安培环路定理表述和证明安培环路定理表述和证明•表述：表述： –磁磁感感应应强强度度沿沿任任何何闭闭合合环环路路L L的的线线积积分分，，等等于于穿过这环路所有电流强度的代数和的穿过这环路所有电流强度的代数和的 0 0倍倍闭合环路闭合环路L的绕行方向！的绕行方向！7/24/20241安培环路定理 安培环路定理的微分形式安培环路定理的微分形式•利用斯托克斯定理微分形式微分形式n说明说明B的旋度不为零的旋度不为零——有旋场有旋场7/24/20242安培环路定理 安培环路定理应用举例安培环路定理应用举例•无限长圆柱形载流导体磁场无限长圆柱形载流导体磁场•载流长直螺线管内的磁场载流长直螺线管内的磁场•载流螺绕环的磁场载流螺绕环的磁场 7/24/20243安培环路定理 无限长圆柱形载流导体磁场无限长圆柱形载流导体磁场•导线半径为导线半径为R，电流，电流I均匀地通过均匀地通过横截面横截面•轴对称轴对称•取环路：分两种情况取环路：分两种情况 电流电流密度密度7/24/20244安培环路定理 载流长直螺线管内的磁场载流长直螺线管内的磁场•密绕密绕，，L>>R，，忽略螺距；忽略螺距； •B是轴矢量，垂直于镜面是轴矢量，垂直于镜面 ；；•论证管外论证管外B=0B=0–管外即使有磁场也是沿轴向的；管外即使有磁场也是沿轴向的；–作回路如作回路如a，可以证明，可以证明p 点点B=0;•求管内任意求管内任意P点的磁场点的磁场0B△t无穷远处无穷远处磁场为磁场为07/24/20245安培环路定理 载流螺绕环的磁场载流螺绕环的磁场•密绕，密绕，匝数：匝数：N，，电流电流：：I•利用利用B是轴矢量的特征分析是轴矢量的特征分析场的对称性：场的对称性：–磁感应线与环共轴磁感应线与环共轴nR>>d形式上与无限长螺形式上与无限长螺线管内磁场一样线管内磁场一样7/24/20246安培环路定理 例题：例题： •一一根根半半径径为为R R的的无无限限长长圆圆柱柱形形导导体体管管，，管管内内空空心心部部分分半半径径为为r r，，空空心心部部分分的的轴轴与与圆圆柱柱的的轴轴平平行行，，但但不不重重合合，，两两轴轴间间距距为为a a，，且且a>>ra>>r，，现现有有电电流流I I沿沿导导体体管管流流动动电电流流均均匀匀分分布布，，电流方向如图求：电流方向如图求：–洞内的洞内的B B–洞中心洞中心O’O’及大圆柱内一点的及大圆柱内一点的B B•在在哪哪些些情情况况下下可可以以用用安安培培环环路路定定理理求求B？？7/24/20247安培环路定理 Hour two: selected topics 7/24/20248安培环路定理 磁力磁力•安培力安培力•叠加原理叠加原理计计算算各各种种载载流流回回路路在在外外磁磁场场作作用用下下所所受的力受的力n平行无限长直导线间的相互作用平行无限长直导线间的相互作用 7/24/20249安培环路定理 磁力矩磁力矩(一）一）•在均匀磁场中在均匀磁场中•刚性矩形线圈刚性矩形线圈————不发生形不发生形变；变；•合力合力=0=0，，合力矩＝？合力矩＝？ 磁矩磁矩 m7/24/202410安培环路定理 磁力矩磁力矩(二）二）•在均匀磁场中在均匀磁场中•任意形状线圈任意形状线圈•将线圈分割成若干个小窄条将线圈分割成若干个小窄条•小线圈所受力矩小线圈所受力矩 dLdL 总力矩总力矩n若线圈平面与磁场成任意角度，则可将若线圈平面与磁场成任意角度，则可将B B分解成分解成7/24/202411安培环路定理 结论：： •线圈的磁矩线圈的磁矩•所受的力矩所受的力矩 磁矩的方向磁矩的方向7/24/202412安培环路定理 两线圈电流方向相反：两线圈电流方向相反：相互排斥相互排斥7/24/202413安培环路定理 两线圈电流方向相同：两线圈电流方向相同：相互吸引相互吸引7/24/202414安培环路定理 洛仑兹力洛仑兹力 •实验证明：运动电荷实验证明：运动电荷在磁场中受力在磁场中受力 n洛仑兹力做功吗？洛仑兹力做功吗？n洛仑兹力与安培力的关系？洛仑兹力与安培力的关系？7/24/202415安培环路定理 洛仑兹力与安洛仑兹力与安培力的关系培力的关系 •电子数密度为电子数密度为n，漂移速度，漂移速度u•dl内内总电子数为总电子数为N=nSdl，•每个电子受洛仑兹力每个电子受洛仑兹力f•N个个电电子子所所受受合合力力总和和是是安安培培力力吗? ? n洛伦兹力洛伦兹力f 作用作用在金属内的电子上在金属内的电子上n安培力安培力 作用作用在导体金属上在导体金属上作用在不同作用在不同的对象上的对象上n自自由由电电子子受受力力后后，，不不会会越越出出金金属属导导线线，，而而是是将将获获得得的冲量的冲量传递传递给金属晶格骨架，使骨架受到力给金属晶格骨架，使骨架受到力 7/24/202416安培环路定理 证明：证明：骨架受到骨架受到的冲力的冲力电子受洛仑电子受洛仑兹力的合力兹力的合力n先说明导线中自由电子与宏观电流先说明导线中自由电子与宏观电流I I的关系的关系n自自由由电电子子做做定定向向运运动动，，漂漂移移速速度度u，，电电子子数数密密度度为为nn电流强度电流强度I：：单位时间内通过截面的电量单位时间内通过截面的电量n则则在在t时时间间内内，，通通过过导导体体内内任任一一面面元元S迁迁移移的的电电量为量为电流电流j电流电流密度密度7/24/202417安培环路定理 •N个电子所受合力个电子所受合力总和和大小大小I n传传递递机机制制可可以以有有多多种种，，但但最最终终达达到到稳稳恒恒状状态态时时，，如如图图导导体体内内将将建建立立起起一一个个大大小相等方向相反的小相等方向相反的横向电场横向电场E（（霍尔场）霍尔场）n电子受力：洛伦兹力电子受力：洛伦兹力f ，， n E的作用力的作用力f'n带正电的晶格在电场中受到带正电的晶格在电场中受到f" nf"————与电子所受洛伦兹力与电子所受洛伦兹力f方向相同方向相同 n安培力是晶格所带电荷受力安培力是晶格所带电荷受力f"的的总和总和 结结论论：：安安培培力力是是电电子子所所受受洛洛伦伦兹兹力力的宏观表现的宏观表现 N=nSl7/24/202418安培环路定理 在均匀磁场中的运动在均匀磁场中的运动 不受力不受力 粒子作匀速直线运动粒子作匀速直线运动 粒子作匀速圆周运动粒子作匀速圆周运动 荷荷质质比比粒子作螺旋线粒子作螺旋线 7/24/202419安培环路定理 带电粒子在非均匀磁场中的运动带电粒子在非均匀磁场中的运动•如图正带电粒子处于磁感应线所在位置如图正带电粒子处于磁感应线所在位置，， v B ；；•此时，粒子受洛仑兹力此时，粒子受洛仑兹力F B，，F=F||+F •F 提供向心力，提供向心力，F||指向磁场减弱的方向指向磁场减弱的方向•粒子也将作粒子也将作螺旋运动螺旋运动，但，但并非等螺距并非等螺距，回旋半径，回旋半径也会改变也会改变回旋半径回旋半径因磁场增因磁场增强而减小，强而减小，同时，还同时，还受到指向受到指向磁场减弱磁场减弱方向的作方向的作用力用力回旋半径回旋半径因磁场减因磁场减弱而增大，弱而增大，同时，还同时，还受到指向受到指向磁场减弱磁场减弱方向的作方向的作用力用力v B7/24/202420安培环路定理 涉及到带电粒子在电磁场中运动的问题涉及到带电粒子在电磁场中运动的问题•荷质比的测定荷质比的测定 •磁聚焦磁聚焦 •回旋加速器回旋加速器•等离子体的磁约束等离子体的磁约束•地磁场地磁场•霍耳效应霍耳效应7/24/202421安培环路定理 荷质比的测定荷质比的测定 •1897年年J.J.Thomson 做做测测定定荷荷质质比比实实验验时时，，虽虽然然当当时时已已有有大大西西洋洋电电缆缆，，但但对对什什么么是是电电尚尚不清楚，有人认为电是以太的活动。
不清楚，有人认为电是以太的活动•在剑桥卡文迪许实验室从事在剑桥卡文迪许实验室从事X X射线和稀薄气射线和稀薄气体放电的研究工作时，体放电的研究工作时，通过电场和磁场对阴通过电场和磁场对阴极射线的作用极射线的作用，得出了这种射线不是以太波，得出了这种射线不是以太波而是物质的质粒的结论，测出这些质粒的荷而是物质的质粒的结论，测出这些质粒的荷质比质比( (电荷与质量之比）电荷与质量之比）7/24/202422安培环路定理 讨论讨论•第一次发现了电子，是具有开创性的实验第一次发现了电子，是具有开创性的实验–发现该荷质比约比氢离子荷质比大发现该荷质比约比氢离子荷质比大1000倍倍–用不同的金属做实验做出来比值一样用不同的金属做实验做出来比值一样–说说明明带带电电质质粒粒是是比比原原子子更更小小的的质质粒粒，，后后来来这这种质粒被称为电子，种质粒被称为电子，•1909年年，，Milikan测测电电荷荷，，发发现现各各种种各各样样的的电电荷荷总总是是某某一一个个值值的的整整数数倍倍——发发现现电电子量子化子量子化•1904年年Kaufmann发现发现荷荷质比随速度变化质比随速度变化，，那么究竟是荷还是质随速度变化？那么究竟是荷还是质随速度变化？ 7/24/202423安培环路定理 荷变还是质变？荷变还是质变？•荷随速度变化荷随速度变化 ？否！？否！–对电中性物质加热，电子速度的变化会破坏电中性对电中性物质加热，电子速度的变化会破坏电中性————实际没有实际没有•应该是质随速度变化应该是质随速度变化 •荷质比测量的意义荷质比测量的意义–电子是第一个被发现的基本粒子电子是第一个被发现的基本粒子 –搞清楚什么是电搞清楚什么是电 –发现了速度效应发现了速度效应 提供狭义相对论的重要实验基础提供狭义相对论的重要实验基础•现代实验测量电子的荷质比是现代实验测量电子的荷质比是 7/24/202424安培环路定理 霍耳效应霍耳效应 •经典霍耳效应经典霍耳效应 –1879年德国物理学家年德国物理学家Hall发现的发现的 •量子量子Hall效应效应 –1980年，德国物理学家年，德国物理学家冯冯.克利青克利青（（Von Klitzing）发现）发现 •分数量子分数量子Hall效应效应 –1982年，普林斯顿大学的美籍华裔教授崔琦和年，普林斯顿大学的美籍华裔教授崔琦和Stoemer 发现发现7/24/202425安培环路定理 作业：作业：7/24/202426安培环路定理 7/24/202427安培环路定理 。