第三章 矩阵的标准形与若干分解形式-1 第三章 矩阵的标准形与假设干分解形式§1 矩阵的相像对角形一、学问回忆1．线性变换在两组基下的矩阵相像，相像变换矩阵是两组基下的过渡矩阵 2．特征值与特征向量，特征子空间V?及其维数，特征值的代数重数与几何重数 3．矩阵与对角形相像的充要条件：有n 个线性无关的特征向量 4．矩阵与对角形相像的充分条件：有n 个不同的特征值 假设A为n阶矩阵，矩阵???a11??a21??E?A??????an1?a12???a1n???a2n? ?????ann???a22??an2?称为A的特征矩阵又多项式 f(?)?|?E?A|???a1?nn称为A的特征多项式，这里a1???aii??trA，an?(?1)|A|，ai是A的全部i阶主子nn?1???ai?n?i???ani?1式的和与(?1)i的乘积trA叫A的迹属于矩阵A的同一个特征值?0的全部特征向量连同零向量一起，构成一个线性空间V?0，称为A的特征子空间特征子空间V?0的维数不超过特征根?0的重数 二、找寻矩阵的相像对角形的方法 例3-1 探究以下矩阵是否能与对角形相像 ?5?(1) A??1???1602?3??1??1，(2) A?2????1???22122??3??2，(3) A??4???1??4?1?1?80??0。
??2??提示：(1) ?1?2,?2?1?3,?3?1?3；??1??3??3???????x1?1,x2??1,x3??1；??????????0???2?3???2?3????2?P?1???03?12?3???1，P?1?2?3??3???1?13???3?2?13??3?21?1??3233233?0??3? ?6?3??6???1??3??3????????1,x3??1(2) ?1??2??1,?3?5；x1?1,x2?；??????????0???2?3???2?3???1?P?0????11??21???111；P??1??3??11???10?121?1???1 ?1??〔3〕 ?1??2?1,?3??2；?1的特征子空间是一维的；不存在三个线性无关的特征向量4?例3-2 设A??3????36?5?60??0，求A的相像对角形及A101 ?1??§2 矩阵的约当标准形当矩阵A?(aij)?Cn?n不能和对角形矩阵相像时，能否找到一个构造比拟简洁的分块对角矩阵和它相像呢？当我们在复数域C内考虑这个问题时，这样的矩阵的确是存在的，这就是约当〔Jordan〕形矩阵，称之为矩阵A的约当标准形。
定义 假设数域P上多项式f(?),q(?),g(x)满意f(?)?q(?)g(?)，那么称g(?)整除f(?)，记为g(?)|f(?)定义3－1 设f(?),g(?)是P上多项式，假如存在P上多项式d(?)满意 〔1〕d(?)|f(?)，d(?)|g(?)〔即d(?)可以整除f(?),g(?)〕；〔2〕假设有P上多项式d1(x)，d1(?)|f(?)，d1(?)|g(?)，那么有d1(?)|d(?)，那么称d(?)是f(?),g(?)的一个最大公因式，记(f(?),g(?))表示首项系数为1的最大公因式三个多项式f(?),g(?),h(?)的最大公因式(f(?),g(?),h(?))可定义为((f(?),g(?)),h(?))1．行列式因子 设A?(aij)?Cn?n，?E?A是A的特征矩阵，记为A(?)定义3－2 A(?)中全部非零的k阶子式的首项〔最高次项〕系数为1的最大公因式 Dk(?)称为A(?)的一个k阶行列式因子〔k?1,2,?,n〕 Dn(?)?|?E?A|，并且Dk?1(?)|Dk(?)〔k?2,3,?,n〕例3－3 求以下矩阵的特征矩阵的行列式因子： ??1?〔1〕A?????a??1??；〔2〕A???2??????? ??a?1???12．不变因子，初等因子 定义3－3 以下n个多项式 d1(?)?D1(?)，d2(?)?D2(?)D1(?)D3(?)D2(?)Dn(?)Dn?1(?)，d3(?)?，…，dn(?)?称为A(?)的不变因子。
把每个次数大于零的不变因子分解为互不一样的一次因式的方幂的乘积，全部这些一次因式的方幂〔一样的必需按出现次数计算〕，称为A(?)的初等因子由于这里的A(?)??E?A完全由A确定，所以这里A(?)的不变因子及初等因子也常称为矩阵A的不变因子及初等因子 例3－4 求以下矩阵的不变因子及初等因子??1?〔1〕A???????1???；〔2〕A?0??????22??2122?20??0 ??1???a?例3－5 设?????ba?????〔各个b?0〕，求A的初等因子 i?b??a?3．约当标准形设矩阵A 的全部初等因子为：????1?1,????2?2,?,????s?s相对于每个初等kkkk因子????i?i构造一个ki 阶的Jordan矩阵块：??i?1Ji????????,i?1,?,s ???i??i??1由全部这些Jordan块构成的对角矩阵?J1?J???????? ??Js?J2?称为矩阵 A 的Jordan形矩阵，或A 的约当标准形定理3－4 每个n阶复数矩阵A都与一个约当形矩阵J相像 P?1AP?J；除去约当块的排列次序外，约当形矩阵J是被矩阵A唯一确定的这个定理用线性变换的语言来说就是：设T是复数域上n维线性空间V的线性变换，那么在V中必定存在一个基，使T在这个基下的矩阵是约当形矩阵；除去约当块的排列次序外，这个约当块矩阵是被T唯一确定的。
推论 复数矩阵A与对角形矩阵相像的充要条件是A的初等因子全为一次因式 留意：由于|?E?A|?|?E?J|?|?E1?J1|?|?E2?J2|???|?Es?Js| ?(???1)(???2)k1k2?(???s)ks s所以约当形矩阵J的主对角线上的元素?1,?2,?,?s全为A的特征值，并且?ki?n但i?1i?j时可能有?i??j，故?i不必须是A的ki重特征根，故一般由矩阵的特征多项式不能写出矩阵的约当形矩阵2?例3－6 求矩阵A?2????1?1?11?1???2的Jordan标准形及所用的矩阵P ?2??1??1??2?0?????2???010??2??2?2???4??3??0 ???2?解： 〔1〕?E?A??2???1?1??0???00??1?10??1??1??10??0?2????1????? ?1???12?所以 A 的初等因子为??1,???1?，故 A 的Jordan标准形为J????11〔2〕设P??x1,x2,x3?由P?1AP?J，得A?x1,x2,x3???x1,x2,x3?J， 即?x3,x3?于是有?Ax1,Ax2,Ax3???x1,x2?E?A?x1???E 〔1〕?A?x2??x3 〔2〕 ?A?x3?? 〔3〕TT?E方程组〔1〕、〔3〕的根底解系为：e1??1,1,0?,e2??1,0,1?。
取x1??1,1,0?，而x3?c1e1?c2e2??c1?c2,c1,c2?为使〔2〕有解，选择c1, c2 的TT值是下面两矩阵的秩一样： ??1?E?A??2???112?11??2,??1????1??2???1T12?112?1c1?c2??c1，?c2??T的c1=2, c2=-1所以x3??1,2,?1?将所求的x3代入方程〔2〕并解之得：x2??1,1,1?1?易证x1,x2,x3线性无关P?1???0?4?例3－7 求矩阵A??3????36?5?61??2111??0??0特征多项式、初等因子及约当标准形 ??1??1 解 易得A的特征多项式为f(?)?|?E?A|?(??1)(??2)2并且可以求得不变因子为d1(?)?1，d2(?)???1，d3(?)?(??1)(??2)故初等因子为??1，??1，??2因此约当标准形为对角形矩阵?1?J?????? ??2?? 1?dx1?dt??x1?x2?dx?2??4x1?3x2的通解 例3－8 求线性微分方程组??dt?dx3?x?2x13??dt??1dx??Ax其中A??4解：方程组可以写成?dt??1?2?〔1〕求A 的初等因子及Jordan标准形。
J????1300?T?0，x??x1,x2x3? ?2???? ?1?? 11?0?〔2〕求相像变换矩阵P?0???101?11??2 ??1??〔3〕作满秩线性变换x?Py，其中y??y1,y2,y3?，那么有Tdydt?P?1APy即?dy1?dt?2y1?dy?2?y2 〔*〕 ?dt??dy3?y?y23??dt〔上述过程事实上是将系统解藕的过程〕 〔4〕求〔*〕的通解，进而求原方程组得通解 ?0?x?Py?0???101?12t?1??k1e???t2?k2e? ?t???1????k2t?k3?e?例3－9 利用约当标准形证明：假设n 阶矩阵A 的特征值为?1,?,?n，那么Am的特征值mm为?1,?,?n 证明：设A的约当形矩阵为 ?J1?J???????? ??Js?J2?其中??i?1Ji??????1?i??1m??? ???i??1因J?P但是有AP，故J?PAPm Jm?J1m???????J2m????im???，Jm??*i?????mJs????*?im???*??? ??m?i??m明显J的特征值就是J的特征值的m次幂，而相像矩阵有一样的特征值，故A的特征值m就是Jm的特征值，即A〔或J〕的特征值的m次幂。
证毕§3 哈密顿—凯莱定理及矩阵的最小多项式一、哈密顿—凯莱〔Hamilton-Cayley〕定理定理1 每个矩阵都是它的特征多项式的根即假设矩阵A 的特征多项式是f?????E?A???a1?nnn?1???an?1??an，那么有n?1f?A??A?a1A???an?1A?anE?0 3-6 证明：设B???是?E?A的伴随矩阵，那么B???(?E?A)??E?AE?f???E 3-7 由于B???的元素都是次数不超过n?1的?的多项式，所以B?????n?1B0??n?2B1???Bn?1其中Bi为n阶数字矩阵于是有B???(?E?A)??B0??nn?1?B1?B0A??????Bn?1?Bn?2A??Bn?1A 3-8 nn?1留意到f???E??E?a1?E???an?1?E?anE， 3-9由等式3-7，3－8，3－9即得：B0?EB1?B0A?a1E??????Bn?1?Bn?2A?an?1E ?Bn?1A?anE以A,Ann?1,?,A,E一次右乘上面的第一式、其次式，…，第n?1式，并将它们加起来，左边为零，右边即为f?A?。
□?1?例3－8 设A?0???00?112??1，试计算?(A)?2A8?3A5?A4?A2?4E ?0?? 定义：方阵A的零化多项式：使?????。