鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解【鸡兔问题公式】（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（总脚数-每只鸡的脚数X总头数）+ （每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；总头数-兔数二鸡数或者是（每只兔脚数X总头数-总脚数）+ （每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；总头数-鸡数二兔数例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？”解一 （100-2 X36） -（4-2 ） =14 （只） 兔；36-14=22 （只） 鸡解二 （4 X36-100 ） -（4-2 ） =22 （只） 鸡；36-22=14 （只） 兔答略）（2 ）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式（每只鸡脚数X总头数-脚数之差）-（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）二兔数；总头数-兔数二鸡数或（每只兔脚数X总头数+鸡兔脚数之差）+ （每只鸡的脚数+每 只免的脚数）二鸡数；总头数-鸡数二兔数例略）（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数 多时，可用公式每只鸡的脚数x总头数+鸡兔脚数之差）+ （每只鸡的脚数+每 只兔的脚数）二兔数；总头数-兔数二鸡数或（每只兔的脚数X总头数-鸡兔脚数之差）+ （每只鸡的脚数+ 每只兔的脚数）二鸡数；总头数-鸡数二兔数。
例略）（4 ）得失问题（鸡兔问题的推广题） 的解法，可以用下面的公 式：（1只合格品得分数x产品总数-实得总分数）+ （每只合格品得 分数+每只不合格品扣分数）二不合格品数或者是总产品数-（每只 不合格品扣分数X总产品数+实得总分数）宁（每只合格品得分数+每 只不合格品扣分数）二不合格品数例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资每生产 一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分某工人生产了 1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合 格？”解一 （4 X1000-3525 ） -（4+15 ）=475 -19=25 （个）解二 1000- （15 X1000+3525 ） -（4+15 ）=1000-18525 -19= 1000-975=25 （个）（答略）“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给 运费XX元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本XX元……它的解 法显然可套用上述公式5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔 各多少的问题），可用下面的公式：〔（两次总脚数之和）-（每只鸡兔脚数和）+ （两次总脚数之差）-（每只鸡兔脚数之差）〕-2二鸡数；〔（两次总脚数之和）-（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之 差）-（每只鸡兔脚数之差）〕-2二兔数。
例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则 共有脚52只鸡兔各是多少只？”解〔（52+44 ） -（4+2 ） + （52-44 ） -（4-2 ）〕-2=20 +2=10 （只） 鸡〔（52+44 ） + （4+2 ） - （52-44 ） + （4-2 ）〕+2=12 +2=6 （只） 兔（答略）鸡兔同笼目录1总述 2假设法 3方程法 一元一次方程 二元一次方程4抬腿法 5列表法 6详解 7详细解法基本问题特殊算法习题8鸡兔同笼公式1总述鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一大约在 1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题书中是这样叙述的： “今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意 思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有 35个头,从下面 数，有94只脚问笼中各有几只鸡和兔？算这个有个最简单的算法总脚数-总头数X鸡的脚数）+ （兔的脚数-鸡的脚数）二兔的只数（94 — 35 X2） +2=12（兔子数）总头数（35 ）—兔子数（12 ）=鸡数（23）解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数X2只，由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以2就是兔子数。
虽然现实中没人鸡兔同笼2假设法假设全是鸡：2X35=70 （只）鸡脚比总脚数少：94 — 70=24 （只）兔：24 +（4-2）=12 （只）鸡：35 — 12=23 （只）假设法（通俗）假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：94-35=59 （只）然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了， 只剩下用两 只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24 （只） 兔：24 -2=12 （只）鸡：35-12=23 （只）3方程法一元一次方程解：设兔有x只，则鸡有（35-x ）只4x+2（35-x）=944x+70-2x=942x=94-702x=24x=24 宁 2x=1235-12=23(只)或解：设鸡有x只，贝卩兔有(35-x )只2x+4(35-x)=942x+140-4x=942x=46x=2335-23=12(只)答：兔子有12只，鸡有23只注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些二元一次方程解：设鸡有x只，兔有y只x+y=352x+4y=94(x+y=35) X2=2x+2y=70(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12把 y=12 代入(x+y=35)x+12=35x=35-12 (只)x=23 （只）。
答：兔子有12只，鸡有23只4抬腿法 法一假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起 2只脚，还有94除以2=47只脚 笼子里的兔就比鸡的头数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12 , 就是兔子的只数法二假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94 — 35 X2=24只脚，这时鸡 是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上， 所以有24 -2=12只兔子，就有35 — 12=23只鸡5列表法腿数鸡（只数）兔（只数）6详解中国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元 5世纪这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？题目中给出雉兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来， 看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔 子就成了 2只脚，即把兔子都先当作两只脚的 鸡鸡兔总的脚数是35 X2=70 （只），比题中所说的94只要少94-70=24 （只）现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加 2只，即70+2=72 （只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加 2 ,2 , 2, 2……，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：24 -2=12 （只），从而鸡有35-12=23 （只）。
我们来总结一下这道题的解题思路： 如果先假设它们全是鸡，于 是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚 数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差 2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只兔概括起来， 解鸡兔同笼题的基本关系式是： 兔数二（实际脚数-每只鸡脚数X鸡兔 总数）-（每只兔子脚数-每只鸡脚数）类似地，也可以假设全是兔 子我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为 x,鸡的数量为y那么：x+y=35那么4x+2y=94 这个算方程解出后得出：兔子有12 只，鸡有23只7详细解法基本问题"鸡兔同笼"是一类有名的中国古算题最早出现在《孙子算经》 中•许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型 解法--"假设法"来求解因此很有必要学会它的解法和思路.例1有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔 各有多少只解：我们设想，每只鸡都是"金鸡独立"，一只脚站着；而每只兔子都用 两条后腿，像人一样用两只脚站着现在，地面上出现脚的总数的一 半，•也就是244 +2=122 （只）.在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。
因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数122-88=34 （只），有34只兔子.当然鸡就有54只答：有兔子34只，鸡54只上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数+ 2-总头数二兔子数•总头数-兔子数二鸡数特殊算法上面的解法是《孙子算经》中记载的做一次除法和一次减法，马上 能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别 是4和2,4又是2的2倍•可是，当其他问题转化成这类问题时，"脚 数"就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通因此，我们对这 类问题给出一种一般解法.还说例1.如果设想88只都是兔子，那么就有4 X88只脚，比244只脚多了88 X4-244=108 （只）.每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡（88 X4-244） -（4-2）= 54 （只）.说明我们设想的88只"兔子"中，有54只不是兔子而是鸡•因此可 以列出公式鸡数二（兔脚数X总头数-总脚数）-（兔脚数-鸡脚数）.当然，我们也可以设想88只都是"鸡",那么共有脚2 X88=176 （只）， 比244只脚少了244-176=68 （只）.每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，68 -2=34 （只）.说明设想中的"鸡",有34只是兔子，也可以列出公式兔数二（总脚数-鸡脚数X总头数）-（兔脚数-鸡脚数）.上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去 减，就知道另一个数。
假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为 "假设法".现在，拿一个具体问题来试试上面的公式例2红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了 16 支，花了 2.80元问红，蓝铅笔各买几支？解：以"分"作为钱的单位•我们设想，一种"鸡"有11只脚，一种"兔子 "有19只脚，它们共有16个头，280只脚现在已经把买铅笔问题，转化成"鸡兔同笼"问题了 •利用上面算兔数公式，就有蓝笔数=(19 X16-280) +(19-11)=24弋=3 (支)•红笔数=16-3=13 (支).答：买了 13支红铅笔和3支蓝铅笔对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性 •例2中的"脚 数"19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是"兔子",8只 是"鸡",根据这一设想，脚数是8 X(11 + 19)=24O (支)比280少40.40 +(19-11)=5 (支)就知道设想中的8只"鸡"应少5只，也就是"鸡"(蓝铅笔)数是3.30 X8比19 X16或11 X16要容易计算些利用已知数的特殊性，靠 心算来完成计算.实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数 例如，设想16只中，"兔数"为10,"鸡数"为6，就有脚数19 X10+11 X6=256.比280少24.24 +(19-11)=3,就知道设想6只"鸡"，要少3只。
要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领 .下面再举四个稍有难度的例子例3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成•乙单独打字需10小时完 成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了 7小时 甲打字用了多少小时？解：我们把这份稿件平均分成 30份（30是6和10的最小公倍数）。