含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按项的系数的符号分类，即;例1 解不等式： 分析：本题二次项系数含有参数，，故只需对二次项系数进行分类讨论 解：∵解得方程 两根∴当时,解集为当时，不等式为,解集为当时, 解集为 例2 解不等式分析 因为，，所以我们只要讨论二次项系数的正负解 当时，解集为；当时，解集为二、按判别式的符号分类，即；例3 解不等式分析 本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况解：∵ ∴当即时，解集为；当即Δ＝0时，解集为；当或即,此时两根分别为，，显然, ∴不等式的解集为 例4 解不等式 解 因所以当，即时，解集为；当，即时，解集为；当，即时，解集为R三、按方程的根的大小来分类，即；例5 解不等式分析：此不等式可以分解为：，故对应的方程必有两解本题只需讨论两根的大小即可解：原不等式可化为：，令，可得：∴当或时， ，故原不等式的解集为；当或时，,可得其解集为；当或时, ,解集为例6 解不等式， 分析 此不等式，又不等式可分解为，故只需比较两根与的大小.解 原不等式可化为：，对应方程的两根为 ，当时，即，解集为；当时，即，解集为四、（1）解关于的不等式：（2）解关于的不等式：（3）解关于的不等式：（1）解： ，此时两根为，.（1）当时，，解集为()()；（2）当时，，解集为()()；（3）当时，，解集为；（4）当时，，解集为()()；（5）当时，，解集为()().（2）解：若，原不等式若，原不等式或若，原不等式 其解的情况应由与1的大小关系决定，故（1）当时，式的解集为；（2）当时，式；（3）当时，式.综上所述，当时，解集为{}；当时，解集为{}；当时，解集为{}；当时，解集为；当时，解集为{}.（3） 解： （1）时，（2）时，则或，此时两根为，.①当时，，；②当时，，；③当时，，；④当时，，.综上，可知当时，解集为(,)； 当时，解集为； 当时，解集为()(); 当时，解集为()()4．(2013·吉林长春第一次调研)若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，－2)∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2,4) D．(－4,2)解析：x＋2y＝(x＋2y)＝2＋＋＋2≥8，当且仅当＝，即4y2＝x2时等号成立，x＋2y>m2＋2m恒成立，则m2＋2m<8，m2＋2m－8<0，解得－40,1－2x>0，由题中结论得f(x)＝＋＝＋≥＝25，当且仅当＝即x＝时，取得最小值，选C.答案：C6．(2013·广州综合测试(二))某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3 000元，以后逐年递增3 000元，则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费用最少)是( )A．8年 B．10年 C．12年 D．15年解析：设这辆汽车报废的最佳年限为n年，则年平均费用y与n的关系为：y＝＝n＋＋≥2＋3.3＝6.3.当且仅当n＝，即n＝10时等号成立，故选B.7．(2013·成都第三次诊断)若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为________．解析：因为M≤恒成立，即求的最小值为M的最大值，2＝x＋y≥2⇒x·y≤1，则≥1，故M的最大值为1.8．(2013·成都第一次诊断)当x>1时，log2x2＋logx2的最小值为________．解析：log2x2＋logx2＝2log2x＋logx2＝＋logx2≥2，当且仅当(logx2)2＝2即x＝2取等号．答案：29．(2013·江西省红色六校第二次联考)在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．解析：设填入的两个自然数分别为a，b.则4a＋9b＝60，倒数和为＋＝＝≥(2＋13)＝，当且仅当＝，即a∶b＝3∶2时等号成立，取得最小值．又因为4a＋9b＝60，所以a＝6，b＝4.答案：6 48．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是________．解析：由题意可得f(－1)>0或f(1)>0即可，解f(－1)>0，得2p2＋3p－9<0，即－30，得2p2－p－1<0，即－0，a为大于2x的常数)的最大值；(2)设x>－1，求函数y＝的最值．解：(1)∵x>0，a>2x，∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)≤×2＝当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为.(2)∵x>－1，∴x＋1>0.设x＋1＝z>0，则x＝z－1∴y＝＝＝z＋＋5≥2 ＋5＝9.当且仅当z＝2，即x＝1时上式取等号．∴x＝1时，函数y有最小值9，无最大值．12．(2013·长沙模拟)△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3(百米)，底AB的长为4(百米)．现决定在该空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2.(1)若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；(2)求的最小值．解：(1)∵E为AC的中点，∴AE＝CE＝.∵＋3<＋4，∴F不在BC上．则F在AB上，由AE＋AF＝3－AE＋4－AF＋3，∴AE＋AF＝5.∴AF＝<4.在△ABC中，cos A＝.在△AEF中，EF2＝AE2＋AF2－2AE·AFcos A＝＋－2×××＝，∴EF＝.即小路一端E为AC的中点时小路的长度为(百米)．(2)若小道的端点E、F点都在两腰上，如图，设CE＝x，CF＝y，则x＋y＝5，＝＝－1＝－1＝－1≥－1＝(当x＝y＝时取等号)；若小道的端点E、F分别在一腰(不妨设腰AC)上和底上，设AE＝x，AF＝y，则x＋y＝5，＝＝－1＝－1≥－1＝.所以，最小值是.21. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【解】 (1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．(2)∵f(x)＝＋6x＝＋(6x＋10)－10≥2 －10(当且仅当＝6x＋10，即x＝5∈[0,10]时取等号)∴x＝5时， f(x)取得最小值，且最小值f(5)＝6×5＋＝70.因此当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，且最小值为70万元．。