第一章第一章 矩阵矩阵 §1.1 矩阵的基本概念矩阵的基本概念 一一. 历史历史 “矩阵矩阵 (matrix)” 这个这个 词首先是英国数学家词首先是英国数学家 西尔维斯特西尔维斯特使用的使用的. 他为了将数字的矩形他为了将数字的矩形他为了将数字的矩形他为了将数字的矩形 阵列区别于阵列区别于阵列区别于阵列区别于 行行行行 列列列列 式式式式 ( (determinantdeterminant) )而发明而发明而发明而发明了这个述语了这个述语了这个述语了这个述语. . James JosephJames Joseph Sylvester Sylvester ( (1814.9.31814.9.3~ ~1897.3.151897.3.15) ) §1.2§1.2 §1.3§1.3 §1.4§1.4 §1.5 §1.5 §1.6 §1.6 §1.7§1.7 1 英国数学家英国数学家凯莱凯莱 被公认为是矩阵被公认为是矩阵 论的创立者论的创立者. 他首先把矩阵作为他首先把矩阵作为他首先把矩阵作为他首先把矩阵作为 一个独立的数学概一个独立的数学概一个独立的数学概一个独立的数学概 念念念念, , 并发表了一系并发表了一系并发表了一系并发表了一系 列关于这个题目的列关于这个题目的列关于这个题目的列关于这个题目的 文章文章文章文章. . ArthurArthur CayleyCayley ( (1821.8.161821.8.16~ ~1895.1.261895.1.26) ) 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.1 §1.1 矩阵概念矩阵概念矩阵概念矩阵概念 2 例例1. 某厂家向某厂家向A, B, C三个商场发送四款产品三个商场发送四款产品. 200 180 190200 180 190100 120 100100 120 100150 160 140150 160 140180 150 180 150 150150第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.1 §1.1 矩阵概念矩阵概念矩阵概念矩阵概念 20 50 30 2520 50 30 2516 20 16 1616 20 16 16 甲甲甲甲 乙乙乙乙 丙丙丙丙 丁丁丁丁 单价单价单价单价 重量重量重量重量 二二. 实例实例 3 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.1 §1.1 矩阵概念矩阵概念矩阵概念矩阵概念 例例2. 四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示. 1 41 42 32 3若用若用aij表示从表示从i市到市到j市航线的条数市航线的条数, 则上图信息可表示为则上图信息可表示为a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44即即 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 4 三三. 定义定义 1. m n矩阵矩阵 元素元素(element/entry) aij (1 i m, 1 j n) a11 a12 … a1na21 a22 … a2n … … … …am1 am2 … amn注注: 今后除非特别说明今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都我们所考虑的矩阵都 是实矩阵是实矩阵.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.1 §1.1 矩阵概念矩阵概念矩阵概念矩阵概念 元素都是实数元素都是实数——实矩阵实矩阵(real ~) 元素都是复数元素都是复数——复矩阵复矩阵(complex ~) 行行(row) 列列(column) 5 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.1 §1.1 矩阵概念矩阵概念矩阵概念矩阵概念 3. 向量向量(vector) 行向量行向量(column vector) [a1, a2, …, an] 列向量列向量(row vector) a1a2…an第第i分量分量 (ith component) ai (i = 1, …, n) n阶方阵阶方阵: n n矩阵矩阵 2. 方阵方阵(square matrix) 见见例例2. 一个一个一个一个1 1 1 1的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵 就是一个就是一个就是一个就是一个数数数数 n–维维 ( (n n–dimensional)–dimensional) 6 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.1 §1.1 矩阵概念矩阵概念矩阵概念矩阵概念 4. 同型同型(same-sized): 行数相等行数相等, 列数也相等列数也相等 5. 两个矩阵两个矩阵相等相等(equal) 20 50 3020 50 3016 20 16 16 20 16 与与 a a b b c c 1 2 3 1 2 3 同型同型 20 50 3020 50 3016 20 1616 20 16 与与 不不同型同型 20 20 16 16 5050 20 20 3030 16 16 A = [aij]m n与与B = [bij]m n相等相等: 对对 1 i m, 1 j n, aij = bij都成立都成立 记为记为A = B. 大前提大前提大前提大前提: : 同型同型同型同型 7 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.1 §1.1 矩阵概念矩阵概念矩阵概念矩阵概念 四四. 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵 1. 对称矩阵对称矩阵(symmetric matrix) 则称则称A为为对称矩阵对称矩阵. 若若矩阵矩阵A = [aij]m n满足满足: 1 22 1 1 0 1 0 x 3 1 3 0m = n且且aij = aji (i, j = 1, 2, …, n) 8 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.1 §1.1 矩阵概念矩阵概念矩阵概念矩阵概念 2. 对角矩阵对角矩阵(diagonal matrix) 主对角线主对角线 对角矩阵对角矩阵 diag[ 1, 2, …, n]. a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n an1 an2 … ann … … … … (leading/main/principal (leading/main/principal diagonal) diagonal) 1 0 … 0 0 2 … 0 0 0 … n… … … … 简记为简记为简记为简记为 9 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.1 §1.1 矩阵概念矩阵概念矩阵概念矩阵概念 3. 数量矩阵数量矩阵/纯量矩阵纯量矩阵(scalar matrix) diag[k, k, …, k]——数量矩阵数量矩阵/纯量矩阵纯量矩阵. 4. 单位矩阵单位矩阵(identity matrix) 称为称为n阶单位矩阵阶单位矩阵. 2 0 0 0 2 0 0 0 23 00 3 例如例如: En =1 0 … 00 1 … 00 0 … 1n n n n… … … … 10 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.1 §1.1 矩阵概念矩阵概念矩阵概念矩阵概念 5. 反对称矩阵反对称矩阵则称则称A为为反对称矩阵反对称矩阵(antisymmetric matrix/ 若若矩阵矩阵A = [aij]m n满足满足: 0 22 0 0 1 1 1 0 3 1 3 0m = n且且aij = aji (i, j = 1, 2, …, n), skew–symmetric matrix). 11 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.1 §1.1 矩阵概念矩阵概念矩阵概念矩阵概念 6. 零矩阵零矩阵(zero matrix) 有时有时, 加下标指明其阶数加下标指明其阶数. 通常用通常用O表示零矩阵表示零矩阵. 0 00 0 0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0例如例如, 上述零矩阵分别可以记为上述零矩阵分别可以记为: O2, O2 3, O3. 零矩阵零矩阵——元素全为零元素全为零. 12 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.2 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算 一一. 矩阵的线性运算矩阵的线性运算 1. 加法加法(addition of matrices) 产品产品产品产品发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量A AB BC C甲甲甲甲200200180180190190乙乙乙乙100100120120100100第一次第一次第一次第一次 产品产品产品产品发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量A AB BC C甲甲甲甲220220185185200200乙乙乙乙105105120120110110第二次第二次第二次第二次 产品产品产品产品发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量A AB BC C甲甲甲甲乙乙乙乙两次累计两次累计两次累计两次累计: : 420 420 例例例例3 3. .13 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.2 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算 一一. 矩阵的线性运算矩阵的线性运算 1. 加法加法(addition of matrices) 产品产品产品产品发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量A AB BC C甲甲甲甲200200180180190190乙乙乙乙100100120120100100第一次第一次第一次第一次 产品产品产品产品发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量A AB BC C甲甲甲甲220220185185200200乙乙乙乙105105120120110110第二次第二次第二次第二次 产品产品产品产品发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量A AB BC C甲甲甲甲乙乙乙乙两次累计两次累计两次累计两次累计: : 420 420 365 365 例例例例3 3. .14 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.2 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算 一一. 矩阵的线性运算矩阵的线性运算 1. 加法加法(addition of matrices) 产品产品产品产品发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量A AB BC C甲甲甲甲200200180180190190乙乙乙乙100100120120100100第一次第一次第一次第一次 产品产品产品产品发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量A AB BC C甲甲甲甲220220185185200200乙乙乙乙105105120120110110第二次第二次第二次第二次 产品产品产品产品发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量A AB BC C甲甲甲甲乙乙乙乙两次累计两次累计两次累计两次累计: : 420 420 365 365 390 390 例例例例3 3. .15 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.2 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算 一一. 矩阵的线性运算矩阵的线性运算 1. 加法加法(addition of matrices) 产品产品产品产品发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量A AB BC C甲甲甲甲200200180180190190乙乙乙乙100100120120100100第一次第一次第一次第一次 产品产品产品产品发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量A AB BC C甲甲甲甲220220185185200200乙乙乙乙105105120120110110第二次第二次第二次第二次 产品产品产品产品发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量A AB BC C甲甲甲甲乙乙乙乙两次累计两次累计两次累计两次累计: : 420 420 365 365 390 390 205 205 例例例例3 3. .16 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.2 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算 一一. 矩阵的线性运算矩阵的线性运算 1. 加法加法(addition of matrices) 产品产品产品产品发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量A AB BC C甲甲甲甲200200180180190190乙乙乙乙100100120120100100第一次第一次第一次第一次 产品产品产品产品发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量A AB BC C甲甲甲甲220220185185200200乙乙乙乙105105120120110110第二次第二次第二次第二次 产品产品产品产品发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量A AB BC C甲甲甲甲乙乙乙乙两次累计两次累计两次累计两次累计: : 420 420 365 365 390 390 205 205 240 240 例例例例3 3. .17 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.2 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算 一一. 矩阵的线性运算矩阵的线性运算 1. 加法加法(addition of matrices) 产品产品产品产品发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量A AB BC C甲甲甲甲200200180180190190乙乙乙乙100100120120100100第一次第一次第一次第一次 产品产品产品产品发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量A AB BC C甲甲甲甲220220185185200200乙乙乙乙105105120120110110第二次第二次第二次第二次 产品产品产品产品发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量发到各商场的数量A AB BC C甲甲甲甲乙乙乙乙两次累计两次累计两次累计两次累计: : 420 420 365 365 390 390 205 205 240 240 210 210 例例例例3 3. .18 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.2 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算 一一. 矩阵的线性运算矩阵的线性运算 1. 加法加法(addition of matrices) 420 420 365 365 390 390 205 205 240 240 210 210 A A + + B B = = 200 200 180 180 190 190 100 100 120 120 100 100 A A = = 220 220 185 185 200 200 105 105 120 120 110 110 B B = = (1) 大前提大前提: 同类型同类型 (2) 具体操作具体操作: 对应元素相加对应元素相加 19 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.2 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算 一一. 矩阵的线性运算矩阵的线性运算 1. 加法加法(addition of matrices) A = [aij]m n与与B = [bij]m n的的和和(sum): C = [cij]m n = [aij+bij]m n.注注: ①① 设矩阵设矩阵A = (aij)m n , 记记 A = ( aij)m n , ——A的的负矩阵负矩阵(additive inverse of A). ②② 设设A, B是同型矩阵是同型矩阵, 则它们的则它们的差差 (subtraction)定义为定义为A + ( B). 记为记为A B. 即即A B = A + ( B). 20 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.2 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 2. 数乘数乘(scalar multiplication) 设矩阵设矩阵A = (aij)m n , 数数k与与A的的乘积乘积定义为定义为 (kaij)m n ,记为记为kA或或Ak. 注注: 矩阵的矩阵的线性运算线性运算(linear operation) 即即kA = Ak = ka11 ka12 … ka1nka21 ka22 … ka2n … … … …kam1 kam2 … kamn加法加法 数乘数乘 21 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.2 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 3. 性质性质 设设A, B, C, O是同型矩阵是同型矩阵, k, l是数是数, 则则 (1) A + B = B + A, (2) (A + B) + C = A + (B + C), (3) A + O = A,(4) A + ( A) = O, (5) 1A = A, (6) k(lA) = (kl)A, (7) (k + l)A = kA + lA,(8) k(A + B) = kA + kB.22 二二. 矩阵的乘积矩阵的乘积(matrix-multiplicative product) 例例例例4 4. . 某厂家向某厂家向某厂家向某厂家向A, B, CA, B, C三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品. . A A = =20 50 30 2520 50 30 2516 20 16 1616 20 16 16 B B = =200 180 190200 180 190100 120 100100 120 100150 160 140150 160 140180 150 180 150 1501502020 200 200 + +5050 100 100 + +3030 150 150 + +2525 18018018000 18000 18150 18150 16750 16750 10480 10480 10240 10240 9680 9680 1800018000第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.2 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 23 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.2 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 1. 定义定义A = (aij)m s与与B =(bij)s n的的乘积乘积(product) 是一个是一个m n矩阵矩阵C = (cij)m n , 其中其中 cij = ai1b1j + ai2b2j +…+ aisbsj = aikbkj. k k=1=1s s记为记为C = AB. 称称AB为为“以以A左乘左乘B” . 24 = = a a1111 a a1212 a a13 13 a a2121 a a2222 a a23 23 b b1111 b b1212 b b2121 b b22 22 b b3131 b b32 32 如如如如 a a1111b b1111+ +a a1212b b2121+ +a a1313b b3131 a a1111b b1212+ +a a1212b b2222+ +a a1313b b3232 a a2121b b1111+ +a a2222b b2121+ +a a2323b b3131 a a2121b b1212+ +a a2222b b2222+ +a a2323b b32 32 例例6 已知已知 求求 AB. 解解: 注意注意 乘积乘积BA没有意义没有意义 25 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.2 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 2. 矩阵乘积的特殊性矩阵乘积的特殊性 (1)只有当矩阵只有当矩阵A的的列列数等于矩阵数等于矩阵B的的行行数时数时, 乘积乘积AB才有意义才有意义. (2)若若A是一个是一个m n矩阵矩阵, 与与B是一个是一个n m矩阵矩阵, 则则AB和和BA都有意义都有意义. 但但AB是一个是一个m阶方阶方 阵阵, BA是一个是一个n阶方阶方阵阵. 当当m n时时, AB 与与 BA谈不上相等不相等谈不上相等不相等. 即使即使m = n, AB与与BA是同阶是同阶方方阵也未必等阵也未必等. 例如例如:26 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.2 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 1 1 2 2 2 4 1 2 1 0 0 1 1 1 2 2 2 4 1 2 1 0 0 1=0 00 0 3 3 6 1 1 2 2 2 4 = 1 1 2 2 1 21 2=0 00 0 1 1 2 2 1 21 2= 3 3 3 327 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.2 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 设设k是数是数, 矩阵矩阵A, B, C 使以下各式中一端使以下各式中一端有意义有意义, 则另一端也有意义并且等式成立则另一端也有意义并且等式成立: (1) (AB)C = A(BC), (2) A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC+BC,(3) (kA)B = k(AB).3. 性质性质 4. 方阵方阵A的的正整数幂正整数幂(power)A1 = A, A2 = AA, …, Ak+1 = AkA. 28 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.2 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 AkAl = Ak+l, (Ak)l = Akl (AB)k = AkBk 但即使但即使A与与B是同阶方阵是同阶方阵, 也未必成立也未必成立! 注注: ①① 若若AB = BA, 则则(AB)k = AkBk. ②② A = 0 10 0,B = 1 00 0,AB = 0 00 0,BA =0 10 0, AB BA, 但但(AB)k = AkBk成立成立. 容易验证容易验证 29 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.2 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 结合律的妙用之一结合律的妙用之一 设设A = BC, 其中其中B = , C = [1 2 3], 123A100 = ? 1 2 3 2 4 6 3 6 9 则则A = , CB = [1 2 3] 1 2 3 = 1 1 + 2 2 + 3 3 = 14. A100 = (BC)(BC)(BC)…(BC)(BC)(BC)= B(CB)(CB) …(CB)(CB)C 30 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.2 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 三三. 矩阵的转置矩阵的转置 1. 定义定义: A = a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn AT = 的的转置转置(transpose) a11 a12 a1n … a21 a22 a2n … … … … am1 am2 amn … 31 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.2 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 矩阵的转置运算满足如下性质矩阵的转置运算满足如下性质 (1) (AT)T = A, (2) (A+B)T = AT + BT, (3) (kA)T = kAT, (4) (AB)T = BTAT.2. 性质性质 注注: ①① A是对称矩阵是对称矩阵 AT = A; ②② A是反对称矩阵是反对称矩阵 AT = A; (A+AT)T = A+AT, (A AT)T = (A AT), ③③ A是方阵是方阵 …? 32 例例 7设设求求 解法解法1: 因为因为 于是于是 33 解法解法2: 由于由于: 所以所以: 34 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.2 §1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵的基本运算 四四. 方阵的多项式方阵的多项式 A ——方阵方阵 ——方阵方阵A的的多项式多项式(polynomial). f(x) = asxs + as 1xs 1 + … + a1x + a0 f(A) = asAs + as 1As 1 + … + a1A + a0E f(x) ——多项式多项式 注意注意!!! 35 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.3 §1.3 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵 一一. 基本概念基本概念 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 0 1 0 4 50 1 0 4 50 0 1 7 60 0 1 7 63 2 1 0 03 2 1 0 06 5 4 0 06 5 4 0 0§1.3 分块矩阵分块矩阵 1 0 01 0 0 1 2 1 2 0 1 00 1 0 4 5 4 50 0 10 0 1 7 6 7 63 2 1 3 2 1 0 00 06 5 4 6 5 4 0 00 0= = E3 B C O2分块矩阵分块矩阵(partitioned matrix) 36 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.3 §1.3 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵 A = [A1, A2, …, An]. 二二. 常用的分块法常用的分块法 1. A = a11 a21 am1 a12 a22 am2 … … … a1n a2n amn … … … …, A1 = , a11 a21 am1 … An = , a1n a2n amn … A2 = , a12 a22 am2 … 37 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.3 §1.3 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵 1 = [a11, a12, …, a1n], 1 2… mA =. 2. a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn A = 2 = [a21, a22, …, a2n], m = [am1, am2, …, amn], … 38 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.3 §1.3 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵 A A = = A A1 1 O O … … O OO O A A2 2 … … O O … … … …… … … …O O O O … … A As s, ,称为称为分块对角矩阵分块对角矩阵(或或准对角矩阵准对角矩阵), 其中其中A1, A2, …, As都是方阵都是方阵. 2. 分块对角矩阵分块对角矩阵(semi-diagonal matrix) 例如例如 2 1 02 1 0 0 0 0 0 0 2 10 2 1 0 0 0 0 0 0 20 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 3 4 3 4 . 39 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.3 §1.3 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵 三三. 基本运算基本运算 对于分块矩阵对于分块矩阵, 可把子块当作数量元素处理可把子块当作数量元素处理, 如如 分块矩阵运算分块矩阵运算须遵循以下规则：须遵循以下规则： (1) 矩阵的分块方式要与运算相配套矩阵的分块方式要与运算相配套; (2) 子块的乘积要分清左子块的乘积要分清左, 右顺序右顺序, 不能随意交换不能随意交换; (3) 分块矩阵转置时分块矩阵转置时, 除子块的位置转置外除子块的位置转置外, 子块子块本身也要转置本身也要转置.40 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.4 §1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 §1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 2x1 3x2 + 4x3 = 4 x1 + 2x2 x3 = 3 2x1 + 2x2 6x3 = 2 一一. 初等变换初等变换 公元前公元前1世纪世纪,《《九章算术九章算术》》 初等变换初等变换, 相当于相当于高斯消元法高斯消元法 41 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.4 §1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 2 2x x1 1 3 3x x2 2+4+4x x3 3 = = 4 4 x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3 = = 3 3 2 2x x1 1+2+2x x2 2 6 6x x3 3 = = 2 2 x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3 = = 3 3 2 2x x1 1 3 3x x2 2+4+4x x3 3 = 4 = 4 x x1 1 + + x x2 2 3 3x x3 3 = = 1 1 x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3 = = 3 3 x x2 2+2+2x x3 3 = = 2 2 x x2 2 2 2x x3 3 = = 2 2 2 2 ( ( 1)1)x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3 = = 3 3 x x2 2+2+2x x3 3 = = 2 2 0 0 = = 0 0 1/2 1/2 1 1 2 2 3 3 4 4 4 4 1 2 1 2 1 1 3 3 2 2 2 2 6 6 2 2轻轻轻轻装装装装上上上上阵阵阵阵 1 2 1 2 1 1 3 3 2 2 3 3 4 4 4 4 1 1 1 1 3 3 1 1 1/2 1/2 1 2 1 2 1 1 3 3 0 0 1 1 2 2 2 2 0 0 1 2 2 2 2 2 2 ( ( 1)1)1 2 1 2 1 1 3 3 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 42 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.4 §1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3 = = 3 3 x x2 2+2+2x x3 3 = = 2 2 0 0 = = 0 0 ( ( 2) 2) 1 2 1 2 1 1 3 3 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 x x1 1 5 5x x3 3 = = 1 1 x x2 2+2+2x x3 3 = = 2 2 0 0 = = 0 0 ( ( 2) 2) 1 1 0 0 5 5 1 1 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 x x1 1 = 5= 5c c + + 1 1x x2 2 = = 2 2c c 2 2 x x3 3 = = c c其中其中c为任意实数为任意实数. 43 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.4 §1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 1. 初等行变换初等行变换(elementary row operations) 初等列变换初等列变换(elementary column operations) (1) 对换变换对换变换: ri rj, (2) 倍乘变换倍乘变换: ri k, (3) 倍加变换倍加变换: ri+krj. 初等变换初等变换 (1) 对换变换对换变换: ci cj, (2) 倍乘变换倍乘变换: ci k, (3) 倍加变换倍加变换: ci+kcj. 初等行变换初等行变换 初等列变换初等列变换 44 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.4 §1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 若矩阵若矩阵A经过有限次初等变换化为经过有限次初等变换化为B, 则称则称A与与 B等价等价(equivalent). 记为记为A B. (1) 反身性反身性(reflexivity) A A, 容易验证矩阵之间的等价关系具有如下性质容易验证矩阵之间的等价关系具有如下性质: (2) 对称性对称性(symmetry) A B B A, (3) 传递性传递性(transitivity) A B, B C A C. 45 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.4 §1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 2. 行阶梯形矩阵与行最形矩阵行阶梯形矩阵与行最形矩阵 A 中非零行的数目为中非零行的数目为A的的阶梯数阶梯数. 1 1 0 0 40 1 0 2 20 0 0 2 30 0 0 0 41 1 2 0 40 1 3 2 20 0 0 2 30 0 0 0 0,行阶梯形行阶梯形(row echelon form) 注意注意 不是阶梯形矩阵不是阶梯形矩阵! 1 1 0 0 40 1 0 2 20 2 0 2 30 0 0 0 446 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.4 §1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 则称则称A为为行最简形行最简形(reduced reduced row row echelon formechelon form). 如果阶梯阵如果阶梯阵A还满足如下条件还满足如下条件 各非零行的首非零元全为各非零行的首非零元全为1, 非零行的首非零元所在列的其余元素全为非零行的首非零元所在列的其余元素全为0, 1 0 2 0 10 1 3 0 20 0 0 1 00 0 0 0 0注注: 用数学归纳法可以证明用数学归纳法可以证明: 任何一个矩阵都任何一个矩阵都 可以经过有限次初等可以经过有限次初等行行变换化为行最简形变换化为行最简形 矩阵矩阵.例如例如 47 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.4 §1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 二二. 初等矩阵初等矩阵(elementary reduction matrices) E ci cj E(i, j) E ci k E(i(k)) E ci+kcj E(j, i(k))E ri rj E(i, j) (1) E ri k E(i(k)) (2) E ri+krj E(i, j(k)) (3) 一次初等变换一次初等变换一次初等变换一次初等变换 1. 单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵 48 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.4 §1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 E(i, j) = 第第第第i i行行行行1 1 0 … … … 11 … … … 01 1 1 1 … … …… … …第第第第j j行行行行第第第第i i列列列列第第第第j j列列列列49 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.4 §1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 E(i(k)) = 第第第第i i行行行行1 k 1 1 第第第第i i列列列列1 50 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.4 §1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 E(i, j(k)) = 第第第第i i行行行行 1 … … k 1 1 ……第第第第j j行行行行 第第第第i i列列列列第第第第j j列列列列1 51 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.4 §1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 2. 初等矩阵的性质初等矩阵的性质 定理定理1.1. 对对m n矩阵矩阵A进行一次初等进行一次初等行行变换变换 相当于在相当于在A的的左左边乘以相应的初等边乘以相应的初等 矩阵矩阵; 对对A施行一次初等施行一次初等列列变换相变换相 当于在当于在A的的右右边乘以相应的初等矩边乘以相应的初等矩 阵阵.52 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.4 §1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 0 1 00 1 01 0 01 0 00 0 10 0 1a b ca b cx y zx y z1 2 31 2 3, ,= =x y zx y za b ca b c1 2 31 2 30 1 00 1 01 0 01 0 00 0 10 0 1a a x x 1 1b b y y 2 2c c z z 3 3, ,= =x x a a 1 1y y b b 2 2z z c c 3 31 1 k k 0 00 1 00 1 00 0 10 0 1a b ca b cx y zx y z1 2 31 2 3, ,= =a a+k+kx x b b+k+ky y c c+k+kz z x y z x y z 1 2 3 1 2 31 1 k k 0 00 1 00 1 00 0 10 0 1a a x x 1 1b b y y 2 2c c z z 3 3. .= =a a a ak+k+x x 1 1b b b bk+k+y y 2 2c c c ck+k+z z 3 31 0 01 0 00 1 00 1 00 0 0 0 k ka b ca b cx y zx y z1 2 31 2 3, ,= =a a b cb cx x y zy zk k 2 2k k 3 3k k1 0 01 0 00 1 00 1 00 0 0 0 k ka a x x 1 1b b y y 2 2c c z z 3 3, ,= =a a x x k kb b y y 2 2k kc c z z 3 3k k53 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.4 §1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 定理定理1.2. m n矩阵矩阵A, m阶初等矩阵阶初等矩阵 P1, P2, …, Ps s.t. P1P2…PsA为行最简形为行最简形. 例如例如, 0 0 1 1 2 2 2 4 2 4 2 2 2 4 2 4 2 2 0 0 1 1 2 2 1/2 1/2 1 2 1 2 1 1 0 0 1 1 2 2 ( ( 2) 2) 1 1 0 0 5 5 0 0 1 1 2 2 A = A 0 0 1 1 1 0 1 0 = A 0 0 1 1 1 0 1 0 1/21/2 0 0 0 1 0 1 A 0 0 1 1 1 0 1 0 1/21/2 0 0 0 1 0 1 = 1 1 2 2 0 1 0 1 54 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.5 §1.5 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 §1.5 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 一一. 逆矩阵的概念逆矩阵的概念 数数数数( (一阶方阵一阶方阵一阶方阵一阶方阵) )n n阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵事实事实事实事实 1 1a a = = a a1 1 = = a a, , a a E EA A = = A AE E = = A A, , A A a a 0 0 b b s.ts.t. . abab = = baba = = 1 1 A A 满足满足满足满足 ? ? B B s.ts.t. . ABAB = = BABA = = E E 55 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.5 §1.5 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 注注: A的逆矩阵记为的逆矩阵记为A 1. 定理定理1.4. A可逆可逆 A的逆矩阵唯一的逆矩阵唯一. 1. 定义定义: 设设A为方阵为方阵, 若存在方阵若存在方阵B, 使得使得 AB = BA = E, 则称则称A可逆可逆(invertible), 并称并称B为为A的的 逆矩阵逆矩阵(inverse matrix). 2. 逆矩阵的唯一性逆矩阵的唯一性 若若AB = BA = E, AC = CA = E, 则则B = BE =B(AC) = (BA)C = EC = C. 56 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 3. 逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质 设设A, B为同阶可逆方阵为同阶可逆方阵, 数数k 0. 则则 (1) (A 1) 1 = A. (2) (AT) 1 = (A 1)T. (3) (kA) 1 = k 1A 1. (4) (AB) 1 = B 1A 1. 要证明要证明(4), 只要验算只要验算①① (B 1A 1)(AB) = E, §1.5 §1.5 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 ②② (AB)(B 1A 1) = E 即可即可. 57 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 二二. 初等矩阵与可逆矩阵初等矩阵与可逆矩阵 1. 初等矩阵的可逆性初等矩阵的可逆性 (1) E(i, j) 1 = E(i, j), §1.5 §1.5 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 (2) E(i(k)) 1 = E(i(k 1 )), (3) E(i, j(k)) 1 = E(i, j( k)). 例如例如3阶初等矩阵阶初等矩阵E(1, 3(5)) = 1 1 0 0 5 5 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 , E(1, 3( 5)) =1 1 0 0 5 5 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 , 1 1 0 0 5 5 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 5 5 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 . = 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 重大发现重大发现重大发现重大发现 初等矩阵初等矩阵初等矩阵初等矩阵 的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵 仍为仍为仍为仍为 初等矩阵初等矩阵初等矩阵初等矩阵 58 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2. 可逆矩阵的分解可逆矩阵的分解 §1.5 §1.5 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 * * * * * * * * * * * * 0 0 0 0 0 0 = . 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 0 0 0 0 0 可逆矩阵中不会有零行可逆矩阵中不会有零行. (2) A (1) 初等初等初等初等 行变换行变换行变换行变换 A可逆可逆 U可逆可逆 行最简形行最简形U = P1P2…PsA U中不会有零行中不会有零行 = E U = 1 1 0 … 0 0 … 0 0 0 1 1 … … 0 0 0 0 … 0 0 … 1 1 … … … … = P1P2…PsA A = = P Ps s 1 1……P P2 2 1 1P P1 1 1 1 为初等矩阵的乘积为初等矩阵的乘积为初等矩阵的乘积为初等矩阵的乘积. . 两边同时左乘两边同时左乘两边同时左乘两边同时左乘( (P Ps s 1 1……P P2 2 1 1P P1 1 1 1) ) 59 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 三三. 用初等变换求逆矩阵用初等变换求逆矩阵 依据之一依据之一: 可逆矩阵的行可逆矩阵的行最简最简形为形为E. 依据之二依据之二: 初等变换与初等矩阵间的联系初等变换与初等矩阵间的联系. §1.5 §1.5 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 定理定理1.5. A可逆可逆A可写成初等矩阵的乘积可写成初等矩阵的乘积. 60 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 设设A可逆可逆, 则则A可以经过有限次初等可以经过有限次初等行行变换化为变换化为 行行最简形最简形——单位矩阵单位矩阵E.A A … … E E ( (A A E E) ) … … ( (E E ? ?) ) P P1 1( (A A E E) )P P2 2P P1 1( (A A E E) )P Pl l-1-1…… P P2 2P P1 1( (A A E E) )P Pl l P Pl l-1-1……P P2 2P P1 1( (A A E E) )P P1 1A AP P2 2P P1 1A AP Pl l-1-1…… P P2 2P P1 1A AP Pl l P Pl l-1-1……P P2 2P P1 1A A( (P Pl l P Pl l-1-1……P P2 2P P1 1A A, , P Pl l P Pl l-1-1……P P2 2P P1 1) )? ? = = A A 1 1 §1.5 §1.5 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 61 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.5 §1.5 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 例例7. 设设 A = , 求求A 1. 1 2 3 1 0 0 2 2 1 0 1 03 4 3 0 0 1解解: 初等初等初等初等 行行行行变换变换变换变换 1 0 0 1 3 20 1 0 3/2 3 5/2 0 0 1 1 1 1故故A 1 = 1 3 2 3/2 3 5/2 1 1 1. 1 2 3 2 2 13 4 362 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.5 §1.5 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 四四. 用初等变换解矩阵方程用初等变换解矩阵方程 设设A可逆可逆, 则则A可以经过有限次初等可以经过有限次初等行行变换化为变换化为 行行最简形最简形——单位矩阵单位矩阵E.下面用初等变换解矩阵方程下面用初等变换解矩阵方程AX = B.注意到注意到X = A 1B.( (A A B B) ) … … ( (E E ? ?) ) P P1 1( (A A B B) )P P2 2P P1 1( (A A B B) )P Pl l-1-1…… P P2 2P P1 1( (A A B B) )P Pl l P Pl l-1-1……P P2 2P P1 1( (A A B B) )( (P Pl l P Pl l-1-1……P P2 2P P1 1A A, , P Pl l P Pl l-1-1……P P2 2P P1 1B B) )? ? = = A A 1 1B B = = X X 63 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.5 §1.5 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 1 2 3 2 5 2 2 1 3 13 4 3 4 3解解: 初等初等 行行变换变换 1 0 0 3 20 1 0 2 3 0 0 1 1 3故故X = 3 2 2 3 1 3.例例8. 设设A = 1 2 32 2 13 4 3, , B = 2 53 14 3求矩阵求矩阵X使使AX = B.64 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式 历史上历史上, 行列式因线性方程组的求解而被发明行列式因线性方程组的求解而被发明 G. W. Leibniz[德德] ( (1646.7.11646.7.1~ ~1716.11.141716.11.14) ) S. Takakazu[日日] ( (1642?1642?~ ~1708.10.241708.10.24) ) 65 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 (a11a22 a12a21)x1 = b1a22 a12b2 (a11a22 a12a21)x2 = a11b2 b1a21 当当a11a22 a12a21 0时时,a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2x1=b1a22 a12b2a11a22 a12a21, x2=a11a22 a12a21a11b2 b1a21.66 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 a11 a12 a21 a22记记D = , b1 a12 b2 a22D1 = , a11 b1a21 b2D2 = ,则当则当D = a11a22 a12a21 0时时,,=D1D=D2D.a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2x1=b1a22 a12b2a11a22 a12a21有唯一确定的解有唯一确定的解x2=a11a22 a12a21a11b2 b1a2167 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 1阶方阵阶方阵A = [a11]的行列式的行列式|A|定义为定义为a11. a11 a12 a21 a222阶方阵阶方阵A = 的行列式的行列式|A|定义为定义为 a11 a12 a21 a22|A| = = a11a22 a12a21. 一一. 行列式行列式(determinant)的定义的定义 68 a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33a11的的余子式余子式: a22 a23 a32 a33M11 =代数余子式代数余子式: A11 = ( 1)1+1M11 a12的的余子式余子式: a21 a23 a31 a33M12 =代数余子式代数余子式: A12 = ( 1)1+2M12 a13的的余子式余子式: M13 =代数余子式代数余子式: A13 = ( 1)1+3M13 a21 a22 a31 a32a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a3369 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 3阶方阵阶方阵A = 的行列式的行列式|A|定义为定义为 a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33|A| =a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33= a11A11 + a12A12 + a13A13 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 . 70 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 一般地一般地, 在在n阶行列式中阶行列式中, 把元素把元素aij所在的第所在的第i行行 和第和第j列划去列划去, 留下来的留下来的n 1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素aij的的余子式余子式(minor), 记作记作Mij, 令令Aij = ( 1)i+jMij, 并称之为并称之为aij的的代数余子式代数余子式(cofactor). 例如例如, 四阶阶行列式四阶阶行列式中中中中a a3232的余子式为的余子式为的余子式为的余子式为 a a11 11 a a1212 a a13 13 a a1414 a a21 21 a a2222 a a23 23 a a2424 a a3131 a a3232 a a33 33 a a3434a a41 41 a a4242 a a43 43 a a4444a a11 11 a a13 13 a a1414 a a21 21 a a23 23 a a2424 a a41 41 a a43 43 a a4444MM3232= =, ,代数余子式代数余子式代数余子式代数余子式A A3232 = (= ( 1 1) )3+23+2MM32 32 = = MM3232. . 71 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 补充补充. . 数学归纳法数学归纳法(Principle of mathematical induction)(Principle of mathematical induction) 1. 第一数学归纳法原理第一数学归纳法原理: 则则P对于任意的自然数对于任意的自然数n n0成立成立. 设设P是一个关于自然数是一个关于自然数n的命题的命题, 若若 ①① P对于对于n = n0成立成立. ②② 当当n n0时时, 若由若由“n = k时时P成立成立”可推出可推出 “n = k+1时时P成立成立”,72 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 2. 第二数学归纳法原理第二数学归纳法原理: 设设P为一个关于自然数为一个关于自然数n的命题的命题, 若若 ①① P对于对于n = n0成立成立, ②② 若由若由“n0 n k时时P成立成立”可推出可推出 “n = k+1时时P成立成立”,则则P对于任意的自然数对于任意的自然数n n0成立成立.73 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … …an1 an2 … ann= a11A11+a12A12+…+a1nA1n 假设假设n 1阶行列式已经定义阶行列式已经定义, = = a a1111( ( 1)1)1+11+1MM1111 + + a a1212( ( 1)1)1+21+2MM1212 + … ++ … + a a1 1n n ( 1)1+nM1n n 1阶行列式阶行列式 ( (LaplaceLaplace Expansion of Determinants) Expansion of Determinants) P.-S.P.-S. Laplace Laplace[ [法法法法] ] ( (1749.3.23~1827.3.5) ) 则定义则定义n阶行列式阶行列式 74 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例9. 下三角形下三角形(lower triangular)行列式行列式 a11 0 … 0a21 a22 … 0… … … …an1 an2 … ann = a11 a22…ann .例例10. 上三角形上三角形(upper triangular)行列式行列式 a11 a12 … a1n 0 a22 … a2n … … … … 0 0 … ann= a11 a22…ann .75 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 二二. 行列式的性质行列式的性质 性质性质1. 互换行列式的两行或两列互换行列式的两行或两列, 行列式变号行列式变号. 推论推论. 若行列式若行列式 D 中有两行或两列完全相同中有两行或两列完全相同, 则则 D = 0.a11 a12 a21 a22例如例如 = a11a22 a12a21, a12 a11 a22 a21= a12a21 a11a22. 1 1 2 2 D = = 1 1 2 2 = D D = 0. 76 性质性质2 2 行列式一行行列式一行( (或列或列) )的公因子可以提到行列的公因子可以提到行列式记号的外面，即式记号的外面，即 推论推论 如果行列式中有一行如果行列式中有一行( (或列或列) )的全部元素都的全部元素都为零，那么这个行列式的值为零。
为零，那么这个行列式的值为零第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 77 性质性质3 3 若行列式的某一行若行列式的某一行( (或列或列) )的元素都是两数的元素都是两数之和之和, ,例如例如: :则则 D 等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 78 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 推论推论 在行列式中，把某一行在行列式中，把某一行( (或列或列) )的倍数加到另的倍数加到另一行一行( (或列或列) )对应的元素上去，行列式的值不变，即对应的元素上去，行列式的值不变，即 79 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例11. 1 2 1 2 4 4 2 2 1 2 2 1 3 4 3 4 2 2 ( ( 2) 2) 1 0 1 0 4 4 = = 2 6 1 2 6 1 3 10 3 10 2 2 1 1 0 0 0 0 = = 2 2 ( ( 7 7) ) 2 2 3 3 1 1 3 3 5 5 2 2 1 1 0 0 0 0= = 14 14 2 2 0 0 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 0 0 0 0= = 1414 2 2 1 1 0 0 3 3 2 2 1 1= = 14.14. 4 4 1 0 0 1 0 0 = = 2 6 2 6 7 7 3 10 3 10 1414 ( ( 3) 3) 注注: 本题也可以用定义计算本题也可以用定义计算. 80 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 性质性质4. 设设A, B为同阶方阵为同阶方阵, 则则|AB| = |A||B|. 性质性质5. |AT| = |A| . 81 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 定理定理1.7. n阶行列式阶行列式D等于它的任意一行等于它的任意一行 (列列) 的各元素与其对应的代数余子式乘积的各元素与其对应的代数余子式乘积 之和之和. 即即 D = a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n = a21A21 + a22A22 + … + a2nA2n = … = an1An1 + an2An2 + … + annAnn = a11A11 + a21A21 + … + an1An1 = a12A12 + a22A22 + … + an2An2 = … = a1nA1n + a2nA2n + … + annAnn . 82 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 性质性质6. ai1Aj1 + ai2Aj2 + … + ainAjn = 0 (i j) a1iA1j + a2iA2j + … + aniAnj = 0 (i j). 定理定理1.8.设设D = |[aij]|, 则则 aikAjk = D ij , k k=1=1n n akiAkj = D ij . k k=1=1n n注注: 克罗内克记号克罗内克记号 ij = 1, i = j,0, i j. L.L. KroneckerKronecker[ [德德德德] ]( (1823.12.71823.12.7~ ~1891.12.291891.12.29) )83 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 三三. 行列式的计算行列式的计算 1. 二二, 三阶行列式三阶行列式—用定义计算用定义计算. 2. 利用初等变换化为三角形利用初等变换化为三角形. 例例13 计算计算 84 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 解解: 85 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 86 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 四四. 行列式的应用行列式的应用 设设A = [aij]n n为方阵为方阵, 元素元素aij的代数余子的代数余子 式为式为Aij, 则称如下矩阵则称如下矩阵 A* =A11 A21 … An1 A12 A22 … An2 … … … …A1n A2n … Ann 为方阵为方阵A的的伴随矩阵伴随矩阵(adjoint). 1. 伴随矩阵与逆矩阵伴随矩阵与逆矩阵 87 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例16. 求求A = a b c d 的伴随矩阵的伴随矩阵. 解解: A11 = d, A21 = b, A12 = c, A22 = a. A* = A11 A21 A12 A22 = d b c a . 88 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例17. 设设A为方阵为方阵, A*为其伴随矩阵为其伴随矩阵. 证明证明: AA* = A*A = |A|E.证明证明: AA* = a11 … a1n an1 … ann … … A11 … An1A1n … Ann … … = n n n n a1kA1k … a1kAnk k k=1 =1 k k=1 =1 n n n n a1kA1k … a1kAnk k k=1 =1 k k=1 =1 … … = |A| |A| … . 89 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 定理定理1.9.方阵方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是|A| 0. 当当|A| 0时时, 有有 A 1 =|A| 1A*. 推论推论. 设设A, B为方阵为方阵, 若若AB = E(或或BA = E), 则则B = A 1. 事实上事实上, AB = E |A| 0 A可逆可逆 B = EB = (A 1A)B = A 1(AB) = A 1E = A 1. A非奇异非奇异(nonsingular) 90 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 例例18. 求下列方阵的逆矩阵求下列方阵的逆矩阵.(1) (1) A A = = 1 1 2 2 3 4 3 4 , , 1 1 2 2 3 3 2 2 1 2 2 1 3 3 4 3 4 3 (2) (2) B B = = . . 解解解解: (1): (1) A A 1 1 = = | |A A| | 1 1A A* * = = 2 2 1 1 4 4 2 2 3 1 3 1 . . (2) |(2) |B B| = 2 | = 2 0 0, , B B 1 1 = = | |B B| | 1 1B B* * B B1111 = ( = ( 1 1) )1+1 1+1 2 12 14 34 3= 2, = 2, B B2121 =6, =6, B B3131 = = 4, 4, B B1212 = = 3 3, , B B2222 = = 6 6, , B B3232 = 5, = 5, B B1313 = 2, = 2, B B2323 = 2, = 2, B B3333 = = 2. 2. = = 2 2 1 1 2 2 6 6 4 4 3 3 6 6 5 5 2 2 2 2 2 2 . . 91 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 定理定理1.10. 分块对角矩阵分块对角矩阵A =diag(A1, A2, …, As) 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是: A1, A2, …, As都都可逆可逆. 当当A1, A2, …, As都都可逆可逆时时, A 1 = diag(A1 1, A2 1, …, As 1). 92 2. 克拉默法则克拉默法则(Cramer’s Rule) 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 G.G. Cramer Cramer[ [瑞士瑞士瑞士瑞士] ] ( (1704.7.311704.7.31~ ~1752.1.41752.1.4) ) C.C. MaclaurinMaclaurin[ [英英英英] ] ( (1698.21698.2~ ~1746.6.141746.6.14) ) 93 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 可以表示为可以表示为Ax = b. 则线性方程组则线性方程组 x x1 1x x2 2……x xn n 记记x = , ,b b1 1b b2 2……b bmm b b = = , , A A = = a a1111 a a1212 … … a a1 1n na a2121 a a2222 … … a a2 2n n … … … …… … … …a amm1 1 a amm2 2 … … a amnmn , ,下面讨论下面讨论A为为n阶方阵的情形阶方阵的情形. 94 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 对于对于n元线性方程组元线性方程组记记记记D D = = a a11 11 a a1212 … … a a1 1n n a a2121 a a22 22 … … a a2 2n n … … … … … … … …a an n1 1 a an n2 2 … … a annnn, , D D1 1 = =b b1 1 a a1212 … … a a1 1n n b b2 2 a a22 22 … … a a2 2n n… … … …… … … …b bn n a an n2 2 … … a annnn , ,D D2 2 = =a a1111 b b1 1 … … a a1 1n n a a2121 b b2 2 … … a a2 2n n … … … …… … … …a an n1 1 b bn n … … a annnn , …, , …, D Dn n = =. .a a1111 a a1212 … … b b1 1 a a2121 a a2222 … … b b2 2 … … … … … … … … a an n1 1 a an n2 2 … … b bn n 95 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.6 §1.6 方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式 定理定理1.11. 设设A为为n阶方阵阶方阵, |A| 0, 则方程组则方程组 有唯一解有唯一解: Ax = b , x1 = D1 D x2 = D2 D , …, xn =Dn D . 96 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.7 §1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 §1.7 矩阵的秩矩阵的秩 一一. 基本概念基本概念 这样的子式共有这样的子式共有 个个. k阶子式阶子式 m n k行行 k列列 97 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.7 §1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 例如例如: A = 2 0 4 1 0 1 3 2 4 0 8 2 2, 0, 4, 1, 0, 1, 3, 2, 4, 0, 8, 2. 的的1阶子式有阶子式有3 4个个: A的的2阶子式有阶子式有3 6个个: 0 4 0 4 1 3 1 3 , , 0 1 0 1 1 2 1 2 , , 4 1 4 1 3 2 3 2 , , 2 0 2 0 0 1 0 1 , , 2 4 2 4 0 3 0 3 , , 2 1 2 1 0 2 0 2 , , 0 4 0 4 0 0 8 8 , , 0 1 0 1 0 0 2 2 , , 4 1 4 1 8 8 2 2 , , 2 0 2 0 4 0 4 0 , , 2 4 2 4 4 4 8 8 , , 2 1 2 1 4 4 2 2 , , 0 1 0 1 4 0 4 0 , , 3 2 3 2 8 8 2 2 . . 0 3 0 3 4 4 8 8 , , 0 2 0 2 4 4 2 2 , , 1 3 1 3 0 0 8 8 , , 1 2 1 2 0 0 2 2 , , 98 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.7 §1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 2 0 4 1 2 0 4 1 0 1 3 2 0 1 3 2 4 0 4 0 8 8 2 2 的的3阶子式有阶子式有1 4个个: 2 0 4 2 0 4 0 1 3 0 1 3 4 0 4 0 8 8 2 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1 2 4 0 4 0 2 2 2 4 1 2 4 1 0 3 2 0 3 2 4 4 8 8 2 2 0 4 1 0 4 1 1 3 2 1 3 2 0 0 8 8 2 2 = = = = = = = 0. = 0. 99 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.7 §1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 问题问题: 假若一个假若一个5 6的矩阵中所有的矩阵中所有3阶子式都等阶子式都等 于零的话于零的话, 它的它的4阶子式中会出现非零的阶子式中会出现非零的 吗吗? 答答: 绝对不会绝对不会! 因为每个因为每个4阶子式都可以按行展开阶子式都可以按行展开, 通过一通过一 些些3阶子式的组合得到阶子式的组合得到.) 100 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.7 §1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 ②② r(AT) = 秩秩r(A). 2. 矩阵矩阵A的的秩秩(rank) 记为记为r(A)或或秩秩(A) r(A) = r A中至少有一个中至少有一个r阶子式阶子式D不为零不为零 A的所有的所有r +1阶子式都等于零阶子式都等于零 注注: ①① 零矩阵的零矩阵的秩秩规定为规定为0. 2 0 4 12 0 4 1 0 1 3 20 1 3 2 4 0 4 0 8 8 2 2而而3阶子式全为阶子式全为0, 因此它的秩为因此它的秩为2. 例如例如 有一个有一个2阶子式阶子式 2 02 0 0 10 1 0, 0, 101 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.7 §1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 例例20. 3 2 0 5 0 3 2 3 6 1 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 的秩的秩=? 注注: 例例20告诉我们告诉我们: 对于一个阶数很高且比较对于一个阶数很高且比较 复杂的矩阵来说复杂的矩阵来说, 按照定义去求它的秩是按照定义去求它的秩是 一件很麻烦的事一件很麻烦的事. 102 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.7 §1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 4 0 8 2 9 0 3 0 1 2 0 0 0 4 7 0 0 0 0 0 例例21.的秩为的秩为 . 3 注注: 从例从例21可以看出行阶梯形矩阵的秩就等于可以看出行阶梯形矩阵的秩就等于 它的阶梯数它的阶梯数(即即:非零行的数目非零行的数目). 而任何一个矩阵都可以经过有限次初等而任何一个矩阵都可以经过有限次初等行行 变换化为变换化为行行阶梯形阶梯形. 要是每次初等要是每次初等行行变换都不改变矩阵的秩就变换都不改变矩阵的秩就 好了好了. 而这一点我们是可以证明的而这一点我们是可以证明的! 103 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.7 §1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 二二. 几个重要的结论几个重要的结论 定理定理1.11. 初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩. 推论推论. (1) 等价的矩阵具有相同的秩等价的矩阵具有相同的秩. (2) 设设B = PAQ, 其中其中P, Q为可逆矩阵为可逆矩阵, 则则r(A) = r(B). 104 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.7 §1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 例例22.设设A = 3 2 0 5 03 2 3 6 12 0 1 5 31 6 4 1 4, 求求A的秩的秩, 并找出并找出A的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式. 105 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.7 §1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 1 1 6 6 4 4 1 1 4 4 0 0 4 4 3 3 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 4 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = = B B. . 解解解解: : A A = = 3 2 0 5 0 3 2 0 5 0 3 3 2 3 6 2 3 6 1 1 2 0 1 5 2 0 1 5 3 3 1 6 1 6 4 4 1 4 1 4 可见秩可见秩可见秩可见秩( (A A) = 3.) = 3.B B的第的第的第的第1, 2, 41, 2, 4列列列列( (是由是由是由是由A A的第的第的第的第1, 2, 41, 2, 4列变来的列变来的列变来的列变来的) )中有一个中有一个中有一个中有一个 3 3阶非零子式阶非零子式阶非零子式阶非零子式. . 初等初等初等初等行行行行变换变换变换变换 因而因而因而因而A A的第的第的第的第1, 2, 41, 2, 4列中必然有一个列中必然有一个列中必然有一个列中必然有一个3 3阶非零子式阶非零子式阶非零子式阶非零子式. . 不难找到不难找到不难找到不难找到 3 2 5 3 2 5 3 3 2 6 2 6 2 0 5 2 0 5 = = 16, 16, 这个子式就是这个子式就是这个子式就是这个子式就是A A的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式. . 106 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.7 §1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 命题命题. 设设A为为s m矩阵矩阵, B为为s n矩阵矩阵, 则则 max{r(A), r(B)} r(A, B) r(A)+r(B). 证明证明: ①①因为因为A和和B的子式也是分块矩阵的子式也是分块矩阵(A, B) 的子式的子式, 所以所以 于是于是max{r(A), r(B)} r(A, B)成立成立. r(B) r(A, B). r(A) r(A, B), 107 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.7 §1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 命题命题. 设设A为为s m矩阵矩阵, B为为s n矩阵矩阵, 则则 max{r(A), r(B)} r(A, B) r(A)+r(B).证明证明: ②②设设P1AT = U1, P2BT = U2, 其中其中U1, U2为行最简形矩阵为行最简形矩阵. 于是于是 = r(A)+r(B). r(A, B) = r(A, B)T = r AT BT = r AT BT P1 O O P2 = r U1 U2 U1 U2 的非零行数的非零行数 108 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.7 §1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 命题命题. 设设A, B均为均为s n矩阵矩阵, 则则 r(A+B) r(A)+r(B). 证明证明: 记记A = ( 1, …, n), B = ( 1, …, n). (A+B, B) = ( 1+ 1, …, n+ n, 1, …, n) ( ( 1) 1) ( ( 1) 1) … ( 1, …, n, 1, …, n) = (A, B). 可见可见(A+B, B)与与(A, B)等价等价, 因而因而 r(A+B, B) = r(A, B) r(A+B) r(A)+r(B). 109 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.7 §1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 命题命题. 设设A为为s n矩阵矩阵, B为为n t矩阵矩阵, 则则 r(AB) min{r(A), r(B)}.证明证明: 设设 A = P Q, Er OO O其中其中P, Q为可逆矩阵为可逆矩阵. 则则r(A) = r. 下面对下面对QB进行分块进行分块: 其中其中Q1为为r t矩阵矩阵. Q1Q2QB = , r(AB) = r(P QB) Er OO O于是于是 110 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 §1.7 §1.7 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩 r(AB) = r(P QB) Er OO O= r(Q1) = r( QB) Er OO O= r(A). 进而有进而有= r( Er OO OQ1Q2) = r Q1O r r(AB) = r(AB)T = r(BTAT) r(BT) = r(B). 111 。