第三章 圆第一讲 圆的概念与圆的对称性【知识要点】知识点1：圆的定义及相关概念 1.圆的定义： 圆是到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形这个定点叫做圆心，定长叫做半径 圆也可以看作是一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形 同一圆的半径相等，直径相等，直径等于半径的2倍2、圆的表示方法：以O为圆心的圆叫做“圆O”，记作“⊙O”注意：圆指的是“圆周”而不是“圆面”3. 圆的基本元素： （1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦 经过圆心的弦叫直径如图）直径是圆中最大的弦弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧 简称弧，弧用符号“⌒”表示 （3）半圆、劣弧、优弧 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆 （4）圆心角: 顶点在圆心的角，叫做圆心角∠COD （5）同心圆、等圆、等弧 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆 等圆：能够重合的两个圆叫等圆半径相等的两个圆也叫等圆 等弧：在同圆与等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。
知识点2、点和圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种 平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点在圆外当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点在圆上当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点在圆内 知识点3. 圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 如图，用几何语言表示如下： ⊙O中，（1）∵∠AOB＝∠A'OB' （3）∵AB＝A'B' 知识点4：圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；（2）圆是中心对称图形，其对称中心是圆心；（3）圆具有旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度都能与原图形完全重合；知识点5：直径垂直于弦的性质（垂径定理及其逆定理）：（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
如图：几何语言 （2）推论1：①平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等反之不成立）注意：对一个圆和一条直线，若满足：①过圆心；②垂直于弦；则它有以下性质③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧由五个条件中的两个即可推出其余三个，即“知二推三”典型例题】【例1】 设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程2x2－2x＋m－1=0有实数根，试确定点P的位置．【例2】已知：如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm．若以A为圆心作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．【例3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．【例4】已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，CE⊥CD交AB于E DF⊥CD交AB于F求证：AE＝BF【例5】如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB。
【例6】如图，已知⊙O1和⊙O2是等圆，直线CF顺次交这两个圆于C、D、E、F，且CF交O1O2于点M，，O1M和O2M相等吗？为什么？ 【课后练习】3.1 车轮为什么做成圆形 同步练习一、填空题:1.⊙O的直径为10cm,⊙O所在的平面内有一点P,当PO_______时,点P在⊙O上;当PO_____时,点P在⊙O内;当PO______时,点P在⊙O外.毛2.已知⊙O的周长为8cm,若PO=2cm,则点P在_______;若PO=4cm,则点P在_____;若PO=6cm,则点P在_______.3.平面上有两点A、B,若线段AB的长为3cm,则以A为圆心,经过点B的圆的面积为_______.4.点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,4),则点B在以A为圆心, 6 为半径的圆的_______.5.在半径为5cm的⊙O上有一点P,则OP的长为________.二、选择题:6.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4cm,D是AB的中点,以C为圆心,4cm长为半径作圆,则A、B、C、D四点中,在圆内的有( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个7.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( ) A.圆的外部(包括边界)； B.圆的内部(不包括边界)； C.圆； D.圆的内部(包括边界)8.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( ) A.等于6cm B.等于12cm； C.小于6cm D.大于12cm9.⊙O的半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),则点P与⊙O 的位置关系是( ) A.点P在⊙O内； B.点P的⊙O上； C.点P在⊙O外； D.点P在⊙O上或⊙O外三、解答题:10.如图,点O到直线AB的距离为8cm,点C、D都在直线AB上,OA⊥AB. 若AD= 6cm.CD=2cm,AB=5cm.以O为圆心,10cm为半径作圆,试判断A、B、C、D四点与⊙O 的位置关系.11.设线段AB=4cm,作图说明:到点A的距离大于3cm,且到点B的距离小于2cm的所有点组成的图形.12.作图说明到点O的距离大于2cm而小于3cm的所有点组成的图形13.如图,点P的坐标为(4,0),⊙P的半径为5,且⊙P与x轴交于点A、B,与y 轴交于点C、D,试求出点A、B、C、D的坐标.14.如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,试问:是否存在一个圆,使A、B、C、D四个点都在这个圆上?如果存在,请指出这个圆的圆心和半径;如果不存在,说明理由.15.操场上站着A、B、C三位同学,已知A、B相离5米,B、C相离3米,试写出A、C两位同学之间距离的取值范围.16.如图,⊙O的半径为2.5,动点P到定点O的距离为2,动点Q到P点的距离为1,则点P、Q与⊙O有何位置关系?说明理由.3.2 圆的对称性 同步练习一、填空题:1.圆既是轴对称图形,又是_________对称图形,它的对称轴是_______, 对称中心是____.毛2.已知⊙O的半径为R,弦AB的长也是R,则∠AOB的度数是_________.3. 圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm.4.已知⊙O中,OC⊥弦AB于C,AB=8,OC=3,则⊙O的半径长等于________.5.如图1,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是_____. （1） （2） （3）6.已知:如图2,有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是____m.7.如图3,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD= CE, 则 与弧长的大小关系是_________.8.如图4,在⊙O中,AB、AC是互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则⊙O的半径为_____cm. （4） （5） （6） （7）二、选择题:9.如图5,在半径为2cm的⊙O中有长为2cm的弦AB,则弦AB所对的圆心角的度数为( ) A.60° B.90° C.120° D.150°10.如图6,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个11.如图7,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条三、解答题:12.如图,AB是⊙O的弦(非直径),C、D是AB上两点,并且AC=BD.试判断OC与OD 的数量关系并说明理由. 13.如图,⊙O表示一圆形工件,AB=15cm,OM=8cm,并且MB:MA=1:4, 求工件半径的长.14.已知:如图,在⊙O中,弦AB的长是半径OA的倍,C为的中点,AB、OC 相交于点M.试判断四边形OACB的形状,并说明理由.15.如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB=∠DPB,,试比较线段PC、PD的大小关系.16.半径为5cm的⊙O中,两条平行弦的长度分别为6cm和8cm.则这两条弦的距离为多少?17.在半径为5cm的⊙O中,弦AB的长等于6cm,若弦AB的两个端点A、B在⊙O上滑动(滑动过程中AB的长度不变),请说明弦AB的中点C在滑运过程中所经过的路线是什么图形.18.如图,点A是半圆上的三等分点,B是的中点,P是直径MN上一动点.⊙O的半径为1,问P在直线MN上什么位置时,AP+BP的值最小?并求出AP+BP的最小值.。