抛物线习题精选精讲(1)抛物线一一二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章^.由于这个美好的1,【例1】P为抛物线y2=2px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与丫轴()A相交B.相切C.相离【解析】如图，抛物线的焦点为.p,,.一、l:x=.作PHLl于H,交y轴于2Q,那么PFPH且QH=OF中位线,MNp,,_一=—.#MNLy轴于N则MN^梯形PQOFF勺2=—(|OF+|PQ)=-|PH1PF.故以2PF为直径的圆与y轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.D.位置由P确定(2)焦点弦一一常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关有帮助的..理解并掌握这个焦点弦的性质,对破解这些试题是大【例2】过抛物线y2=2px(pA0)的焦点F作直线交抛物线于A(xi,y1),B(x2,y2)两点，求证:(1)AB=x〔+x2+p(2)1AFlBFlBF【证明】(1)如图设抛物线的准线为1,作AA.L1A1,BB1_L1于B“则AF=AA|=x［十£,pBB1=x2+-.两式相加即得:2AB=x1+x2+p(2)当ABJ±x轴时，有AF=BF二P,AFBF当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为:.代入抛物线方程:k2 x」2= 2px.化简得:k2 =0 1•••方程(1)之二根为x1, X2k2AFBFX1X21—一1x1 x2 PAABB1px1 — x2-Ip px〔x2 x x22 4x〔 X2 pX1 X2 pp2 x1 x2x1 x 2 P p1故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有 一AFBF=2成立.p(3)切线一一抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.【例3】证明：过抛物线2y =2px上一点M (x°, y0)的切线方程是：y0y=p (x+x0)【证明】对方程y2=2px两边取导数：2yy'=2p,「.y'=艮.切线的斜率yprjAir、irF/2k=yx=x0=—.由点斜式万程：y—yo=—(x—xo)=yoy=px-pxo+yo(1)yoyoVy2=2px0,代入()1即得：yoy=p(x+x。
)(4)定点与定值一一抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=O相切，则此动圆必过定点()A4,OB.2,OC.O,2D.O,-2显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.22 .抛物线y=2px的通径长为2p；3 .设抛物线y2=2px过焦点的弦两端分别为A(x1,y1),B(x2,y2),那么：yy2=—p2以下再举一例【例4】设抛物线y2=2px的焦点弦AB在其准线上白射影是AB、证明：以ABi为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么AiB产AB=2p,而AiBi与AB的距离为p,可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为A（x1,y1）,B（x2,y2）,22那么：y1y2=-p二|CAiCBi=|vy2=p.设抛物线的准线交x轴于C,那么CF|=p.2「.△AFBi中CF=CA|CBi.故/AFBi=90*.这就说明：以AB为直径的圆必过该抛物线的焦点.・通法特法妙法（1）解析法一一为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）的方程【例5】（07.四川文科卷.i0题）已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于（）A.3B.4C.3.2D.4.2【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】二•点AB关于直线x+y=0对称，，设直线AB为：y=+x.由y=xm22xxm-3=0y=-x3设方程（i）之两根为xi,x2,则xix2=-i.xxciiii设AB的中点为M(x°,y°),则x0==--.代入x+y=0:y0=一.故有M,——，—222.22从而m=y—x=i.直线AB的方程为：y=x+i.方程(i)成为：x2+x—2=0.解得：x=—2,i,从而y=-i,2,故得：A(-2,-i),B(i,2).j」AB=3后，选C.（2）几何法一一为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例6】（07.全国1卷.11题）抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为石的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AKH,垂足为K,则4AKF的面积（A.4B.3展C.44D.8【解析】如图直线AF的斜率为73时/AFX=60°.△AFK为正三角形.设准线l交x轴于M,则FM|=p=2,且/KFM=60，.二KF=4,S戌kf=~~~4444^3.选C.【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的（2）本题如果用解析法, 但决没有如上的几何法简单 .需先列方程组求点 A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难,面积用公式SA=J3a2计算.（3）定义法一一追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线22xyCl：—-2r=1（a>0,b>0）的左准线为l,左焦点和右焦点分别为Fl和F2;抛物线C2的线为l,ab小一F1F2MF1焦点为F2；Ci与C2的一个交点为M,则一L斗—J―11等于（）MF1MF2A.-1B.1C.--D.-22【分析】这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距c,离心率为e/MH_Ll于H,令MF1 =r1, MF2 =r2;•点M在抛物线上,二 MH I =|MF2=「2,故|MF1| |MF1||mh| |mf2|"e这就是说:|MF^|的实质是离心率 |MF2|e.F1F2MF1其次，叵口与离心率e有什么关系？注意到:|MF1|2c=2=弛工ei->e-1.「1「1「1Ie)这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于| F1F21 |MFi || MF11 一 |MF21=(e —1)+e = -1.，选 A..(4)三角法——本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”一一达到解题目的 ^因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算 ^[例8] (07.重庆文科.21题)如图，倾斜角为a的直线经过y2=8x的焦点F,且与抛物线交于 A B两点。
I )求抛物线的焦点 F的坐标及准线l的方程；(n )若a为锐角，作线段 AB的垂直平分线 m交x轴于点P,证明|FPHFP|cos2a为定值,并求此定值解析】(I)焦点F (2, 0),准线l；x= —2.(n)直线 AB： y = tanc((x—2) (1 ).2x =y-代入(1),整理得：y2 tanot —8y—16tanu = 0 (2)! + _ 8设方程(2)之二根为y1, y2,则 " ，2 tan. s .y1 y2 = -16设AB中点为M (xo,yo2x0 = co" y0 2 = 4cot 工 “ 2AB的垂直平分线方程是:y -4cot: - - cot" i x -4cot2 二 一2 .令 y=0,则 x =4cot2 a6,有 P 4cot2： 6, 0故FP=OP-OF=4cot2a+6-2=4(cot%+1)=4cos2a于是|FP|-|FP|cos2a=4csc2a(1—cos2a)=4csc2口2sin2a=8,故为定值(5)消去法一一合理减负的常用方法..其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”^【例9】是否存在同时满足下列两条件的直线l:(1)l与抛物线y2=8x有两个不同的交点A和B；(2)线段AB被直线Ii:x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程.2【斛析】假te在抛物线y=8x上存在这样的两点A（xby1）,B*,y21则有:y22y2=8x)-=—1 、2 y〔 _、2 =8 x1 -x2 = kAB= 8x2yi - y2xi - X2 yi y21 . 口口 8 「一，二 kAB =5,即 =55 y1 y2_ ， ， 、， 4AB中点为M 1,- I.,5.故存在符合题设条件的直线，其方程为:・•・线段AB被直线11:x+5y-5=0垂直平分，且凡yVc4设线段AB的中点为M(x0,y0),则y0=2.代入x+5y-5=0得x=1.于是:4_y——=5(x—1)即：25x-5y-21=05（6）探索法一一奔向数学方法的高深层次.这时就得冷静分析，探索规律,有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”不断地猜想一一证明一一再猜想一一再证明.终于发现“无限风光在险峰”.【例10】（07.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A,将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1,Q2,…，Qn-1,从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1,△Q2P1P2,…，△Qn-1Pn-1Pn-1,当n-8时，这些三角形的面积之和的极限为^1• OA =1,，图中每个直角三角形的底边长均为 1 n设OA上第k个分点为PkK,0 .代入y = -x2 1： y = 1-k2. n n第k个三角形的面积为:. 1 一. . Sn 4 — ।2n I12 22 III - n-1n-1 。