第五章 电路的时域分析u 电路时域分析的基本概念：零输入响应与零状态响应；自由响应和强迫响应；冲击响应和阶跃响应；固有频率和时间常数u 一阶电路的三要素分析法u LTI电路的基本性质u 求解任意激励信号产生的零状态响应的普遍方法——卷积积分一一阶电阶电路路时时域分析域分析 (1) 零输入响应的定义 定义：LTI (Linear Time Invariant) 电路在外加激励信号为零时，仅仅由电路的初始储能所产生的响应，叫电路的零输入响应 §5.1§5.1一阶电路时域分析5.1.1 一阶电路的零输入响应对于一阶有损动态电路：一一阶电阶电路路时时域分析域分析 的齐次方程的非零解，即为零输入响应yzp(t) , ,同理，可推广至高阶电路2)(2) 一阶一阶RCRCRCRC电路的零输入响应电路的零输入响应(1)(1)列出电路结构规律方程＿列出电路结构规律方程＿KCLKCL或或KVLKVL(2)(2)列出电路元件规律列出电路元件规律VCRVCR方程方程(3)(3)将将(2)(2)代入代入(1)(1)，即得到电路微分方程，即得到电路微分方程l l 建立电路微分方程的方法步骤：建立电路微分方程的方法步骤：一一阶电阶电路路时时域分析域分析 如图示如图示RCRC电路，开关闭合前，电容已电路，开关闭合前，电容已经达到充分充电，电容电压经达到充分充电，电容电压u uc c(0)(0)＝＝U U0 0，当，当t t =0=0时开关闭合，求时开关闭合，求RCRC电路接通后，电容电电路接通后，电容电压压u uc c( (t t) )和电流的变化规律。
和电流的变化规律解：解： 在在( (t t≥0)≥0)后，选后，选 u uc c( (t t) )为变量，建立微分方程（因为为变量，建立微分方程（因为 u uc c( (t t) )表表征了电路中的储能状态，有承上启下的作用）征了电路中的储能状态，有承上启下的作用）①①①① 列列KVLKVL和和KCLKCL方程方程( (t t≥0)≥0)KCLKCLKVLKVL一一阶电阶电路路时时域分析域分析 ②②②② 列元件列元件VCR:VCR:③③③③ 化简得：化简得：l l 电路微分方程的求解电路微分方程的求解方法步骤：方法步骤：(1) (1) (1) (1) 确定初始条件：由确定初始条件：由(2) (2) 求解微分方程求解微分方程一一阶电阶电路路时时域分析域分析 对于数学问题对于数学问题解：①①①① 求初始条件，依据换路定理：②② 求解：ⅰ. 求特征方程：设通解： 代入微分方程得：一一阶电阶电路路时时域分析域分析 ⅱⅱ. . 设通解：ⅲⅲ. . 定常数k：则（（λ λ只决定电路本身的结构，反应电路本身固有的性质，只决定电路本身的结构，反应电路本身固有的性质，称为电路的固有频率，单位用１/秒表示。
）一一阶电阶电路路时时域分析域分析 所以RC电路的零输入响应：（（τ=τ=RC RC 称为称为电路的时间常数，反应了电路本身的固有性质，反应了电路本身的固有性质，决定电路的响应衰减的快慢，单位是秒决定电路的响应衰减的快慢，单位是秒一一阶电阶电路路时时域分析域分析 RC电路电容电压的变化规律 RC电路电容电流的变化规律(3)(3) 物理解释物理解释：： 可见当t≥4τ时，电压uc(t)已下降到初始电压值U0的1.84%以下，一般已可近似认为衰减到零（理论上，仅当t→∞时， uc(t) →０）因而τ愈小，与衰减愈快；τ愈大，与衰减愈慢一一阶电阶电路路时时域分析域分析 当电路开关未闭合时: :当开关闭合( (换路),),因为储能有限，所以由换路定理得： 当t≥0后，电路闭合形成通路，所以通过RC电路放电，放电是按指数规律进行的，放电速度的快慢由e的指数决定当t→∞，uC=0，放电结束一一阶电阶电路路时时域分析域分析 例１：已知电路如下图所示，t＜0时电路处于稳态，t≥0时K1打开，K2闭合，试求t≥0时的i(t) 解 因为t≥0时所以只要求出uc(t) ，即可求得i(t)① ① 建立电路微分方程对节点A列KCL方程 对回路l列KVL方程 一一阶电阶电路路时时域分析域分析 将(a)式代入(b)式得列VCR方程 ②② 确定初始条件因为t＜0电路处于稳态，所以根据换路定律得一一阶电阶电路路时时域分析域分析 ③③ 求解微分方程因为(c)式的特征方程为 所以又因为所以④④ 求i(t)一一阶电阶电路路时时域分析域分析 例２：已知电路如图，t＝0时开关k闭合，K闭合前电路处于稳态，试求t≥0时的i1(t)、 i2(t)和 iC(t)。
解：对于t≥0的电路建模得于是得：且一一阶电阶电路路时时域分析域分析 初始条件解得所以一一阶电阶电路路时时域分析域分析 4. 4. 4. 4. 零输入响应与初始状态的关系零输入响应与初始状态的关系l l 小结：一阶小结：一阶RCRC、、RLRL电路，可用一阶微分方程来描述它的电路，可用一阶微分方程来描述它的零输入响应零输入响应对于一阶对于一阶RCRC电路：电路：对于一阶对于一阶RLRL电路：电路：一一阶电阶电路路时时域分析域分析 （1）从物理意义上说，零输入响应是在零输入时非零初始状态下产生的，它取决于电路的初始状态，也取决于电路的特性对一阶电路来说，它是通过时间常数τ或电路固有频率λ来体现的2）从数学意义上说，零输入响应就是线性齐次常微分方程，在非零初始条件下的解3）在激励为零时，线性电路的零输入响应与电路的初始状态呈线性关系，初始状态可看做是电路的“激励”或“输入信号”若初始状态增大A倍，则零输入响应也增大A倍，这种关系我们称为“零输入线性”l 零输入响应的特性如下: : 一一阶电阶电路路时时域分析域分析 对于例１，我们也可以如下方法加以解决 一阶电路的零输入响应为所以 对电路断开C，令内部独立源为零，并外加电压源us，可求得代文宁电阻初始条件一一阶电阶电路路时时域分析域分析 所以则一一阶电阶电路路时时域分析域分析 5.1.2 一阶电路的零状态响应(1) 零状态响应的定义 定义：线性时不变 电路在初始状态为零时，仅仅由外加激励f(t) 所产生的响应，叫电路的零状态响应。
对一阶电路：的解yzs(t)叫电路的零状态响应 上面的定义也适用于高阶电路一一阶电阶电路路时时域分析域分析 对于高阶电路的解yzs(t)叫该电路的零状态响应一一阶电阶电路路时时域分析域分析 (2) 一阶RC电路的零状态响应： RC电路，开关闭合前（t＜0），电容初储能为0，t≥0后，K闭合，求uC(t)和 iC(t)①①建模列KCL, KVL:列VCR：一一阶电阶电路路时时域分析域分析 联解得：②②②②求解求解求初始条件设解为首先由齐次方程求通解uCh(t)，因为 求得通解得一一阶电阶电路路时时域分析域分析 设特解为则由全解表达式和零初始条件定系数k所以一一阶电阶电路路时时域分析域分析 因为当t→∞时，电路进入温态，C开路，uC(∞)=Us，所以(3) (3) 物理意义：一一阶电阶电路路时时域分析域分析 可以证明在t t→∞→∞期间即：供能 耗能充电效率为50%一一阶电阶电路路时时域分析域分析 零状态响应：(2) 一阶RL电路的零状态响应：由对偶电路原理可得由对偶电路原理可得RLRL电路电路一一阶电阶电路路时时域分析域分析 小结：在恒定电压的激励下，一阶电路的零状态响应为：的解一一阶电阶电路路时时域分析域分析 l 零状态响应的特性如下: : (1)(1) 从物理意义上说，电路的零状态响应是由外加激励和电路特性决定的。
一阶电路零状态响应反映的物理过程，实质上是动态元件的储能从无到有逐渐增加的过程，电容电压或电感电流都是从零值开始按指数规律上升到稳态值上升的快慢由时间常数决定2)(2)(2) (2) 从数学意义上说，零状态响应就是线性非齐次常微分方程在零初始条件下的解3)(3)(3) (3) 当系统的起始状态为零时，线性电路的零状态响应与外施激励成线性关系，即激励增大到A A倍，响应也增大到A A倍多个独立源作用时，总的零状态响应为各独立源分别作用的响应的总和，这就是所谓“零状态线性”一一阶电阶电路路时时域分析域分析 例：图示电路，在t＝0时开关闭合，求t≥0解： 对电路ab左边代文宁等效：所以一一阶电阶电路路时时域分析域分析 例 已知电路如图所示，且电感无初储能，当t=0时，开关K闭合，试求t≥0时的零状态响应uL(t) 解（1）建立电路微分方程 选iL(t)为变量，在t≥0时，有KVL方程：KCL方程： VCR方程： 一一阶电阶电路路时时域分析域分析 三式联解得电路微分方程： （2 2）求解 由换路定律可得： 微分方程的解应为由初始条件式即可定出式中待定系数k=-1，所以一一阶电阶电路路时时域分析域分析 5.1.3 一阶电路的完全完全响应(1)一阶电路的完全响应定义：LTILTI电路在初始储能（初始条件）和外加激励信号共同作用下，电路产生的响应叫完全响应。
对一阶电路：的完全解y(t)叫电路的完全响应 上面的定义也适用于高阶电路一一阶电阶电路路时时域分析域分析 对于高阶电路的解y (t)叫该电路的完全响应2)(2)电路完全响应的求解方法解法1 1：叠加法 电路完全响应＝零输入响应＋零状态响应 即一一阶电阶电路路时时域分析域分析 方法步骤：RCRC电路为例 ( (ⅰⅰ) )求零输入响应：前已求出：( (ⅱⅱ) ) 求零状态响应：一一阶电阶电路路时时域分析域分析 前已求出：（ⅲ）叠加：一一阶电阶电路路时时域分析域分析 解法2 2：经典法 电路完全响应＝自由响应＋强迫响应 即方法步骤：(ⅰ) 求齐次方程的通解：如一阶RC电路由前已知通解：一一阶电阶电路路时时域分析域分析 （ⅱ）求特解：设特解为：代入上式得：（ⅲ）得全解表达式：（ⅳ）由初条定出全解表达式中系数k：一一阶电阶电路路时时域分析域分析 全响应推广到一般：一一阶电阶电路路时时域分析域分析 (3) (3) 几个基本概念：几个基本概念：ⅰ. ⅰ.自由响应：动态电路的完全响应中，已由初条确定待定系数自由响应：动态电路的完全响应中，已由初条确定待定系数k k的微分方程通解部分，称为电路系统的自由响应，它的函数的微分方程通解部分，称为电路系统的自由响应，它的函数形式是由电路系统本身结构决定的，与外加激励无关。
形式是由电路系统本身结构决定的，与外加激励无关ⅱ.ⅱ.强迫响应：动态电路微分方程的特解形式，仅仅由激励决定，强迫响应：动态电路微分方程的特解形式，仅仅由激励决定，称为强迫响应；称为强迫响应；ⅲ.ⅲ.暂态响应：动态电路全响应中，当暂态响应：动态电路全响应中，当t t→∞→∞时，趋于时，趋于0 0的部分，的部分，称为暂态响应；称为暂态响应；ⅳ.ⅳ.稳态响应：动态电路全响应中，除去暂态响应，剩下的部分稳态响应：动态电路全响应中，除去暂态响应，剩下的部分称为稳态响应称为稳态响应一一阶电阶电路路时时域分析域分析 (4) 两种解法的区别l 相同点(ⅰⅰ) 零输入响应与自由响应都具有相同的函数形式，即按同一指数规律衰减，都满足齐次微分方程稳态响应稳态响应暂态响应暂态响应一一阶电阶电路路时时域分析域分析 （ⅱⅱ）零状态响应与强迫响应都仅仅与输入激励有关，而与电路初态无关l l不同点（确定不同点（确定k k的次序不一致）的次序不一致）（（ⅰⅰⅰⅰ）零输入响应中待定系数）零输入响应中待定系数k k仅由初条决定自由响应中待仅由初条决定自由响应中待定系数定系数k k由初条和激励共同决定由初条和激励共同决定ⅱⅱⅱⅱ）零状态响应是由非齐次方程和）零状态响应是由非齐次方程和0 0初条共同决定。
强迫响初条共同决定强迫响应仅仅由非齐次方程决定应仅仅由非齐次方程决定ⅲⅲⅲⅲ）本质区别：零输入响应，零状态响应满足叠加定理本质区别：零输入响应，零状态响应满足叠加定理 自由响应，强迫响应不满足叠加定理自由响应，强迫响应不满足叠加定理一一阶电阶电路路时时域分析域分析 5.1.2 一阶电路的三要素分析法 设一阶有损电路，在电路中动态元件的初始贮能和恒定输入激励信号共同作用下的完全响应为y(t)，而y(t)可以是uC(t)、iL(t)，也可以是uR(t)、iR(t)、iC(t)、uL(t)，则电路的完全响应为：从这个响应的公式可知：一阶电路的响应完全由y(0+)、 y(∞) 和τ所决定即是说，完全由电路初值，稳态值和时间常数三个要素所决定一一阶电阶电路路时时域分析域分析 l 三要素法使用条件(1) 一阶有损电路（RC,RL）(2) 恒定输入信号 对于一阶对于一阶RCRC电路：电路：对于一阶对于一阶RLRL电路：电路：l 计算方法和步骤(1) 由t<0电路，求出电路的初始值y(0+)；(2) 由t≥0时电路，求出电路的稳态值(终值) y(∞) ： 作t＝∞时电路，（电容开路，电感短路），求此时的直流电阻电路得y(∞) 。
3) 求出时间常数τ R是指动态元件两端的等效代文宁电阻，对于不同电路结构，R是不同的一一阶电阶电路路时时域分析域分析 例1：已知电路如图，开关K在t＝0时，由a打向b，开关闭合前电路处于稳态，求uC(t) ，并指出零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应解：(1) 求uC(0+) 因为 换路前电路处于稳态， uC(0-)＝40V所以 uC(0+)＝uC(0-)＝40V（2）求uC(∞)因为t→∞，电路又处于稳态，即C开路，则电路有一一阶电阶电路路时时域分析域分析 (3) 求τ 将输出端短路，求Isc 由KVL得：而由KCL得：所以：一一阶电阶电路路时时域分析域分析 例2：如图所示电路，t＝0时，开关K1打开，经过0.01s，K2闭合，开关K1动作前，电路处于稳态求t≥0时的iL(t)解：电路工作状态可以分为两个阶段：0≤t≤0.01s和t≥0.01s (1) 求0≤t≤0.01s 时 iL(t): ⅰ. 求iL(0+) 因为t＜0时，K1闭合，10mA流过K1 ，所以iL(0-)=0 由此得：iL(0+)＝iL(0-)＝0 一一阶电阶电路路时时域分析域分析 ⅱ.求iL(∞) 电路如下图 一一阶电阶电路路时时域分析域分析 Ⅲ 求τ 对t＞0电路，令内部独立源为0，求L两端代文宁电阻一一阶电阶电路路时时域分析域分析 (2) 求t≥0.01s ⅰ.求iL(0.01+)，此时电路如图ⅱ.求iL(∞)，电路如图因为cd两点短路，所以 iL(∞)＝０一一阶电阶电路路时时域分析域分析 。