二元函数及连续偏导数可微之间及关系

目 录摘要……………………………………………………………………………………………1关键词…………………………………………………………………………………………1Abstract………………………………………………………………………………………1Key words……………………………………………………………………………………1引言……………………………………………………………………………………………11 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义……………………………………………12 二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系………………………………………22.1 二元函数连续与偏导数存在之间的关系………………………………………………22.2 二元函数连续与可微之间的关系………………………………………………………32.3 二元函数可微与偏导数存在之间的关系………………………………………………32.4 二元函数可微与偏导数连续之间的关系………………………………………………4二元函数连续、偏导数、可微的关系图………………………………………………………6参考文献………………………………………………………………………………………7致谢……………………………………………………………………………………………8本科生毕业论文2二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性.关键词 二元函数 连续 偏导数 可微The Relationship among Continuation, Partial Derivatives and Differentiability in Binary FunctionAbstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common..Key words binary function continuation partial derivatives differentiability引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系.1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义定义 1 设 为定义在点集 上的二元函数， （ 或者是 的聚点，f2DR0DP0或者是 的孤立点） ，对于任给的正数 ，总存在相应的正数 ，只要D，就有 ，则称 关于集合 在点 连续.0,)(PU0)||(fPf0定义 2 设函数 ，若 且 在 的某一邻域,zxy0,)(yx,)(yfx内有定义，则当极限 存在时，则称这个0 00()limlixxff本科生毕业论文3极限为函数 在点 关于 的偏导数，记作 .f0,)(yxx0(,)|xyf定义 3 设函数 在点 某邻域 内有定义，对于 中的,zf0,)(yPUP0()UP点 ，若函数 在点 处的全增量可表示为00,)(,)yPxyxf，其中 、 是仅与点 有关0(, ()AzffxByAB0的常数， 是较 高阶的无穷小量，则称函数 在点 处可微.2,)xy fP2 二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系2.1 二元函数连续与偏导数存在之间的关系例 在 偏导数存在但不连续.[1]2,()0,(,)0xyf(,)证明 因为 ，00(,),(,)limlimxx xfff同理可知 . 所以 在 偏导数存在.0,yf,fy(,)因为 极限不存在，所以 在 不连续.20,limxy,fx(0,)例 在 点连续，但不存在偏导数.[] 2(,)fxy(0,)证明 因为 ，20, 0,li,lim0(,)xyxyf f所以 在 点连续，2(,)f()因为 ,该极限不存在，200(,),,limlixx xfff同理 也不存在.(,)yf所以 在点 连续，但不存在偏导数.2,xy(0,)此二例说明: 二元函数连续与偏导数存在不等价，偏导数存在不一定连续，连续不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中，可导一定连续，连续不一定可导.2.2 二元函数连续与可微之间的关系本科生毕业论文4定理 若 在点 可微，则 在点 一定连续.1[3](,)zfxy(,)(,)zfxy(,)证明 在点 可微，(1)000)(,)(, ()AzfxyfxyBy所以 当 时，有 ，即 在该点连续.,z,zfx例 证明 在 点连续，3[4] 2,()0,(,)0,xyf(,)但在 点不可微.(0,)证明 令 ，则 .cos,inxryr(,)0xyr因为 ,22|||cosi|()y所以 在 点连续.(,)fx0,按偏导数定义 ,0 0(,)(,)(,)limlimxx xfffx同理 .(0,)yf若 在点 可微，则,x(,) 2(0,(0,)(,)(0,)xyxyzdfyfff应是 较高阶的无穷小量.2x因为 该极限不存在,所以 在点 不可微.200limlizdxy(,)fxy(0,)此例说明: 二元函数在某点连续，不一定可微，但可微一定连续.这与一元函数有相同的结论.2.3 二元函数可微与偏导数存在之间的关系定理 若二元函数 在其定义域内一点 处可微，则 在该点关于每个2[5] f 0,)(yxf本科生毕业论文5自变量的偏导数都存在，且(1)式中的 .00,),)((xyAfBfx证明 因为 在点 可微，则(,)zfxy(,).000(, ()zfxxy若令上式中 ,则 ,y00(,),(|)zffAx所以 .000()(|)limlimx xfxy即 .类似可证 .AzBz例 设 ,则 在点 偏导数存在，但在该4[6] 22,0(,)0xyf(,)fxy(0,)点不可微.解 事实上（1） ，0(,)(,0)(,)limxxfff,0,,,liyyfff故 在点 偏导数存在.(,)fxy(0,)（2）因为 ，2300,limli()xyfdxy此时若令 ，则 ，ykx2 33 20, 0,li lim()|(1)xy xykx此极限显然不存在，所以 不存在，0limfd所以 在点 不可微.(,)fxy(,)此例说明: 二元函数中，偏导数存在不一定可微；可微则偏导数存在.这与一元函数中，可微与可导等价有区别.2.4 函数可微与偏导数连续之间的关系定理 若二元函数 的偏导数在点 的某邻域内存在，且 与3[7] (,)zfxy0(,)xyxf本科生毕业论文6在点 处连续，则函数 在点 处可微.yf0(,)xf0(,)xy证明 我们把全增量 00,(,)fxyz000 0[,),)][,(,)]((yyfxyfxfx在第一个括号里，它是函数 关于 的偏增量;在第二个括号里，则是函数0,关于 的偏增量.0(,)fxy对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理，得 （2）01002,),(()x yyzfxfy12,0由于 与 在点 处连续，xy因此有 ， （3） 0100,)(,)(x xyyff, （4）2,,yy其中 当 时，有 .,x,将（3） ， （4）代入（2）式，则得 .00(,)(,)xyxzffxy所以 函数 在点 处可微.例 在 处可微，但 与5[8] 221()sin,()0,(,)0,xyxyf (,)(,)xfy均在 处不连续.(,)yfx(,)解 因为 ,220, 1lim)sin0()xy fxy所以 在 处连续.(,)f,,22001sin(,)(,)(,)limlm0xx xfff本科生毕业论文7同理 .(0,)yf当 时， 极限不存在,2x2220, 11limsincosxxy xfyy故 在点 不连续. 同理可证 在 处不连续.(,)xfy(,)(,)yf0,,22001sinlimlixyxfd所以 在 处可微.(,)fxy,此例说明 二元函数偏导数连续并不是可微的必要条件.由此可知定理 3 是可微的充分条件.由此引出定理 4，降低函数可微的条件.定理 若 在 内 存在，且 在 连续，4[9] (,)fxy0()UP(,)xfy(,)xfy0(,)oPxy在 存在，证明： 在 可微.(,)yfx0P证明 000(,)(,)fxyfxy00[,,][(,)(,)]fxyfxy由已知 存在，且在 连续,(,)xfy0()oxy有 00 010,,(,)xffyx,1,)(x因为 ，000(,)(,)lim(,yyfxyfxf所以 ，0002(,)(,),)(0)yfffy又因 ，所以 在点 可微.1212|||xyf0P注 此定理中 与 互换，结论仍然成立.(,)xf(,)yfx二元函数连续、偏导数、可微的关系如图二元函数连续 二元函数偏导数存在本科生毕业论文8二元函数可微二元函数偏导数连续参考文献[1]常庚哲，史济怀，数学分析[M].北京：高等教育出版社，2003.6：97[2]刘文灿，刘夜英，数学分析[M].西安：陕西人民出版社，2004.9：116[3]朱正佑，数学分析[M].上海：上海大学出版社，2001.7：188[4]黄玉民，李成章，数学分析[M].北京：科学出版社，1995.5：61-62[5]华东师范大学数学系. 数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，110[6]周良金，王爱国，函数连续及可微的关系[J].高等函授学报 2005.10，19（5）：35[7]陈纪修，於崇华，金路，数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.10：142-143[8]刘新波，数学分析选讲[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.3：151[9]《大学数学名师导学丛书》编写组，数学分析名师导学[M].北京：中国水利水电出版社，2004：147-148 致谢感谢老师对本论文从选题、构思、资料收集到最后定稿的各个环节给予的指引和教导，使我对分段函数的分析性质有了更深刻的认识，并最终得以完成毕业论文，对此我表示衷心的感谢，老师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益。