1.3 Bolzano定理与Cauchy收敛准则P40 Ex1.3 5，6（1）（3），9四、Cauchy收敛准则1．Cauchy列的概念（Cauchy列又称为基本列）定义：设是一个数列，若对于任意的，总存在正整数，当时，有成立，则称是一个Cauchy列例如，当时，就是一个Cauchy列因为（不妨假设），且，所以对任意的，总存在正整数，当时，有成立2．Cauchy收敛准则定理：收敛是Cauchy列证明：必要性易证 充分性证明证明过程为：“Cauchy列”“有界列”“收敛子列”“收敛”，只证最后一步 任给，由于是一个Cauchy列，所以存在正整数，当时，有；又因为，所以存在正整数，当时，有取，则当时，有3．Cauchy收敛准则的反面---数列发散的充要条件 发散存在，对任意的，总存在，使得例：（1）证明存在2）证明不存在3）若数列满足，证明存在单调有界”“是Cauchy列”，由可知也是Cauchy列Note：例（3）说明有界变差数列收敛，此结论反之不然例如数列收敛，但并不是有界变差数列，因为无界1.4 函数极限与连续函数的性质P60 Ex1.4 7(1)(4)(7),9,11一、函数极限1．函数极限的严格定义定义：，当时，有。
关于极限定义要注意：（1）；（2）与的关系；（3）与及的关系 另外，还要注意：（1）的严格描述；（2）函数极限的性质（极限值的唯一性、极限存在函数的局部有界型、极限的保序性、函数极限的四则运算）例：利用极限定义证明下列极限（1）； （2）；（3）若，则2．复合函数的极限定理：若，，且时，，则证明：，由于，所以，当时，； 对于上述，因为，且时，，所以，当时，有3．函数极限的单调有界收敛定理定理：若函数在的左侧附近单调增加（减少）且有上（下）界，则在的左极限存在；若函数在的右侧附近单调减少（增加）且有上（下）界，则在的右极限存在4．函数极限与数列极限的关系定理：，都有证明：必要性证明：复合函数极限的特殊情形充分性证明：反证法满足，但特别地，取，得到满足，但例：（1）证明极限不存在；（2）设函数证明在无理点处的极限为零Note：两个整数互素（互质）指的是它们之间除了之外没有其它公共约数证明：设是一个无理数，只要证明对任意的，都有便可取为无理数，则；取为有理数，且设对于任意的，由于，即的只有有限个，所以存在，当时，有，故综上所述，得证Note：同样可以证明函数在有理点处的极限也为零，进一步可以得到此函数在无理点处连续，在非零有理点处间断。
Note：利用上述例题证明中的结论，可知Riemann函数在任意点的极限都不存在5．函数极限的Cauchy收敛准则定理：存在，，当，时，有证明：必要性证明：利用极限定义及充分性证明：利用函数极限与数列极限的关系、及数列极限的Cauchy收敛准则 设是满足的任意数列先证数列是一个Cauchy列，进而证明），根据条件可知，，当，时，有对于上述，由于，所以存在，当时，有，，从而这说明数列是一个Cauchy列记，则对于上述，存在，当时，有取，则，，所以当时，有，故Note：不存在的Cauchy准则：，对，，满足，，但例：利用Cauchy准则说明极限不存在取，对，取，则，且”Note：说明极限存在不妨设 ，，取，则当，时，例：证明L’Hospital法则：设函数满足：（1）在点附近可导，且；（2），则Note：注意定理中只要求；证明过程中只用到极限定义和Cauchy微分中定理证明：先证的情形任给，因为，所以存在，当时，有 ，且 取，则又因为，所以存在，当时，有 取 ，则当时，有Note1：的情形类似证明Note2：地情形，利用下述不等式证得：。