1 本章研究拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日方程）他是研究动力学问题的又一有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范2 §11-1 广义力 广义力 以广义力表示的质点系的平衡条件以广义力表示的质点系的平衡条件 设有n个质点组成的质点系，具有k个自由度，可由k个广义坐标q1， q2，... ， qk 确定其位置在非定常约束下，质点系中任一质点Mi的矢径一、广义力一、广义力Mi的虚位移（固定时间t）：3 设作用在Mi上的主动力为Fi，则作用于质点系上所有主动力的元功之和：——对应于广义坐标对应于广义坐标qj 的广义力的广义力广义力的量纲取决于广义坐标的量纲：qj：长度，Qj：力； qj：角度，Qj：力矩；广义力的数目=广义坐标的数目二、广义力的计算方法二、广义力的计算方法1、解析式4 xi、yi、zi均是广义坐标q1、q2、...、qk及时间t的函数2、实际应用时，由 由于各广义坐标彼此独立，所以在求某个广义力Qj时，仅使对应的广义坐标qj变分d qj，而其余的广义坐标则保持不变。
即：令d qj≠0， d qi=0（i=1，2，...n，i ≠ j），5 3、若作用于质点系的主动力都是有势力，质点系在任一位置的势能V=V（q1，q2，...，qk）由式（8-7-8）这样就将具有k个自由度的质点系变为一个自由度的质点系，所有主动力的元功之和：代入解析式得：6 可见：在保守系统中，广义力等于质点系的势能函数对相应广义坐标的偏导数并冠以负号三、以广义力表示的质点系的平衡条件三、以广义力表示的质点系的平衡条件当质点系平衡时，由虚位移原理：由于δqj彼此独立，所以即：具有理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要与充分条件是，系统的所有广义力都等于零7 例例1：两均质杆，均长2l，均重P，用铰链连接，跨过半径为r的光滑圆柱体上，并位于同一铅直面内，求杆的平衡位置解解：由于两杆等长等重，平衡时他们的位置必对称，这样系统就只有一个自由度以θ为广义坐标，C1、C2距O点的垂直距离：以过O点的水平面为零势面，则系统的平衡条件为：8 由此解出θ9 例例2：图示系统，A重2P，B重P不计滑轮重及O、E处摩擦，求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数 f。
解：解：系统具有2自由度以sA、 sB为广义坐标（1）当sA改变δsA而δsB=0（B不动），此时δsC= δsA /210 （2）当sB改变δsB而δsA=0，此时δsC= δsB /2系统平衡时有QA= QB=0由QB= 0 得 W=2P由QA= 0 得 F=W/2=P11 应用动力学普遍定理求解复杂的非自由质点系的动力学问题并不方便，由于约束的限制，各质点的坐标不独立，解题时必须用约束方程消去多余的坐标变分如果先考虑约束条件，采用广义坐标表示动力学普遍方程，就可得到与广义坐标数目相同的一组独立的微分方程，从而使复杂的动力学问题变得简单，这就是著名的拉格郎日方程§11-2 拉格郎日方程 拉格郎日方程一、拉格郎日方程一、拉格郎日方程12 设有n个质点组成的质点系，具有k个自由度，可由k个广义坐标q1， q2，... ， qk 确定其位置在非定常约束下，质点系中任一质点Mi的矢径Mi的虚位移（固定时间t）：代入质点系动力学普遍方程：13 第一项：主动力在质点系的虚位移的元功之和：第二项：惯性力在质点系的虚位移的元功之和：14 为简化上式 , 需要用到以下两个关系式：①Mi点的速度： 由(a)式15 由（a）知 只是广义坐标和时间的函数，与广义速度无关，故将上式对 求偏导：②将（g）对任一广义坐标ql 求偏导：将（a）式先对ql求偏导再对t求导：16 比较（i）（j）得17 将下标l换成j得：将（h）（k） 代入（f）得：18 于是（e）式为19 将（d）（m）代入（c）得：由于δqj彼此独立，所以：这就是拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程，拉格朗日方程，或拉氏方程拉氏方程。
20 （2）有势力、非有势力都适用（4）不含约束力 如果作用于质点系的力是有势力，则：二、保守系统的拉格朗日方程二、保守系统的拉格朗日方程而拉氏方程为：21 由于V=V（q1，q2，...，qk），不含广义速度，所以上式为：令L=T-V——拉格朗日函数拉格朗日函数保守系统的拉格朗日方程保守系统的拉格朗日方程22 应用拉氏方程解题的步骤：应用拉氏方程解题的步骤： 1. 判定质点系的自由度判定质点系的自由度k，，选取适宜的广义坐标必须注意：选取适宜的广义坐标必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标 2. 计算质点系的动能计算质点系的动能T，，表示为广义速度和广义坐标的函数表示为广义速度和广义坐标的函数 3. 计算广义力计算广义力 ，计算公式为：，计算公式为：或 若主动力为有势力，须将势能若主动力为有势力，须将势能V表示为广义坐标的函数表示为广义坐标的函数。
4. 建立拉氏方程并加以整理，得出建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程个二阶常微分方程 5. 求出上述一组微分方程的积分求出上述一组微分方程的积分23 [例例3] 图示行星齿轮机构位于水平面内均质杆OA：重P，可绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径 r ，沿半径为R的固定大齿轮滚动系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置已知杆OA受大小不变力偶M作用后，求杆OA的运动方程 所受约束皆为完整、理想、定常的，取OA杆转角 为广义坐标解解：图示机构只有一个自由度24 25 由拉氏方程：积分，得：故：代入初始条件，t =0 时， 得26 [例例4]图示系统，物块C质量为m1 ，均质轮A、B质量均为m2，半径均为R，A作纯滚动，求系统的运动微分方程解：解：系统具有一自由度，保守系统以物块C的平衡位置为原点，取x为广义坐标：以平衡位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点，则27 代入到拉氏方程 得：28 [例例5] 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光滑水平面上滑动。
滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为m2 ，试列出该系统的运动微分方程解解：系统为保守二自由度系统取x , 为广义坐标，x 轴 原点位于弹簧自然长度位置， 逆时针转向为正29 以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为重力势能零点，则：30 由拉氏方程：并化简得：31 系统的运动微分方程系统的运动微分方程上式为系统在平衡位置(x =0, =0)附近微幅运动的微分方程 若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 <<1o, cos 1, sin ，略去二阶以上无穷小量，则32 §11-3 拉格朗日方程的积分拉格朗日方程的积分 对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化 保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循环积分 一、能量积分一、能量积分 设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数L = T - U 中不显含t ，则33 广义能量积分广义能量积分 保守系统的拉格朗日函数不显含时间t 时，保守系统的广义能量守恒。
可以证明，当系统约束为定常时，上式为= 034 系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式 二、循环积分二、循环积分 如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标 qr , 则该坐标称为保守系统的循环坐标或可遗坐标 当 为系统的循环坐标时，必有于是拉氏方程成为35 积分得：循环积分循环积分因L = T - V，而V中不显含 ，故上式可写成Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒 一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分 能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程36 [例例 3] 楔形体重P，斜面倾角，置于光滑水平面上均质圆柱体重Q，半径为 r ，在楔形体的斜面上只滚不滑初始系统静止，且圆柱体位于斜面最高点试求：(1)系统的运动微分方程；(2)楔形体的加速度；(3)系统的能量积分与循环积分。
解：解：研究楔形体与圆柱体组成的系统系统受理想、完整、定常约束，具有两个自由度取广义坐标为x, s ；各坐标原点均在初始位置 37 系统的动能系统的动能：系统的势能系统的势能：取水平面为重力势能零点拉格朗日函数：拉格朗日函数：38 代入保守系统拉氏方程，并适当化简，得到系统的运动微分方程d）解得楔形体的加速度为解得楔形体的加速度为拉格朗日函数L中不显含 t ，故系统存在能量积分39 当t =0时， ，x = s = 0 , 代入上式中，得 40 由于拉格朗日函数L中不显含广义坐标x，故 x 为系统循环坐标，故有循环积分： t = 0时 ，故上式中C2 = 0 ，可得 （f )， ( g ) 式即为系统的能量积分和循环积分 ( f ) 式实际上是系统的机械能守恒方程 ( g )式实质上是系统的动量在x方向守恒 41 结论与讨论结论与讨论 达朗贝尔原理、虚位移原理与达朗贝尔原理、虚位移原理与 拉格朗日方程拉格朗日方程42 达朗贝尔原理在形式上将质点系动力学达朗贝尔原理在形式上将质点系动力学达朗贝尔原理在形式上将质点系动力学达朗贝尔原理在形式上将质点系动力学问题化为静力学平衡问题。
问题化为静力学平衡问题问题化为静力学平衡问题问题化为静力学平衡问题 虚位移原理给出了质点系平衡的充分与虚位移原理给出了质点系平衡的充分与虚位移原理给出了质点系平衡的充分与虚位移原理给出了质点系平衡的充分与必要条件必要条件必要条件必要条件 通过达朗贝尔原理可以将虚位移原理推广通过达朗贝尔原理可以将虚位移原理推广通过达朗贝尔原理可以将虚位移原理推广通过达朗贝尔原理可以将虚位移原理推广应用于质点系的动力学问题，得到达朗贝尔－应用于质点系的动力学问题，得到达朗贝尔－应用于质点系的动力学问题，得到达朗贝尔－应用于质点系的动力学问题，得到达朗贝尔－拉格朗日方程，即第一类拉格朗日方程，又称拉格朗日方程，即第一类拉格朗日方程，又称拉格朗日方程，即第一类拉格朗日方程，又称拉格朗日方程，即第一类拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程，用于求解具有理想约束的为动力学普遍方程，用于求解具有理想约束的为动力学普遍方程，用于求解具有理想约束的为动力学普遍方程，用于求解具有理想约束的非自由质点系的动力学第二类问题，即已知主非自由质点系的动力学第二类问题，即已知主非自由质点系的动力学第二类问题，即已知主非自由质点系的动力学第二类问题，即已知主动力求运动。
动力求运动动力求运动动力求运动 结论与讨论结论与讨论43 第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔－拉格第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔－拉格第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔－拉格第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔－拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程朗日方程，又称为动力学普遍方程朗日方程，又称为动力学普遍方程朗日方程，又称为动力学普遍方程 达朗贝尔－拉格朗日方程适用于具有理想约束或达朗贝尔－拉格朗日方程适用于具有理想约束或达朗贝尔－拉格朗日方程适用于具有理想约束或达朗贝尔－拉格朗日方程适用于具有理想约束或双面约束的系统双面约束的系统双面约束的系统双面约束的系统 达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有定常约束达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有定常约束达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有定常约束达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统的系统，也适用于具有非定常约束的系统的系统，也适用于具有非定常约束的系统的系统，也适用于具有非定常约束的系统 达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有完整约束达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有完整约束达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有完整约束达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。
的系统，也适用于具有非完整约束的系统的系统，也适用于具有非完整约束的系统的系统，也适用于具有非完整约束的系统 达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有有势力的达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有有势力的达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有有势力的达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统系统，也适用于具有无势力的系统系统，也适用于具有无势力的系统系统，也适用于具有无势力的系统 结论与讨论结论与讨论44 第二类拉格朗日方程：仅用动能、势能以及广义主动力等第二类拉格朗日方程：仅用动能、势能以及广义主动力等第二类拉格朗日方程：仅用动能、势能以及广义主动力等第二类拉格朗日方程：仅用动能、势能以及广义主动力等少数几个标量便可描述复杂质点系的运动但只能用于具有完少数几个标量便可描述复杂质点系的运动但只能用于具有完少数几个标量便可描述复杂质点系的运动但只能用于具有完少数几个标量便可描述复杂质点系的运动但只能用于具有完整约束的系统整约束的系统整约束的系统整约束的系统基本形式基本形式基本形式基本形式主动力有势形式主动力有势形式主动力有势形式主动力有势形式 结论与讨论结论与讨论45 结论与讨论结论与讨论（（（（1 1）循环积分（广义动量守恒））循环积分（广义动量守恒））循环积分（广义动量守恒））循环积分（广义动量守恒）（（（（2 2）能量积分（广义能量守恒））能量积分（广义能量守恒））能量积分（广义能量守恒））能量积分（广义能量守恒）46 47 。