Department of Mathematics 第七章第七章 共形映射共形映射第第7.3节节 黎曼定理黎曼定理最大模原理：最大模原理及施瓦茨引理也是解析的基本性质之一，它在复变函数论中有大量应用定理6.1如果函数w=f(z)在区域D内解析，并且|f(z)|在D内某点达到最大值，那么f(z)在D内恒等于常数证明：由定理1.3，假定f(z)在D内不恒等于常数，那么D1=f(D)是一个区域设|f(z)|在D的内部z0达到最大值显然，而且w0必有一个充分小的邻域包含在D1内最大模原理：于是在这个邻域内可以找到一点w满足从而在D内有一点z满足w=f(z)以及这与所设矛盾因此f(z)在D内恒等于常数注解：注解1、此定理表明，在一个区域内不恒等于常数的解析函数，其模不可能在这个区域内达到最大值；注解2、此定理的结论具有非常明确的物理意义注解3、此定理是复变函数论的基础定理之一，证明方法非常多，我们的证明方法是其中较简单的一种最大模原理的推论系6.1设D是一个有界区域，其边界为有限条简单闭曲线C设f(z)在D及其边界组成的闭区域上连续，在D内解析，并且不恒等于常数设M是|f(z)|在上的最大值，即f(z)在闭区域上的最大模，那么f(z)在边界C上而且只在边界C上达到最大模。
证明：显然施瓦茨引理：引理6.1设f(z)是在开圆盘|z|1内的解析函数设f(0)=0，并且当|z|1时，|f(z)|1在这些条件下，我们有（1）当|z|1时，（2）、（3）、如果对于某一个复常数或者如果|f(0)|=1，那么在|z|1内其中其中是一个复常数，并且施瓦茨引理的证明：证明：由于f(0)=0，f(z)在|z|1内有泰勒级数其中因为当|z|1时，|f(z)|1，所以对于|z|=r(0r1)，我们有由最大模原理，当其中在|z|1内解析由最大模原理，当时，仍然有施瓦茨引理的证明：令于是当0|z|1时，即由于f(0)=0，当z=0时，上式成立，我们就得到引理中的结论(1)；（2）的结论也显然成立令，我们就得到：当|z|1时施瓦茨引理的证明：设在某一点那么，或者|g(z)|在z0达到它的最大模1或者设|f(0)|=1，那么我们有|g(0)|=|f(0)|=1，即在|g(z)|在0达到它的最大值1因此，由极大模原理，在|z|1内，其中其中是一个模为1的复常数注解：注解1、此引理表明，设f(z)在|z|1内解析设在映射w=f(z)下，|z|1的象在|w|1内，并设f(0)=0，那么（1）|z|r(0r1)的象在内；（2）（3）如果某一z0(0|z0|1)和它的象的模相等，或者|f(0)|=1，那么其中是一个模等于1的复常数。
注解2、施瓦茨引理在复变函数论的发展历史上，曾因和比伯巴赫猜想有关而受到广泛关注其中 共形映射的基本问题共形映射的基本问题问题一：对于给定的区域D和定义在D上的解析函数 w=f(z)，求象集G=f(D)，并讨论f(z)是否将D保形地映射为G；问题二：给定两个区域D和G，求一个解析函数w=f(z)，使得f(z)将D保形地映射为G；问题二一般称为基本问题，我们一般用单位圆作为一个中间区域图注解注解1、解析函数把区域变成区域；、解析函数把区域变成区域；注解注解2、边界对应确定映射函数；、边界对应确定映射函数；注解注解3、注意边界对应的方向性注意边界对应的方向性图共形映射的存在唯一性共形映射的存在唯一性共形映射实例：在解决某些实际问题以及数学理论问题时，我们往往要把有关解析函数的定义域保形映射成较简单的区域，以便进行研究及计算，我们下面给出几个实例例1、求作一个单叶函数，把半圆盘|z|0保形映射成上半平面解：因为圆及实轴在-1及+1直交，所以作分式线性函数例1：把-1及+1分别映射成w平面上的0及无穷两点，于是把|z|=1及Imz=0映射成w平面上在原点互相直交上面的两条直线由于分式线性函数中的系数是实数，所以z平面上的实轴映射成w平面上的实轴；又由于z=0映射成w=-1，半圆的直径AC映射成w平面上的负半实轴。
例1图：显然圆|z|=1映射成w平面上的虚轴；又由于z=i映射成w=(i+1)/(i-1)，半圆ADC映射成w平面上的下半虚轴例1：根据在保形映射下区域及其边界之间的对应关系，已给半圆盘映射到w平面上的区域，应当在周界ABC的左方，因此它是第三象限最后作映射，w=w2当w在第三象限中变化时，argw在及之间变化因此w平面上的第三象限就映照成w平面上的上半平面因此，所求单叶函数为：例2：例2、求作一个单叶函数，把z平面上的带形保形映射成w平面上的单位圆|w|1解：函数把z平面上的已给带形保形映射成w平面上的上半平面例2图：取w平面上关于实轴的对称点-i及i，那么函数例2：把的w平面上的上半平面保形映射成w平面上的单位圆|w|1保形映射成扩充w平面上去掉割线而得的区域解：容易验证，分式线性函数把此割线保形映射成w平面上的负实轴，把扩充w平面上已给区域保形映射成w平面上除去负实轴（包括0）而得的区域例3图：另一方面，分式线性函数例3：把圆|z|=1保形映射成复平面上的虚轴由于它把z=2映射成可见它把扩充z平面上单位圆的外部|z|1保形映射成复平面上的右半平面显然，把此平面上的这一部分保形映射成w平面上除去负实轴而得的区域。
因此我们得到例3：由此可得函数例4：例4、求作一个单叶函数，把z平面上半带域保形映射成w平面上的上半平面，并且使得解：把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应用指数函数做映射，我们求得函数例4：把上述半带域映射成w平面上的半圆盘把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应用例1中的映射，得到函数例4图：例4：因此，我们得到把以给半带域保形映射成w1平面的上半平面的单叶函数，不过这时分别被映射成作分式线性函数，把上述三点分别映射成w=-1,0,+1，例4：最后得到所求的单叶函数：例5：例5、在z平面的上半平面上，沿虚轴作一长h为的割线求作一个单叶函数，把上述半平面去掉割线而得的区域保形映射成w平面上的上半平面解：首先作映射，把割线去掉，使已给区域的全部边界都变到w平面的实轴上为此，用在上述区域内的单叶解析函数例5图：例5：把z平面的第一及第二象限分别映射成w平面的上半平面及下半平面这时射线AD被映射成w平面上正实轴的上沿，DC被映射成从0到h2的线段的上沿，CB被映射成这条线段的下沿，BA被映射成正实轴的下沿，于是z平面上已给区域被保形映射成w平面除去射线例5：而得的区域显然，函数，把w平面的上述区域映射成w1平面上除去正实轴所得的区域；而函数又把这一区域映射成w平面上的上半平面，其中开方应理解为在正实轴的上沿取正值的一个解析分支。
结合以上讨论，我们得到所求的单叶函数是：Its The End！Thank You！ComplexFunctionTheoryDepartmentofMathematics。