数 学 建 模——从自然走向理性之路 数学建模1军事模型第四讲 军事模型【主要内容】 介绍军事模型，包括： Lanchester 作战 模型、核武器竞赛模型和军备竞赛模型【主要目的】 了解数学建模方法在军事研究中的应用 ，建模思路和方法为用数学模型讨论社会 领域的实际问题提供了可借鉴的示例数学建模2军事模型Lanchester 作战模型 第一次世界大战时Lanchester提出的预测战役结局的模型只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力—因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加战斗力—与射击率（单位时间的射击次数）、射击 命中率以及战争的类型 （正规战、游击战）等有关 数学建模3军事模型模型没有考虑交战双方的政治、经济、 社会等因素，而仅靠战场上兵力的优劣是很难估计战争胜负的， 所以用这些模型判断整个战争的结局是不可能的，但是对于局部战役来说或许还有参考价值 更重要的是，建模的思路和方法为我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际问题提供了可以借鉴的示例 数学建模4军事模型一般战争模型 用x( t ) 和y( t ) 表示甲乙交战双方 t 时刻的兵 力假设 1. 每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗 力，用f ( x, y ) 和 g( x, y ) 表示。
2. 每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素 引起）与本方的兵力成正比3. 每一方的增援率是给定的函数，用u( t ) 和v( t ) 表示 数学建模5军事模型由此可以写出用微分方程表示的模型 下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率f ( x, y )和 g( x, y ) 的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素 数学建模6军事模型正规战模型甲乙双方都用正规部队作战我们只须分析甲方的战斗减员率f ( x, y ) . f 可简单假设为 f ＝ay 其中：a —乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单 位时间的杀伤数），称为乙方的战斗有效系数 a ＝ ry py 其中： ry—乙方的射击率（每个士兵单位时间的射击次 数)py—乙方的命中率 数学建模7军事模型类似地，乙方的战斗减员率设为g = bx且甲方的战斗有效系数b = rx px rx和 px 是甲方的射击率和命中率于是忽略非战斗减员与增援，则模型进一步简化为 数学建模8军事模型不解方程，在相平面上讨论相轨线的变化规律 由(5)式确定的相轨线是双曲线族，如图 数学建模9军事模型乙方获胜条件：k > 0——平方律模型图 1. 正规战模型的相轨线 数学建模10军事模型游击战模型甲乙双方都用游击部队作战。
甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为Sx的隐蔽区域内活动，乙方士兵不是向甲方士兵开火， 而是向这个隐蔽区域射击，并且不知道杀伤情况这时甲方战斗减员率不仅与乙方兵力有关， 而且随着甲方兵力的增加而增加 数学建模11军事模型f 可简单假设为 f ＝cxy其中：c —乙方的战斗有效系数c ＝ ry py = ry Sry / Sx其中： ry—乙方的射击率py—乙方的命中率Sx — 甲方士兵的隐蔽区域面积Sry— 乙方一次射击的有效面积 数学建模12军事模型类似地，乙方的战斗减员率设为g = dxy且甲方的战斗有效系数d = rx px = rx Srx / Sy rx和 px 是甲方的射击率和命中率，Sy是乙方士兵的隐蔽区域面积， Srx甲方一次射击的有效面积 数学建模13军事模型于是，模型为同样忽略非战斗减员与增援，则模型进一步简化 为数学建模14军事模型解得相轨线方程为乙方获胜条件： m > 0——直线律模型图 2. 游击战争模型的相轨线 数学建模15军事模型混合战模型甲方为游击部队，乙方为正规部队根据对正规战和游击战模型的分析和假设：f ＝cxy , g = bx同样在忽略非战斗减员与增援的假设下，模型 为数学建模16军事模型相轨线乙方获胜条件： n > 0 ——抛物线律模型数学建模17军事模型看具体数字。
不妨设甲方兵力x0 = 100 ，命中 率px = 0.1 ，火力rx 是乙方火力ry 的一半，活动区 域面积Sx = 0.1 平方千米， 乙方每次射击的有效面 积Sry = 1 平方米，那么乙方取胜的条件为即y0 / x0 >10，乙方必须 10 倍于甲方的兵力美国人分析越南战争： y0 / x0 ＝6 g (y)时甲方才感到安 全,曲线与x 轴交点x0表示二 次打击能力，即在乙方的全 部核武器用完时，甲方只要 有x0 ，就能给乙方以致命性打击 同样， y = f (x) 是乙方安全线，上方是乙方安全区两条安全线的交点M(xm , ym) 为平衡点，xm与ym 是 双方都感到安全时，分别拥有的最少的核武器的数目 数学建模21军事模型【问题 】 双方安全线是否一定有交点?【 结论 】 在一次打击不能毁灭对方全部核 武器的条件下，两条单调曲线 x = g (y) 与 y = f (x) 必定相交与“ 实物交换模型”中对于无差别曲线的讨论相仿，可以证明这两条曲线都是上凸的，从而 必有交点数学建模22军事模型如果甲方由于使用加固核设 施，反弹道导弹或其他一些手段， 则它的导弹更不容易遭受突然袭 击，所以曲线 x = g (y) 向左移动， 用虚线表示。
x0点不变为了保 持稳定，双方只需要更少的导弹， 稳定点为M’ 但由于甲方对其自 身城市的防卫能力增加了，乙方要对甲方进行致命的第 二 次打击，就需要比 y0 更多的导弹， 于是 y = f (x) 向上 移 动，要保持稳定，双方都需要更多的导弹(M’’)军备竞 赛 进一步升级 数学建模23军事模型如果使用多弹头导弹，例如，甲方将它的每枚导弹的单弹头改装为N 个弹头，那么它在受打击后需要保留的导弹数可以更少些（ x0 / N ），于是曲线x = g (y) 向左移动乙方在一次被偷袭中将面临N 倍之多的弹头于是曲线y = f (x) 将向上变动 数学建模24军事模型军备竞赛模型Richardson, 1939 年，军备竞赛理论模型History shows that the existence of weapons increases the likelihood of violent conflict. Without destructive weapons, perhaps nations sometimes would settle disputes by other means. It was this assumption that led Lewis Fry Richardson to begin his study and analysis of arms races. His scientific training in physics led him to believe that wars were a phenomena that could be studied and mathematically modeled. 数学建模25军事模型假设每一方军备的增加都取决于下列三个因素 ：n对方军备的大小：由于相互不信任，一方军备 越大，另一方军备增加得越快； n自己军备的大小：由于经济的限制，军备越大 ，就增加得越慢； n双方固有的敌视程度：即使一方没有军备，由 于存在敌视，另一方也会增加军备。
数学建模26军事模型设甲、乙双方的军备分别为x ( t )和y ( t )，根据上述三个假设可以作出进一步的简化假设： n x ( t )的增加率与 y ( t ) 成正比； n x ( t )的减少率与 x ( t ) 成正比； n由于固有敌视程度导致的x ( t ) 的增加率设为常数则有 数学建模27军事模型利用此模型可以解释几个重要现象：1. 引起战争的原因很多，有一种论点偏重于“军备引起战 争”，另一种论点偏重于“领土冲突”或 “历史恩怨”，两种论点都可以从方程组(19)得到解释持第一种观点的人可以在(19) 中把 k 与 l 取得大一些，把 g 与 h 取得小一些；持后一种观点的人可把 g 与 h 取得大一些， 而把 k 与 l 取得小一些 数学建模28军事模型2. 相互和解，双方裁军可达持久和平设 g = h = 0，即双方没有仇恨，没有领土要求，那么x ( t ) = y ( t ) ＝ 0 是 (19) 的 平衡解 如果某个时刻x ( t )、 y ( t ) 为零，就将永远保持为零3. 未消除敌视的双方裁军是不会持久的g 、 h ≠ 0 ，即使某个时刻 x ( t )、 y ( t ) 为零，由于 这时x’( t ) = g ， y’( t ) = h , x ( t )、 y ( t )仍将增加。
4. 单方面裁军不会持久如果在某个时刻x ( t ) ＝ 0 ，并且 g = 0 ，但由于x’( t ) = ky ， x ( t ) 也不会保持为零 数学建模29军事模型线性常系数微分方程组 X’ = AX + R 的平衡点是稳定的 A的所有特征根都具有负实部 下面讨论方程(19)的平衡点( x0 , y0 )的稳定性当αβ － kl ≠ 0 时，(19) 的系数矩阵的特征方程为 数学建模30军事模型特征根为由此可知，两个特征根都是实数且不等于零，当αβ － kl > 0 时， 两个特征根均是负的， 此时平衡点( x0 , y0 ) 是稳定的当αβ － kl 0 时，( x0 , y0 ) 是稳定的或即αβ > kl （20 ） （20）式表明，当约束程度（ αβ ）大于 刺激程度（ kl ）时，军 备竞赛能够稳定在某一点上， 否则，竞赛将无限制地进行下去 数学建模31军事模型为了利用(20)式判断平衡点的稳定性，要估计α ，β ， k ，l . 下面是 Richardson 提出的一种估计方法。
设g＝0, y＝ y1 （乙方军备为常数），x ＝ 0 时，(21)式表示不存在敌视时， 1/k 是甲方军备从零赶上乙方军备y1 所需要的时间一战结束后，根据凡尔赛条约，战败国德国的军队减到了 十几万人，而在二战前夕，1933～1936 年， 德国重整军备用三 年时间赶上了它的邻国，假设减缓效应α 被强烈仇恨所抵消 于是对于德国而言，可以认为1/k = 3 （年），即 k = 1/3 . 数学建模32军事模型再来看 α . 设 g＝0, y＝ 0 , 由方程(19)得 解得即 (22)式表示在不存在敌视且乙方无军备时， 1/ α 是军备减少到原来的1/ e 所需要的时间 α 称为松驰时间，Richardson 认为 1/ α 是一个国家议会的任期，例如对于美国来说，美国议会的任期是五年，所以α ＝ 0.2 数学建模33军事模型Richardson关于两伊战争的例子基本差分模型X(n) = 1Y(n-1) - 1X(n-1) + g Y(n) = 2X(n-1) - 2Y(n-1) + h YearIran Iraq YearIran Iraq YearIran Iraq YearIran Iraq 195510767196029214519654354021970612723195612694196132018519664604501971732781195715110219623452061967473480197284092119582431101963387271196849851319739801292195927112919。