福州屏东中学 林碧云 数学六大核心素养数学六大核心素养数学抽象、数学抽象、逻辑推理、数学建模、推理、数学建模、数学运算、直数学运算、直观想象、数据分析想象、数据分析课程课程标准：标准：在数学教学中，应当注重发展学生的在数学教学中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何数感、符号意识、空间观念、几何直观直观、、数据分数据分析析观念、观念、运算运算能力、能力、推理推理能力和能力和模型模型思想 数学核心素养的培养数学核心素养的培养 数学学科核心素养的培养，要通数学学科核心素养的培养，要通过过学科教学科教学学和和综综合合实实践活践活动课动课程程来具体来具体实实施数学学科教学活施数学学科教学活动动是数学学科素养是数学学科素养培养的主要途径培养的主要途径 在在教教学学研研究究中中，，人人们们讨讨论论较较多多、、较较深深入入的的是是教教学学的的重重、、难难点点在在钻钻研研与与处处理理教教材材乃乃至至课课堂堂教教学学中中，，除除了了重重、、难难点点外外，，还还存存在在一一个个关关键键点点的的问问题题教教学学就就是是要要在在确确定定与与处处理理关关键键点点上上下下功功夫夫。
只只有有把把握握关关键键，，才才能能抓抓住住重重点点、、突突破破难难点点这这是是优优化化教教学过程的重要环节，是提高课堂效率的重要途径学过程的重要环节，是提高课堂效率的重要途径关键点教学设计关键点教学设计 初初中代数中代数数：数：数的扩充思路（研究问题与研究方法）、数的运算法则数的扩充思路（研究问题与研究方法）、数的运算法则式：式：式的由来与运算（符号意识式的由来与运算（符号意识——符号结构、符号意义、符号表示、符号运算）符号结构、符号意义、符号表示、符号运算）方程：方程：解方程的思路解方程的思路函数：函数：函数的主要问题与研究方法及用函数解决问题的基本思路与方法函数的主要问题与研究方法及用函数解决问题的基本思路与方法 初中初中代数中的关键数学能力代数中的关键数学能力运算能力运算能力符号意识（察觉结构符号意识（察觉结构——数学抽象）数学抽象）推理能力（确定运算对象和运算法则，推理能力（确定运算对象和运算法则， 明确运算方向，构造运算程序）明确运算方向，构造运算程序）数学六大核心素养数学六大核心素养数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析 概念引入概念引入§2.2.1整式的加减整式的加减 ——合并同类项合并同类项1、计算、计算 300+4+200+5（写出计算过程）（写出计算过程）2、用简便方法计算：、用简便方法计算：新人教版新人教版七七年级上年级上结构特征结构特征 概念引入概念引入 同类项、合并同类项的概念追问追问1：：观察上述运算的等号左边的多项式，有什么共同特点？ 概念：概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项（特别地，常数项都是同类项）． 填空：填空：概念生成概念生成结构特征结构特征 概念辨析概念辨析追问：（1）同类项必须具备几个条件？ （2）同类项与什么有关？与什么无关？ ①①“两相同两相同”②②“两无关两无关”例题例题1：：判断下列各项是不是同类项？说明理由．①－2x2y3与3x2y3；②x与y；③a2与a3；④－3pq与3qp；⑤abc与ac；⑥2a2b与b2a；⑦－5与3． 概念应用概念应用（1）－xy2＋3xy2＋xy2（2）7a＋3a2＋2a－a2＋3 合并同类项的步骤：合并同类项的步骤：“一找，二并，三加减一找，二并，三加减”例题例题2 2：：根据分配律合并同类项，总结解题步骤，并说出每一步的依据． 新人教版八年级上新人教版八年级上 发现规律发现规律公式公式引入引入 表示规律表示规律公式公式生成生成 发现发现模式模式公式公式生成生成 (x＋a)(x－a)＝x2－a2公式结构特征：公式结构特征：①①等式左边：两数和与两数差的积；等式左边：两数和与两数差的积；②②等式右边：两个数的平方差等式右边：两个数的平方差 两数之和与两数之和与这两数之差的乘两数之差的乘积，，等于等于这两个数的平方差．两个数的平方差．平方差公式平方差公式 问题1 某校三年级共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？新人教版七年级上新人教版七年级上3.2.1 解一元一次方程解一元一次方程---合并同合并同类项和移和移项(1)“从古老的代数从古老的代数书说起起”：： 约公元公元825年，中年，中亚细亚数学家阿数学家阿尔—花拉子米写花拉子米写了一本代数了一本代数书，重点，重点论述怎述怎样解方程。
解方程这本本书的拉丁的拉丁文文译本取名本取名为《《对消与消与还原》原》.“对消消”与与“还原原”是什么是什么意思呢？意思呢？ （（1））2x－－3x＝＝______.（（2））x＋＋2x＋＋4x＝＝_____.（（3））x－－－－ x －－－－ x ＝＝____.1241复习：合并同类项：复习：合并同类项：x ＋＋ 2x ＋＋ 4x＝＝1407x＝＝140x＝＝20合并同合并同类项 系数化系数化为1解一元一次方程解一元一次方程构造运算程序构造运算程序 合并同类项的作用：合并同类项的作用：合并同类项起到了合并同类项起到了简化简化的的作用，即把含有未知数的项合并，从而把方程作用，即把含有未知数的项合并，从而把方程转化为转化为ax=b（其中（其中a、、b是常数是常数a≠ 0）） ．．系数化系数化为1的依据是的依据是等式的基本性等式的基本性质2（等式两（等式两边同同乘同一个数，或同除以同一个不乘同一个数，或同除以同一个不为零的数，零的数，结果果仍相等）仍相等）,把方程把方程转为ax=b （其中（其中a、、b是常数是常数a≠ 0）） . 例例1 解下列方程：解下列方程：7x－－2.5x＋＋3x－－1.5x＝－＝－15×4－－6×3解：合并同类项，得解：合并同类项，得 6x＝＝-78系数化为系数化为1，， 得得 x＝＝-13 辩一辩：辩一辩：判断下列方程的部分解题过程是否正确：判断下列方程的部分解题过程是否正确：1、、x＋＋3x＋＋4x＝＝5解：合并同类项，得解：合并同类项，得 7x＝＝52、、3x＋＋2x－－6x＝＝3解：合并同类项，得解：合并同类项，得 －－x＝＝3所以原方程的解为－所以原方程的解为－x＝＝33、、3x＝＝4解：系数化为解：系数化为1，得，得 x＝＝34 练一练练一练4解下列方程：解下列方程：（（1 1））23x23x－－5x=9 5x=9 （（2 2））（（3 3））7x7x＋＋6x6x－－12x12x＝＝5 5（（4 4））7y7y－－4.5y4.5y＋＋2y2y－－1.5y1.5y＝－＝－1515××4 4－－6 6××3 3x－－112x＝５＝５x－－ 问题1 某校三年某校三年级共共购买计算机算机140台，去年台，去年购买数量是前年的数量是前年的2倍，今年倍，今年购买数量又是去年的数量又是去年的2倍，前年倍，前年这个学校个学校购买了多少台了多少台计算机？算机？ 设前年前年这个学校个学校购买了了x台台计算机，可以表示出：去年算机，可以表示出：去年 购买计算机算机 2x 台，今年台，今年购买计算机算机 4x 台．根据台．根据问题中的相等关系中的相等关系为：： 前年前年购买量＋去年量＋去年购买量＋今年量＋今年购买量＝量＝140台，台， 列方程：列方程：x+2x+4x=140“从古老的代数从古老的代数书说起起”：： 约公元公元825年，中年，中亚细亚数学家阿数学家阿尔—花拉子米写了一本代数花拉子米写了一本代数书，，重点重点论述怎述怎样解方程。
解方程这本本书的拉丁文的拉丁文译本取名本取名为《《对消与消与还原》原》.“对消消”与与“还原原”是什么意思呢？是什么意思呢？ 一桶某种油漆可刷的面积为一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这，李林用这桶油漆恰好刷完桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？你能算出盒子的棱长吗？新人教版九年级上新人教版九年级上21.2.1 21.2.1 解一元二次方程---配方法配方法 你还认识你还认识“老朋友老朋友”吗吗1.1.解下列方程解下列方程 (1)（（1））x2=2 (2)(x-2)2=2 (2) (3) (x-2)2-2=0 (4)x2-4x+4=21. 回顾与复习 你能解你能解: x2 –4x = -2吗？吗？x2 –4x +2= 0呢？呢？构造运算程序构造运算程序 w观察下面几个方程的异同观察下面几个方程的异同(1) (x-2)2=2 (2) x2 -4x+4 = 2.(3) x2 -4x = -2你能把方程你能把方程: x2 -4x+2= 0化为方程（化为方程（2）吗？）吗？(3)(3)(2)4这种通过添项使表达式变成完全平方式的方法，我们称之为配方法移项移项配方配方对你解形如对你解形如x2 +px+q= 0（（p,q为常数）的方程有启发吗？为常数）的方程有启发吗？ w1.1.移项移项: :把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边; ;w2.2.配方配方: :方程两边都加上一次项系数一半的平方方程两边都加上一次项系数一半的平方; ;方程左边写成完全平方形式方程左边写成完全平方形式, ,右边合并同类项右边合并同类项; ;w4.4.求解：求解：求出原方程的解求出原方程的解. .配方法配方法解形如解形如 +p +q= 0（（p,q为常数），即常数），即二次二次项系数系数为1的一元二次方程的步的一元二次方程的步骤：：w3.3.开方开方：：利用直接开平方法降次；利用直接开平方法降次；从从 特特 殊殊 到到 一一 般般 §19.2.2 一次函数的图象与性质一次函数的图象与性质新人教版新人教版八八年级年级下下 1、观式画图：y＝xy＝3xy＝－0.5xy＝－10xxoy数学建模数学建模直观想象直观想象 2、看图写式：xoyxoy 一种思维方式一种思维方式数形正比例函数y＝k·x一条直线 一种思维方式一种思维方式BA以形助数以形助数以形助数以形助数B以数定形以数定形以数定形以数定形Ay＝2xx xOOy y 正比例函数y＝kx一次函数y＝kx＋b知识的发展知识的发展特殊一般 从特殊到一般的思考从特殊到一般的思考正比例函数一次函数““数””““形””y＝kxy＝kx＋b一条过原点的直线？ 从从““数数””探探““形形””！！y＝2x＋1y＝2x观察：观察：猜想：猜想：y＝2x＋1的图象是一条直线? 直观验证：直观验证： 请在同一坐标系内，画出函数y＝2x与y＝2x＋1的图象.从从““数数””探探““形形””！！ x……－－2－－1012……y＝＝2x……－－4－－2024……y＝＝2x＋＋1……-3-1135……－3－1135 梳理：梳理：函数函数y＝＝2x＋＋1的图象的图象1 1、一条直线，与直线、一条直线，与直线y y＝＝2 2x x平行；平行；2 2、可以看作由直线、可以看作由直线y y＝＝2 2x x向上平移向上平移1 1个个单位长度得到；单位长度得到；3 3、过一、二、三象限，、过一、二、三象限， 与与y y y y轴交于点（轴交于点（0 0，，1 1），）， 与与x x轴交于（－轴交于（－0.50.5，，1 1））. . . .k k都为都为都为都为2 2 2 2b b由由由由0 0 0 0到到到到1 1 1 1从从““数数””探探““形形””！！特殊的点特殊的点特殊的点特殊的点 图象与性质图象与性质 14.3.3 因式分解因式分解（复习课）（复习课）新人教版新人教版八八年级上年级上 问题问题1 课前小测课前小测 问题问题1 课前小测课前小测结构特征结构特征 问题问题2 针对训练针对训练提公因式的方法：提公因式的方法：①①公因式的系数取各公因式的系数取各项整数系数的整数系数的绝对值的最大公的最大公约数；数；②②取各取各项中相同的整式，且取相同整式的最低次数中相同的整式，且取相同整式的最低次数. . 问题问题2 针对训练针对训练 问题问题3 综合提高综合提高2.活动二：几何验证我们知道，用平面几何图形的面积可表示一些代数的恒等变形式.如平方差公式、完全平方公式.请小组内同学合作，根据要求用几何图形的面积验证一些因式分解的恒等变形式. 小结反思小结反思 1.必做题：活页必做题：活页P101-102课后作业课后作业2.选做题：选做题： 初中初中几何中的关键数学能力几何中的关键数学能力培养空间观念直观想象培养空间观念直观想象（变换）（变换）发展发展逻辑推理逻辑推理能力能力 (证明证明)数学六大核心素养数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析初中初中几何几何证明（图形性质证明）证明（图形性质证明）变换（图形及其性质的认识）变换（图形及其性质的认识） v几何几何语言言规范教学，培养学生范教学，培养学生识图、画、画图的能力的能力v符号符号书写写规范教学，培养学生范教学，培养学生逻辑推理的能力推理的能力v几何几何变式教学，培养学生式教学，培养学生创造性造性发散思散思维能力能力 三个阶段三个阶段新人教版九年级上新人教版九年级上 新人教版新人教版七七年级上年级上 名称名称线段段射射线直直线图形形端点端点个数个数长度度表示表示方法方法直线、射线、线段的联系和区别直线、射线、线段的联系和区别有两个端点有一个端点无端点有无无线段 AB（BA)或线段 直线 AB（BA）或直线射线AB或射线 1.下列给线段取名正确的是：下列给线段取名正确的是：( )（（A）线段）线段M (B)线段线段m （（C )线段线段Mn (D)线段线段mnB 2 2、如图，若射线、如图，若射线ABAB上有一点上有一点C,C,下列与射线下列与射线ABAB是同是同一条射线的是一条射线的是( )（（A)射线射线BA (B)射线射线AC (C )射线射线BC (D)射线射线CBA B CB【【做一做做一做 想一想想一想】】 3.用两种方式表示图中的两条直线：用两种方式表示图中的两条直线：oAB第一种第一种：直线：直线 AO，， 直线直线 BO第二种第二种：直线：直线 m ，， 直线直线 n【思考】O点和直线m、n有何位置关系？O点在直线m、n上，且是直线m、n的交点。
m(1)(1)直线直线EFEF经过经过点点O O；；（（2)2)点点A A在直线在直线m m外外；；4 4、、按下列语句画出图形按下列语句画出图形：： （（3 3））经过点经过点O O的三条线段的三条线段a a、、b b、、c c；；（（4 4））线段线段ABAB、、CDCD相交于点相交于点B BCBDA （（5）已知点）已知点O，，P，，Q, 画线段画线段PQ，射线，射线OP和直线和直线OQ思考思考】】点点O、、P、、Q和和直线直线OQ有何位置关系？有何位置关系？【【结论结论】】点点O、、Q 在在直线直线OQ上；点上；点P在在直线直线OQ外 5、判断下列说法是否正确：、判断下列说法是否正确：（（1)延长直线延长直线MN到点到点C （（ ）） (2)直线直线A与直线与直线B交于一点交于一点M （（ ）） （（3）三点确定一条直线（）三点确定一条直线（ ））（（4）无数条直线可能交于一点）无数条直线可能交于一点 （（ ））（（5）射线是直线的一半）射线是直线的一半 （（ ））错错错错错错错错对对 4 4.3.2.3.2角角的比较与运算的比较与运算新人教版新人教版七七年级上年级上 1、、角的大小的比较方法角的大小的比较方法2、、角的和与差的计算角的和与差的计算3、、三角板可拼出哪些角三角板可拼出哪些角4、、角平分线的角平分线的三种语言三种语言 CAOB像像OC这样，从一个角的这样，从一个角的顶点出发，把这个角分成顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫相等的两个角的射线，叫做这个做这个 .∵∵OC是是∠∠AOB的角平分线，的角平分线，∴∴角的平分线角的平分线或或或或符号语言符号语言图形语言图形语言文字语言文字语言 例例题题 如图，如图， O是直线是直线AB上一点，上一点，∠∠AOC = 54°，， （（1）求）求∠∠BOC的度数；的度数；A AB BO OC C变式变式1：：OE是是∠ ∠BOC的平的平分线，分线， 求求∠ ∠COE的度数；的度数； 例例题题 C CA AB BO OE ED D变式变式2：：OD、、OE分别是分别是∠ ∠AOC和和∠ ∠BOC的平分的平分线，线， 求求∠ ∠DOE的度数；的度数；变式变式3：：若若∠ ∠AOC= 82°,求求∠ ∠DOE的度数；的度数；变式变式4：：若若∠ ∠AOB= 160°, ∠ ∠AOC= 82°,求求∠ ∠DOE的度数；的度数；A AB BD DE EO OC C变式变式5：：若若∠ ∠AOB= 90°, ∠ ∠AOC= 18°呢？呢？变式变式6：：若若∠ ∠AOB=66° 在在教教学学中中应应当当有有意意识识、、有有计计划划地地培培养养学学生生的的直直觉觉思思维维能能力力，，并并把把直直觉觉思思维维与与逻逻辑辑思思维维有有机机地地结结合合起起来来，，培培养养归归纳纳推推理理、、演演绎绎推推理理和和类类比比推推理理能力。
能力符号书写规范教学，培养学生逻符号书写规范教学，培养学生逻辑推理的能力辑推理的能力 v注重几何注重几何语言的精准和言的精准和严密密v注重多元表征注重多元表征训练v注重注重转换能力培养能力培养 几何语言规范教学，培养学生识几何语言规范教学，培养学生识图、画图的能力图、画图的能力 §§11.3.211.3.2多边形的内角和（多边形的内角和（1 1））新人教版八年级上新人教版八年级上 今年学校改建，今年学校改建，准备重新设计并建造准备重新设计并建造一个花圃，小华同学一个花圃，小华同学提出问题：能否建一提出问题：能否建一个内角和为个内角和为2014度的度的多边形花圃？你能帮多边形花圃？你能帮助小华解答这个问题助小华解答这个问题吗？吗？ 猜猜想想填填空空：：多边形多边形每增加每增加一条边一条边,内角和内角和的度数的度数就增加就增加180°.多多边形形的的边数数图形形多多边形形内角和内角和34567n………180°360°540°720°900°(n-2) ·180 ° 求证：四边形的内角和等于360度探究1已知：四边形已知：四边形ABCDABCD，，求证：求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.∠A+∠B+∠C+∠D=360°.DACB 探究2 类比四边形内角和的证明方法，类比四边形内角和的证明方法，类比四边形内角和的证明方法，类比四边形内角和的证明方法，你能求出你能求出五边形、六边形和七边形的内角和各是多少五边形、六边形和七边形的内角和各是多少度吗？度吗？n边形呢？边形呢？ 多多边形形的的边数数图形形从一个从一个顶点引点引对角角线的条数的条数分成三角形分成三角形的个数的个数内角和内角和34567n……………01234n-31n-22345(n－－2) ·180°5 ×180°4 ×180°3 ×180°2×180°1 ×180° 180°360°540°720°900°(n-2) ·180 °猜猜想想填填空空：：多边形多边形每增加每增加一条边一条边,内角和内角和的度数的度数就增加就增加180°.多多边形形的的边数数图形形多多边形形内角和内角和34567n……… 根据以上的探讨，就得出了根据以上的探讨，就得出了多边形的内角和公式：多边形的内角和公式：n边形的内角和等于边形的内角和等于(n－－2)·180°( n≥3的整数的整数) （（1）八边形的内角和等于）八边形的内角和等于 度度. 十边形的内角和等于十边形的内角和等于 度度. 十三边形的内角和等于十三边形的内角和等于 度度.1、看谁算得快！、看谁算得快！108019801440（（2）一个多边形的内角和是）一个多边形的内角和是1800度，度， 求它是几边形？求它是几边形？ 前面提到小华同学的想法能实现吗？前面提到小华同学的想法能实现吗？ 2、例题讲解：、例题讲解：（课本例（课本例1 1改编）改编）解：解：∠∠B与与∠∠D互补，证明如下：互补，证明如下： 在四边形在四边形ABCD中，中， ∠∠A+∠∠B+∠∠C +∠∠D = (4-2) ×180°=360° ∵∵ ∠∠A+∠∠C=180° ∴∴ ∠∠B+∠∠D= 360°－－ (∠∠A+∠∠C)=180° 即即 ∠∠B与与∠∠D互补互补.A AB BC CD已知：在四边形已知：在四边形ABCDABCD中，如果中，如果∠A+∠C=180∠A+∠C=180º，，问问∠B∠B与与∠D∠D有什么关系？你能说明理由吗？有什么关系？你能说明理由吗？ 已知：在四边形已知：在四边形ABCDABCD中，如果中，如果∠A+∠A+∠C∠C=180=180º º，，问问∠B∠B与与∠D∠D有什么关系？你能说明理由吗？有什么关系？你能说明理由吗？变式变式1 1：：已知：在四边形已知：在四边形ABCDABCD中，如果中，如果∠A+∠A+∠B∠B=180=180º º，，问问∠C∠C与与∠D∠D有什么关系？你能说明理由吗？有什么关系？你能说明理由吗？A AB BC CD3、变式训练、变式训练 结论：结论：如果四边形中任意两个角如果四边形中任意两个角互补，那么其余两个角也互补互补，那么其余两个角也互补. .已知：在四边形已知：在四边形ABCDABCD中，如果中，如果∠A+∠A+∠C∠C=180=180º º，，问问∠B∠B与与∠D∠D有什么关系？你能说明理由吗？有什么关系？你能说明理由吗？变式变式1 1：：已知：在四边形已知：在四边形ABCDABCD中，如果中，如果∠A+∠A+∠B∠B=180=180º º，，问问∠C∠C与与∠D∠D有什么关系？你能说明理由吗？有什么关系？你能说明理由吗？3、变式训练、变式训练 变式变式2 2：：（（1 1）已知：在四边形）已知：在四边形ABCDABCD中，如果中，如果∠A=∠C∠A=∠C，， 问问∠B∠B与与∠D∠D有什么关系？你能说明理由吗？有什么关系？你能说明理由吗？A AB BC CD3、变式训练、变式训练已知：在四边形已知：在四边形ABCDABCD中，如果中，如果∠A+∠C=180∠A+∠C=180º º，，问问∠B∠B与与∠D∠D有什么关系？你能说明理由吗？有什么关系？你能说明理由吗？ 变式变式2 2：：（（1 1）已知：在四边形）已知：在四边形ABCDABCD中，如果中，如果 ∠A=∠C∠A=∠C，， 问问∠B∠B与与∠D∠D有什么关系？有什么关系？你能说明理由吗？你能说明理由吗？3、变式训练、变式训练（（2 2）已知：在四边形）已知：在四边形ABCDABCD中，如果中，如果∠A=∠C∠A=∠C，，ABAB∥ ∥CDCD，，求证：求证：∠B=∠D.∠B=∠D.DACB 变式变式3 3：： 已知：在四边形已知：在四边形ABCDABCD中，如果中，如果∠A=∠C∠A=∠C，，∠B=∠D∠B=∠D，， 请判断请判断ADAD与与BCBC的位置关系的位置关系. .那么那么ABAB与与CDCD的的位置关系位置关系又如何？又如何？DACB3、变式训练、变式训练变式变式2 2：： 已知：在四边形已知：在四边形ABCDABCD中，如果中，如果∠A=∠C∠A=∠C，， ABAB∥ ∥CDCD，，求证：求证：∠B=∠D.∠B=∠D.√√ 这节课我们主要探究了四边形内角和等于这节课我们主要探究了四边形内角和等于360°的方的方法以及推导出多边形的内角和公式法以及推导出多边形的内角和公式 (n－－2)·180°（（n≥3的整数）的整数）.2、你学习了哪些重要的数学思想方法？、你学习了哪些重要的数学思想方法？ 学到了学到了转化转化、一题多解、、一题多解、类比类比、数形结合、、数形结合、方程等数学方程等数学思想思想和方法和方法. 1、这节课你掌握了哪些新知？、这节课你掌握了哪些新知？ 12.2 三角形全等的判定三角形全等的判定( (二二) )新人教版八年级上新人教版八年级上 创设情景创设情景 因铺设电线的需要，要在池塘因铺设电线的需要，要在池塘两侧两侧A A、、B B处各埋设一根电线杆（如处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出图），因无法直接量出A A、、B B两点的两点的距离，现有一足够的米尺。
怎样测距离，现有一足够的米尺怎样测出出A A、、B B两杆之间的距离呢？两杆之间的距离呢？ 知识回顾 三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为（可以简写为“边边边边边边”或或“SSS”））DEFABC在在△△ABC和和△△ DEF中中∴∴ △△ABC ≌△≌△ DEF（（SSS）） AB=DE BC=EF CA=FD文字语言符号语言图形语言 做一做：做一做：先先任意任意画一个画一个△ △ABC，，再再画画出一出一个个△ △A'B'C'，使，使A'B'＝＝AB，，A'C'＝＝AC，，∠ ∠A'＝＝∠ ∠A把画把画好好的的△ △A'B'C'剪下来剪下来，放到，放到△ △ABC上上，，它们它们全等全等吗？吗？探究1 三角形全等判定方法三角形全等判定方法2 2用符号语言表达为：用符号语言表达为：在在△△ABC与与△△DEF中中AB=DE∠∠B=∠∠EBC=EF∴△∴△ABC≌△≌△DEF（（SAS）） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
形全等简写成简写成“边角边边角边”或或“SAS”DEFABC符号语言图形语言文字语言 分别找出各题中的全等三角形分别找出各题中的全等三角形ABC40° 40° DEF(1)△ABC≌△EFD △ABC≌△EFD 根据根据“SAS”“SAS”△ADC≌△CBA △ADC≌△CBA 根据根据“SAS”“SAS”(2)ADCB 已知已知: :如图，如图，AB=CBAB=CB，，∠ABD=∠CBD ∠ABD=∠CBD 求证：求证：△ABD≌△CBD△ABD≌△CBD例例1 1ABCD(SAS)分析分析:△ABD ≌△CBD△ABD ≌△CBD边边:角角:边边:AB=CB(已知已知)∠ABD=∠CBD(∠ABD=∠CBD(已知已知) )？？BD=BD(公共边公共边) 如图，如图，AB=CB AB=CB ，，∠ABD= ∠CBD ∠ABD= ∠CBD 求证：求证：AD=CDAD=CD变式变式1 1ABCD12证明线段相等或者角相等，常常通过证明它们证明线段相等或者角相等，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决是全等三角形的对应边或对应角来解决小结小结 ABCDE如图，如图， AB=AD，，∠∠ BAE= ∠∠ DAC ，， AE=AC,求证：求证：BC=DE变式变式2 2 如图，如图，AB=AD，，∠∠ BAE=∠∠DAC ，， AE=AC,求证：求证：BC=DEABCDE变式变式3 3 CABDE练习：练习：如图如图AD与与BE相交于点相交于点C，，CA=CD，，CB=CE，，求证：求证：△ △ACB≌△≌△DCE12 创设情景创设情景 因铺设电线的需要，要在池因铺设电线的需要，要在池塘两侧塘两侧A A、、B B处各埋设一根电线杆处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出（如图），因无法直接量出A A、、B B两点的距离，现有一足够的米尺。
两点的距离，现有一足够的米尺怎样测出怎样测出A A、、B B两杆之间的距离呢两杆之间的距离呢？？ 小明的设计方案：先在池塘旁取小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达一个能直接到达A A和和B B处的点处的点C C，连结，连结ACAC并延长至并延长至D D点，使点，使AC=DCAC=DC，连结，连结BCBC并并延长至延长至E E点，使点，使BC=ECBC=EC，连结，连结CDCD，用米，用米尺测出尺测出DEDE的长，这个长度就等于的长，这个长度就等于A A，，B B两点的距离两点的距离 以以3cm，，5cm为三角形的两边，长度为为三角形的两边，长度为5cm的边所对的角为的边所对的角为4040°°，情况又怎样？，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？动手画一画，你发现了什么？结论：结论：两边及其一边所对的角相等，两边及其一边所对的角相等，两个三角形两个三角形不一定不一定全等全等探究2DEF40°3cm5cmBC5cm3cmA40° 课堂小结课堂小结:1. 用尺规作图：已知两边及其夹角作三角形用尺规作图：已知两边及其夹角作三角形2. 利用三角形两边和它们的夹角对应相等判定两利用三角形两边和它们的夹角对应相等判定两个三角形全等个三角形全等 (边角边边角边或或SAS)3、证明线段相等或者角相等，常常通过证明它们是、证明线段相等或者角相等，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决全等三角形的对应边或对应角来解决 重视基本构图形成单元知识块重视基本构图形成单元知识块ABCD①①ABCDEABCDE②③ABCDE④ABCDE⑤ABCD⑥ABCD⑦数学建模数学建模 重视基本构图形成单元知识块 在在课堂堂中中教教师根根据据教教学学内内容容精精心心设计例例题及及一一些些变式式题组可可以以起起到到事事半半功功倍倍的的作作用用。
利利用用变式式教教学学可可以以展展示示知知识的的发生生过程程，，促促进知知识的的迁迁移移，，同同时能能提提高高学学生生学学习积极极性性，，培培养养参参与与意意识，，还能能沟沟通通知知识的的内内在在联系系，，促促进知知识网网络的形成，培养的形成，培养创造性思造性思维几何变式教学，培养学生创造性发散思维能力几何变式教学，培养学生创造性发散思维能力 O新人教版八年级下新人教版八年级下例例3 如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD的对角线的对角线AC与与BD相相交于交于O点，点，E、、F是是AC上的两点，并且上的两点，并且AE=CF.求证：四边形求证：四边形BFDE是平行四边形是平行四边形. 变式二：变式二：若若E、、F不是不是OAOA、、OCOC的的中点，中点，改为改为AE= AO,CF= CO.求证：四边形求证：四边形BFDE为平行四边形为平行四边形.变式变式一一：：若若AE=CFAE=CF改为改为E E、、F F分别是分别是OAOA、、OCOC的中点的中点. .求证：四边形求证：四边形BFDE为平行四边形为平行四边形. 变式三变式三: 变式五变式五：如图：如图2 2，， ABCD，， 点点E在在 上，点上，点F在在上且上且AE=CF，，四边形四边形BFDE还还是平行四边形吗？是平行四边形吗？ABDC 变式四变式四( (例例4)4)：如图：如图1 1，， ABCD，， 点点E在在AD上，点上，点F在在BC上且上且AE=CF，，四边形四边形BFDE还还是平行四边形吗？是平行四边形吗？图图1图图2 变式变式六六:若若E、、F、、G、、H分别分别是是AO、、BO、、CO、、DO的中的中点，以图中的点为顶点，尽点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形？可能多地画出平行四边形？ 重视基本构图形成单元知识块重视基本构图形成单元知识块 九年级数学下册（RJ）新人教版新人教版九九年级年级下下 相似三角形相似三角形定义定义判定判定应用应用性质性质三个角分别相等，三个角分别相等，三条边成比例的三条边成比例的两个三角形叫做两个三角形叫做相似三角形相似三角形.1.预备预备定理定理4.三边三边成比例的两个三角成比例的两个三角形相似；形相似；3.两边两边成比例且成比例且夹角夹角相等相等的两个三角形相似；的两个三角形相似；2.两角两角分别相等的两个三分别相等的两个三角形相似角形相似.2.相似三角形的相似三角形的对应对应线段的比线段的比等于相似比等于相似比;3.相似三角形的周长相似三角形的周长的比等于相似比的比等于相似比;4.相似三角形的相似三角形的面积面积的比的比等于相似比的等于相似比的平方平方.构造相似三角形构造相似三角形 解决实际问题解决实际问题思维导图思维导图1.相似三角形的对应相似三角形的对应角相等，对应边成比例角相等，对应边成比例; 课堂练习课堂练习1.（2017•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（ ） A． B．C．D．B基本图形：基本图形：A字型字型 2.（2017•新化县二模）如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（ ） A．1：2B．1：4C．1：3D．2：3B基本图形：基本图形：A字型字型 3.（2017•西华县三模）如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，若AD=2，AE=3，CE=1，则BD的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6B基本图形：反基本图形：反A字型字型 4.（2017•岳池县模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且==，则S△ADE：S四边形BCED的值为（ ） A．1B．1：3C．1：8D．1：9C基本图形：反基本图形：反A字型字型 5．（2016•玄武区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在BC、AC上，且DC=DE．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若AB=5，AE=1，DE=3，求BC的长．基本图形：反基本图形：反A字型字型 EE6.基本图形：基本图形：A字型和反字型和反A字型字型 基本图形：基本图形：8字型字型7.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ） A．3：4B．9：16C．9：1D．3：1B 基本图形：反基本图形：反8字型字型D8.（2017•和平区模拟）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF. 若=，则的值为（ ） A．B．C．1D． 基本图形：基本图形：A字型字型 常见的相似基本图形常见的相似基本图形学会从复杂图形中找出相似的学会从复杂图形中找出相似的基本图形基本图形是解决问题的关键。
是解决问题的关键A字型反A字型8字型反8字型 重视基本构图形成单元知识块重视基本构图形成单元知识块 24.1.4 圆周角圆周角新人教版新人教版九九年级上年级上 初三数学总复习专题初三数学总复习专题 ☞资讯：资讯：20142014年在我省年在我省9 9个地市的中个地市的中考学业考卷中，有多个地考学业考卷中，有多个地市的压轴题与市的压轴题与K K字形字形这个基这个基本图形有关，本图形有关，运用运用K K字形字形编编制成考题已成为高频考点制成考题已成为高频考点之一．之一． 一、复一、复习引入引入ABCDP教材八年级上册第教材八年级上册第47页第页第2题题 二、探究论证二、探究论证AB= =AC=9=9，，BC=15=15，，变式变式1.1.∠∠APD=∠=∠B则则CD= = . .如图，如图，等边三角形等边三角形ABC的边长为的边长为9，，点点P，， D分别在边分别在边BC，， AC上，上，且且BP=3，，若若∠∠APD=60°，，则则CD= . 二、探究论证二、探究论证变式变式2.2.变式变式3.3. 1.1.（（20122012成都）请找出隐藏在图中的基本成都）请找出隐藏在图中的基本图形，并用红笔描出来图形，并用红笔描出来三、巩固练习三、巩固练习 2.2.如图，如图，∠∠A=∠=∠BEF=∠=∠D, , AB=AD=6，， 则则FC= =________．． 三、巩固练习三、巩固练习C变式变式1.1.延长延长DF至至C，使得，使得DC=6,=6,连连BC变式变式2.2.求求AE·ED的值的值设点设点E,F分别分别为为AD，， DC上的动点上的动点若若AE= = 2 2，则，则DF =______.=______. （（20132013福州第福州第2121题）题）如图，等腰梯形如图，等腰梯形ABCD中，中，AD∥∥BC，，∠∠B=45=45°°，，P是是BC边上一点，边上一点，△△PAD的面积的面积为，设为，设AB= =x，，AD= =y（（1 1）求与的函数关系式；）求与的函数关系式；（（2 2）若）若∠∠APD=45=45°°，当时，求，当时，求PB• •PC的值；的值；（（3 3）若）若∠∠APD=90=90°°，求的最小值。
求的最小值变式变式3.3.C 3.3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-=-x+ +b( (b b为常数为常数) )的的图象与图象与x轴、轴、y轴分别相交于点轴分别相交于点A、、B；半径为；半径为5 5的的⊙ ⊙O与与x轴正半轴正半轴相交于点轴相交于点C，与，与y轴相交于点轴相交于点D、、E，点，点D在点在点E上方上方. .（（1 1））若若F为为 上异于上异于C、、D的点，线段的点，线段AB经过点经过点F. .①①直接写出直接写出∠∠CFE的度数；的度数； ②②用含用含b b的代数式表示的代数式表示FA··FB；； 四、课堂小结四、课堂小结特殊特殊一般一般1.1.从从数数上看上看——“——“一线三等角一线三等角””2.2.从从形形上看上看——“——“K””字形字形数数形形结结合合建模思想建模思想类比思想类比思想转换思想转换思想结论：结论：△△ABP∽△∽△PCD 教学寄予教学寄予v以以兴兴趣趣为为起点，起点，让让学生更喜学生更喜欢欢数学数学v以理解以理解为轴为轴心，心，让让数学数学变变得更容易得更容易v以以素养素养为为目目标标，，让认识变让认识变得更高度得更高度 感感谢您的您的倾听和参与！听和参与！ 。