勾股定理经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1 、在 Rt △ ABC中，∠ C=90°(1) 已知 a=6， c=10 ，求 b， (2) 已知 a=40， b=9，求 c； (3) 已知 c=25， b=15，求 a.思路点拨 : 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用解析： (1) 在△ ABC中，∠ C=90°， a=6， c=10,b=(2) 在△ ABC中，∠ C=90°， a=40，b=9,c=(3) 在△ ABC中，∠ C=90°， c=25 ，b=15,a=举一反三【变式】如图∠=∠=90° ,=13,=12,=3, 则 AB的长是多少 ?BACDADCDBC【答案】∵∠ ACD=90°AD=13, CD=12∴222AC =AD－ CD=132－ 122=25∴AC=5又∵∠ ABC=90°且=3BC∴由勾股定理可得222AB=－BCAC=52－ 32=16∴ AB= 4∴ AB的长是 4.类型二：勾股定理的构造应用2 、如图，已知：在 中， ， ， . 求 BC的长 .思路点拨 ：由条件 ，想到构造含 角的直角三角形，为此作 于 D，则有， ，再由勾股定理计算出 AD、 DC的长，进而求出 BC的长 .解析 ：作 于 D，则因 ，∴ （ 的两个锐角互余）∴ （在 中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半） .根据勾股定理，在 中，.根据勾股定理，在 中，1.∴ .举一反三 【变式 1】如图，已知： ， ， 于 P. 求证： .解析 ：连结 BM，根据勾股定理，在 中，.而在 中，则根据勾股定理有.∴又∵ （已知），∴ .在 中，根据勾股定理有，∴ .【变式 2】已知：如图，∠ B=∠ D=90°，∠ A=60°， AB=4， CD=2。
求：四边形 ABCD的面积分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC，或延长 AB、 DC交于 F，或延长 AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单解析 ：延长 AD、BC交于 E∵∠ A=∠ 60°，∠ B=90°，∴∠ E=30°∴ AE=2AB=8， CE=2CD=4，22222=48，BE==∴ BE =AE-AB =8 -422222=∵ DE= CE -CD =4 -2 =12，∴ DE=∴ S四边形 ABCD △ ABE△ CDE=S -S= AB· BE- CD·DE=类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3 、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿北偏东 60°方向走了 到达 B点，然后再沿北偏西 30°方向走了 500m到达目的地 C点2（ 1）求 A、 C两点之间的距离 2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向解析 ：（ 1）过 B 点作 BE//AD∴∠ DAB=∠ ABE=60°∵ 30°+∠ CBA+∠ ABE=180°∴∠ CBA=90°即△ ABC为直角三角形由已知可得： BC=500m，AB=由勾股定理可得：所以（ 2）在 Rt△ ABC中，∵ BC=500m， AC=1000m∴∠ CAB=30°∵∠ DAB=60°∴∠ DAC=30°即点 C在点 A 的北偏东 30°的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ?【答案】由于厂门宽度足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 CH．如图所示，点D 在离厂门中线 0.8 米处，且 CD⊥ＡＢ， 与地面交于 H．解： OC＝ 1 米 ( 大门宽度一半 ) ， OD ＝0.8 米 （卡车宽度一半） 在Rt △ OCD中，由勾股定理得： CD ＝＝ ＝０ . ６米， C Ｈ＝０ . ６＋２ . ３＝２ . ９（米）＞２ . ５（米）． 因此高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门．（二）用勾股定理求最短问题4 、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了3四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．思路点拨 ：解答本题的思路是： 最省电线就是线路长最短， 通过利用勾股定理计算线路长， 然后进行比较，得出结论．解析 ：设正方形的边长为 1，则图（ 1）、图（ 2）中的总线路长分别为 AB+BC+CD ＝ 3， AB+BC+CD＝ 3图（ 3）中，在 Rt△ ABC中同理∴图（ 3）中的路线长为图（ 4）中，延长 EF交 BC于 H，则 FH⊥ BC， BH＝ CH由∠ FBH＝ 及勾股定理得：EA ＝ ED＝ FB＝ FC＝∴ EF＝ 1－2FH＝ 1－∴此图中总线路的长为 4EA+EF＝3 ＞ 2.828>2.732∴图（ 4）的连接线路最短，即图（ 4）的架设方案最省电线．举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm，高ＡＢ为 4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程．解：如4图，在 Rt △ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０ cm， 根据勾股定理得（提问：勾股定理）∴ AC＝ ＝ ＝ ≈１０．７７（ cm）（勾股定理） ．答：最短路程约为１０．７７ cm．类型四：利用勾股定理作长为 的线段5 、作长为 、 、 的线段。
思路点拨： 由勾股定理得，直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于 ，直角边为 和 1 的直角三角形斜边长就是 ，类似地可作 作法 ：如图所示（ 1）作直角边为 1（单位长）的等腰直角△ ACB，使 AB为斜边；（ 2）以 AB 为一条直角边，作另一直角边为 1 的直角 斜边为 ；（ 3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形 ，这样斜边 、 、 、 的长度就是、 、 、 举一反三 【变式】在数轴上表示 的点解析： 可以把 看作是直角三角形的斜边， ，为了有利于画图，让其他两边的长为整数，而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3 和 1作法 ：如图所示在数轴上找到 A 点，使 OA=3，作 AC⊥ OA 且截取AC=1，以 OC为半径， 以O为圆心做弧，弧与数轴的交点 B 即为 类型五：逆命题与勾股定理逆定理6 、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1 ．原命题：猫有四只脚． （正确）2 ．原命题：对顶角相等（正确）3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）5思路点拨： 掌握原命题与逆命题的关系。
解析： 1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． ?（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上． （正确）总结升华： 本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备7 、如果 ABC的三边分别为 a、 b、 c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断 ABC的形状思路点拨 ：要判断 ABC的形状，需要找到 a、 b、 c 的关系，而题目中只有条件 a2+b2 +c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题解析 ：由 a2+b2+c 2+50=6a+8b+10c，得 ：a 2 -6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0,∴ (a-3) 2+(b-4) 2+(c-5) 2=0∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥ 0, (c-5)2≥ 0∴ a=3 ， b=4， c=5 ∵ 3 2+42=52,∴ a 2+b2=c2由勾股定理的逆定理，得 ABC是直角三角形总结升华 ：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的 , 在证明中也常要用到。
举一反三 【变式 1】四边形 ABCD中，∠ B=90°， AB=3， BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积答案】：连结 AC∵∠ B=90°， AB=3， BC=4222∴ AC=AB+BC=25（勾股定理）∴ AC=5222∵ AC+CD=169， AD=169222∴ AC+CD=AD∴∠ ACD=90°（勾股定理逆定理）【变式 2】已知 : △ ABC的三边分别为2222m－ n ,2mn,m +n (m,n 为正整数 , 且 m＞n), 判断△ A。