀速减少例2 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。
经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天那么，可供11头牛吃几天？解：以1头牛1天吃的草为1份牧场上的草每天自然减少（20×5-16×6）÷（6-5）=4（份）；原来牧场有草（20+4）×5=120（份）；可供11头牛吃120÷（11+4）=8（天）稍变化：淘水例3 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？分析 与解答这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加.所以总水量是个变量.而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的.船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也是不变的量.对于这个问题我们换一个角度进行分析 如果设每个人每小时的淘水量为“1个单位”.则船内原有水量与3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数，即1×3×10＝30. 船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40 每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差÷时间差，即（40-30）÷（8-3）=2（即每小时漏进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水量） 船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水量-3小时漏进水量.3小时漏进水量相当于3×2=6人1小时淘水量.所以船内原有水量为30-（2×3）=24。
如果这些水（24个单位）要2小时淘完，则需24÷2＝12（人），但与此同时，每小时的漏进水量又要安排2人淘出，因此共需12+2＝14（人） 从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必须求出原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量.有了这两个量，问题就容易解决了稍变化：人口与资源例4 假设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源可供110亿人生活90年；或供90亿人生活210年为了使人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？答案：75亿人解：（90×210-110×90）÷（210-90）=75亿人稍变化：排队问题例5 展览会9点看门，但早就有人排队等着入场并且从第一个观众来到之后每分钟来到的人数是一定的如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队了，如果开5个入场口，9点5分就没人排队了问第一个观众几点来的？分析：又是典型的“牛吃草”问题，需设工作效率是1，关键是求工作总量的变化率解：设一个窗口一分钟通过的观众人数是单位1，即1份量， 那么3个窗口9分钟通过的人数是3×9＝27份，5个窗口5分钟通过的人数是3×9＝25份，则1分钟来的人数是（27－25）÷（9－5）＝0.5份，于是很容易求出9点的时候有观众是27－0.5×9＝22.5份（或25－0.5×5＝22.5份），来这些观众所需时间是22.5÷0.5=45（分钟），所以第一个观众来的时候是8点15分。
答：第一个观众来的时候是8点15分通过以上几个例题，我们可以看到，解决好牛吃草问题，有以下几个关键步骤：1．确定好吃草速度（即每头牛每天或每周所吃草为一个单位）2．找到新生量及原有量3．恰当分配牛的吃草方式下面我们来研究一下稍复杂的牛吃草问题复杂变化：合做工程题例6 甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小时可将甲仓库里面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？（每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉）分析与解 这是“牛吃草”问题的一种变式.在“牛吃草”问题中，新长出的草与牛吃掉的草，两者是相减的关系，而这里皮带输送机的搬运量与工人的搬运量是相加的关系.这里虽然没有“原有的草”这一角色，但我们仍可以采用“牛吃草”的解题思路来解这题. 设1个工人1小时搬运的面粉数量为1，则甲仓库存放的面粉数量=1台皮带输送机1小时的输送量×5+1×12×5 ① 乙仓库存放的面粉数量=1台皮带输送机1小时的输送量×3+1×28×3 ② 因为甲、乙两仓库存放的面粉数量相等，对比上面①、②两式，所以有： 1台皮带输送机1小时的输送量×（5-3）=1×28×3-1×12×5，这样便求出1台皮带输送机1小时的输送量是几.有了这个量便可求出甲、乙、丙三个仓库存放的面粉量，最后就能求出需要多少工人. 分步列式如下： 设1个工人1小时搬运的面粉量为1. 1台皮带输送机1小时的输送量是几？ （1×28×3-1×12×5）÷（5-3）=12 甲、乙、丙三个仓库每一个仓库存放的面粉数量是几？1×28×3+12×3=120 或 1×12×5+12×5=120 2台皮带输送机工作2小时后，丙仓库中还剩面粉数量是几？ 120-12×2×2=72 2小时把丙仓库搬空，还需要工人多少名？ 72÷2=36答：还需要36名工人.稍变化：漏水例7 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。
第一个桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶装满第三个桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它装满（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变）答案：6小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了2×4-1×3=5米路，也就是主小方走1米的时间等于漏杯水的时间，于是1桶水等于3-3×=杯水，所以小方要÷（1-3×）=6次才能把第三个桶装满稍变化：水管问题例8一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？把出水管每小时的排水量看作1份，那么8根出水管3小时排水8×3=24份，3根出水管18小时排水18×3=54份依题意24份为水池中原有的蓄水量加上进水管3小时的入水量，而54份为水池中原有的蓄水量加上进水管18小时的入水量，因此进水管每小时的入水量为（54-24）÷（18-3）=2份，水池中原有的水是24-3×2=18份。
为使原有的18份水在8小时内放光，每小时至少应排水18÷8=2.25份，又每小时时宜水管还将注入水2份，故出水管每小时的总排水量至少应为2+2.25=4.25份每根出水管1小时排水1份，又出水管的根数是整数，故最少要打开5根出水管较难：草地在变例9 12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草.多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？分析 解题的关键在于求出一公亩一天新生长的草量可供几头牛吃一天，一公亩原有的草量可供几头牛吃一天 12头牛28天吃完10公亩牧场上的牧草.相当于一公亩原来的牧草加上28天新生长的草可供33.6头牛吃一天（12×28÷10＝33.6） 21头牛63天吃完30公亩牧场上的牧草，相当于一公亩原有的草加上63天新生长的草可供44.1头牛吃一天(63×21÷30＝44.l） 一公亩一天新生长的牧草可供0.3头牛吃一天，即 （44.l-33.6）÷（63-28）=0.3（头） 一公亩原有的牧草可供25.2头牛吃一天，即 33.6-0.3×28=25.2（头）。
72公亩原有牧草可供14.4头牛吃126天.即 72×25.2÷126=14.4（头） 72公亩每天新生长的草量可供21.6头牛吃一天.即 72×0.3=21.6（头） 所以72公亩牧场上的牧草共可以供36（=14.4＋21。