数学分析(3)中南财经政法大学信息学院§1 第一型曲面积分§2 第二型曲面积分§3 高斯(Gauss)公式与斯托克斯 (Stokes)公式第二十二章 曲面积分 §1 第一型曲面积分 第一型曲面积分的典型物理背景是求物 质曲面的质量. 由于定积分、重积分、第一 型曲线积分与第一型曲面积分它们同属“黎 曼积分”，因此具有相同实质的性质.一、第一型曲面积分的概念二、第一型曲面积分的计算示小曲面块块的面积积，为为中任意一点， 其中 为为曲面块块的分割，表 一、第一型曲面积分的概念类似第一型曲线积分, 当质量分布在某一曲面块 S， 量为极限 为为分割 的细细度，即为诸为诸 中的最大直径. 且密度函数 在 S上连续时，曲面块 S 的质 上任取一点若存在极限 定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T, 它把 S 分成 n 个小曲面块块记记小曲面块块 的面积积, 分割 T 的细细度 在 定义1 设 S 是空间中可求面积的曲面, 为 且与分割 的取法 无关, 则称此极限为 上的第一型曲面积分, 记作 于是, 前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为: 特别别地, 当 时时,曲面积积分 就是曲面 块块 的面积积. 二、第一型曲面积分的计算第一型曲面积分需要化为二重积分来计算. 定理 22.1 设设有光滑曲面为 S 上的连续函数, 则 ( 定理证明与曲线积分的定理20.1相仿, 不再详述. )例1 计计算 被 平面 所截 得的顶部 (图22-1). 为为 定义义域 解 曲面 的方程为为 圆域 由于 因此由公式 (2) 求得 例2 计计算 其中 为圆锥为圆锥 面 被圆圆柱面 所割 下的部分 (图22-2). 解 对对于圆锥圆锥 面 有 因此用二重积分的极坐标变换,在平面上的投影为为而 例3 计计算曲面积积分其中是球面 解 ( 解法一) 记 根据计算公式 (2), 并使用极坐标变换, 可得 (解法二 ) 令 由于 关于平面 对对称, 且在对对称点 与 处处有 因此 即 类类似地, 有由此得到§2 第二型曲面积分 第二型曲面积分的典型物理背景是计算流体 从曲面一侧流向另一侧的流量. 与第二型曲线 积分相类似, 第二型曲面积分与曲面所取的方 向有关, 这就需要先定义“曲面的侧”.一、曲面的侧 二、第二型曲面积分的概念 三、第二型曲面积分的计算 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 曲面的侧• 曲面分类双侧曲面单侧曲面默比乌斯带曲面分上侧和 下侧曲面分内侧和 外侧曲面分左侧和 右侧(单侧曲面的典型) 我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面. 单侧曲面的 一个典型例子是默比乌斯(Möbius)带. 它的构造方 法如下: 取一矩形长纸条ABCD (如图22-4(a)), 将其 一端扭转转 后与另一端粘合在一起 ( 即让让 A 与 C 重合, B 与 D 重合, 如图22-4(b)所示 ). 默比乌斯( Möbius,A.F. 1790－1868, 德国 )通常由 所表示的曲面都是双侧侧曲面, 其法 线方向与 z 轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧, 另一侧称为下侧. 当 S 为封闭曲面时,法线方向朝外 的一侧称为外侧，另一侧称为内侧. 习惯上把上侧 作为正侧,下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为 正侧, 内侧作为负侧.其方向用法向量指向表示方向余弦> 0 为前侧0 为右侧0 为上侧< 0 为下侧外侧内侧• 设 为有向曲面,侧的规定• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其面积元在 xoy 面上的投影记为的面积为则规定类似可规定二．第二型曲面积分的概念引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量 . 分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量法向量: 流速为常向量: 对一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场进行分析可得, 则 的投影区域的面积积, 它们们的符号由 的方向来确定: 分别别表示 在三个坐标标面上 定义1 设 P, Q, R 为定义在双侧曲面 S 上的函数. 对 S 作分割 T , 它把 S 分为 分割 T 的细度为 若 在曲面 所指定一侧上的第二型曲面积分,记作 的选取无关, 则称此极限 I 为向量函数 中的三个极限都存在, 且与分割 T 和点 的据此定义义, 某流体以速度 从曲面 的 负侧负侧 流向正侧侧的总总流量即为为 又如, 若空间间中的磁场场强度为为 则则按指定方向穿过过曲面的磁通量(磁力线总线总 数)为为若以表示曲面 S 的另一侧侧, 由定义义易知 第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的性质:1. 若 存在, 则有 其 中 2. 若曲面S是由两两无公共内点的曲 面 所组组成, 则则有 三．第二型曲面积分的计算定理22.2 设设 是定义义在光滑曲面 上的连续连续 函数, 以 S 的上侧为侧为 正侧侧(这时这时 S 的法线方 向与 轴轴正向成锐锐角), 则则有这这里 S 是取法线线方向与 轴轴的正向成锐锐角的那一 类似地,当 在光滑曲面 上连续时,有 侧为正侧. 当 在光滑曲面 上连续时, 有侧为正侧.这这里 S 是取法线线方向与 轴轴的正向成锐锐角的那一 例1 计计算 其中 S 是球 面 的外侧(图 22-6).解 曲面 S 在第一、五卦限部 分的方程分别为别为 部分并取球 面 在 它们在 xy 平面上的投影区域都是单单位圆圆在第一象限部分. 因积积分是沿 的下侧进侧进 行, 故 其中例2 计计算 是由曲面所围围立体表面的外侧侧. 解 曲面 其中 其投影为为其投影为为其投影为为因此例3 计计算 其中 为为 的部分, 并取上侧侧. 解 上面第二步计算后得到 是利用了积分区 域的对称性和被积函数的奇偶性,除了这一项外,其 他各积分项全都等于零.把的上下面分别记为1和2 前后面分别记为 3和4 左右面分别记为5和6 解 除3、4外 其余四片曲面 在yOz 面上的投影为零 因此 方体的整个表面的外侧 {(x y z)|0xa 0yb 0zc} 例4 a2bc 类似地可得 于是所求曲面积分为(abc)abc 例5 计算所截得的在第一卦限的部分的前侧o xyz解解: 把 分为上下两部分例6. 计算曲面积分其中 为球面外侧在第一和第八卦限部分. §3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的 推广. 格林公式建立了平面区域上的二重积 分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的 关系; 高斯公式建立了空间区域上的三重积 分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的 关系; 斯托克斯公式建立了空间曲面上的第 二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线 积分之间的关系.一、高斯公式 定理22.3 设设空间间区域 由分片光滑的双侧侧封闭闭曲 面 S 围围成. 若函数 P, Q, R 在 上连续连续 , 且有一阶阶 连连 续偏导数, 则其中 S 取外侧.(1) 式称为高斯公式. 在1882年，著名数学家菲立克 斯·克莱因 (Felix Klein) 发现了 后来以他的名字命名的著名“瓶 子”。
这是一个象球面那样封闭 的（也就是说没有边）曲面， 但是它却只有一个面在图片 上我们看到，克莱因瓶的确就 象是一个瓶子但是它没有瓶 底，它的瓶颈被拉长，然后似 乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和 瓶底圈连在了一起如果瓶颈 不穿过瓶壁而从另一边和瓶底 圈相连的话，我们就会得到一 个轮胎面(即环面) 克莱因瓶例1 计算 其中 S 是边长为 a 的正立方体表面并取外侧. 解 应用高斯公式, 注 若在高斯公式中 则则有于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域 V 的体 积积的公式: 例2 计计算 其中 为为曲面上的部分, 并取 上侧.解 由于曲面不是封闭的,不能直接应用高斯公式. 为了能使用高斯公式以方便计算,可补充一块平面 并取下侧侧, 则则 构成一封闭曲面.于是 而因此 二、斯托克斯公式 先对双侧曲面 S 的侧与其边界曲线 L 的方向作如下 规定:设有人站在 S 上指定的一侧,若沿 L 行走,指 定的侧总在人的左方,则人前进的方向为边界线 L 的正向;若沿 L 行走,指定的侧总在人的右方,则人 前进的方向为边界线 L 的负向.这个规定也称为右 手法则,如图 22-9 所示. 定理22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑的连 续曲线.若函数 P, Q, R 在 S ( 连同 L ) 上连续,且有 一阶连续偏导数,则有斯托克斯公式如下: 其中 S 的侧与 L 的方向按右手法则确定. 为了便于记忆,斯托克斯公式也常写成如下形式:例4 计计算其中与各坐标面的交线,取图 22-8 所示的方向. 解 应用斯托克斯公式推得: 车胎状的环形区域则是非单连通的.与平面曲线积分相仿,空间曲线积分与路线的无关 性也有下面相应的定理.不经过 V 以外的点而连续收缩于属于 V 的一点.例 如:两同心球面所界定的区域仍是单连通的;而形如区域 V 称为单连通的,如果 V 内任一封闭曲线皆可 注 上述之单连通,又称为“按曲面单连通”.其意 义是: 对于 V 内任一封闭曲线 L, 均能以 L 为边界 , 绷起一个位于 V 中的曲面. 与路线无关; (i) 对于 内任一按段光滑的封闭曲线 L 有 (ii) 对于 内任一按段光滑的封闭曲线 L,曲线积分 定理22.5 设设为为空间单连间单连 通区域. 若函数 P, 个条件是等价的:Q, R 在 上连续,且有一阶连续偏导数,则以下四 例5 验证曲线积分与路线线无关, 并求被积积表达式的原函数这个定理的证明与定理 21.12 相仿,这里不重复了.在 内处处成立. (iii) 内某一函数 u 的全微分, 即取 如图图 22-11, 从 沿平行于 x 轴轴的直线线到 所以曲线积分与路线无关.现在求原函数: 解 对于 显然有 再沿平行于y 轴轴的直线线到最后沿平行于 z 轴的直线 到 于是 为为原点,则得 若取 为任意点,则 为一任意常数. 其中是一个常数. 若取。