业专• •级年大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案x\考试形式： 闭卷 考试时间：120 分钟 满分：100分.题号一二三四五\六七八总分满分205101510101515100得分\注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边， 写在其它纸上一律无效.2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记 \\得分评阅人、填空（每小题5分，共20分）.1 cosx⑴计算lim x 0 x(1 cos . x):校院在所:号证份身:名姓⑵设“*）在乂 2连续，且！呵f(x) 3 存在,则 f(2)=… 1⑶若 f (t) lim t(1 —),则 f ⑴（4）已知f（x）的一个原函数为ln2x,则xf(x)dx =1 (1)一2(3) (2t1)e2t一. .2 -(4) 2 ln x ln x C .得分、评阅人(2) 3 .D :0 x 1,0解：二、（5 分）D1dx01130计算1.dxdy,其中x2 dxdy =(x2D/y x2y)dxdy +D2：y(yx22、，,x )dxdy/(x21y)dy+ 0dx1 / 2、zx2(y x )dy5分.令3得分评阅人三、（10分）设yd2V 导数,求富解:d2y dx2sin[ f（x2）],其中f具有二阶■dy 2xf (x2)cos[f (x2)], dx一，2、 ..，2 一 .2., 2、 ..，2一2f (x )cos[ f (x )] 4x f (x )cos[ f (x )] 2 .2 2..=2f (x ) cos[ f (x )] 4x { f得分评阅人四、（15分）已知ln ax解:e0.3 2exdx2ex t ,所以ln axe03 2exdx. 2r. z 2 x_ 2 _ r . 2 x_ /\4x [ f (x )] sin[ f(x )]——7 分2 - 2 -(x )cos[f (x )] [f2 2 - 2 .(x )] sin[f(x )]}ln a 0 ex 3 2exdx10分.1 —,求a的值.32t 332 3 2a1ln a 0 3 2ex d (33 2a —tdt12ex)=3ln a由0N(3、2a)3 1],ex 3 2exdx3 1 .(3-2a)31]T12即（3亦即3分132a)3 =0分2a 0214分.15:业专:级年:校院在所:号证份身:名姓得分评阅人解：原方程可化为五、(10分)求微分方程xy y ex 0满足条件y x 1 e的特解.x \1 e 八y - y —— 2分x x这是一阶线性非齐次方程，代入公式得 \1dx ex 1dxy e x e x dx C 4 分x xIn x e In x I c - 八=e - e dx C 5 分x1 V= e dx C 6 分x1 . _ 八=(e C). 7 分x所以原方程的通解是y - (ex C) . 8分x再由条件y X1 e,有e e C,即C 0, 9分x密 因此，所求的特解是y —. 10分.x六(10分)、若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且 f(x1) f(x2) f(x3),其中、得分评阅人a x〔 x2 x3 b ,证明：在(x「X3)内至少有一点,使f ( )/0。
证：由于f(x)在(a,b)内具有二阶导数，所以f(x)在［xi，X2］上连续，在(Xi，X2)内可导，再根据题意f (Xi) f (x2) , /由罗尔定理知至少存在一点\ 1 (X1 , X2 ),使f ( 1)=0； 3分同理，在［X2,X3］上对函数f(x)使用罗尔定理得至少存在一点 2 (X2,X3),使 f ( 2) =0； 6 分对于函数f (x),由已知条件知f (x)在［1, 2］上连续，在(1, 2)内可导，且f ( 1)= f ( 2)=由罗尔定理知至少存在一点0 ,而1 , 2 ) 区,)，故结论得证10分.:业专:校院在所:号证份身:名姓得分//评阅人解:七、(15分)已知曲线y ex, y sin x和直线x 0 , x 1围成平面图形D.(1)求平面图形D的面积A;(2)求D绕x轴旋转所成立体的体积.(D(2)所以Vx1 2xe21 / 22(e1 / 22(e1A o (ex sin x)dx(ex cosx因为Vx1/ 2x 0(ecosl 2_ 2f (x)dx ,sin2x)dx1 1x sin2x1 11) sin 22 41— sin 2) 12得分评阅人111315分.八、(15分)设u偏导数，又函数y下列两式确定：xy x x zsint due xy 2 和 e 、 dt ,本——.0 t dx解：辿f f史上在， (1)dx x y dx z dxf (x, y, z)有连续的一阶y(x)及z z(x)分别由--4分exy(y xdy) (y xdy) =0, 7 分由exy xy 2两边对x求导，得dx dx / \即包丫 / 9分dx x又由ex x zsn!dt两边对x求导，得0 tx sin(x z) dz.j (1 一) , 11 分x z dx即里1引3 13分dx sin(x z)15分.du f y f , e (x z) f将其代入(1)式，得 一 一 --1 一-——-一 dx x x y sin(x z) z。