1998考研数二真题及解析

1998 1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分, ,把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. .) ) (1) 20112lim xxx x→++−−= . (2) 曲线322yxxx= −++与x轴所围成的图形的面积A = . (3) 2lnsin sinxdx x=∫. (4) 设( )f x连续,则220()xdtf xt dtdx−=∫. (5) 曲线1ln()(0)yxexx=+>的渐近线方程为 . 二二、选择题、选择题( (本题共本题共5 5小题小题, ,每小题每小题3 3分分, ,共共1515分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一项符合题只有一项符合题 目要求目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内. .) ) (1) 设数列nx与ny满足lim0nnnx y →∞=,则下列断言正确的是 ( ) (A) 若nx发散,则ny发散 (B) 若nx无界,则ny必有界 (C) 若nx有界,则ny必为无穷小 (D) 若1nx为无穷小,则ny必为无穷小 (2) 函数23( )(2)f xxxxx=−−−的不可导点的个数是 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (3) 已知函数( )yy x=在任意点x处的增量2,1y xyxα∆∆ =++其中α是比(0)xx∆∆ →高阶的无穷小,且(0),yπ=,则(1)y= ( ) (A) 4eπ π (B) 2π (C) π (D) 4eπ(4) 设函数( )f x在xa=的某个邻域内连续,且( )f a为其极大值,则存在0δ>,当(,)xaaδδ∈−+时,必有 ( ) (A) ()[ ( )( )]0xaf xf a−−≥ (B) ()[ ( )( )]0xaf xf a−−≤ (C) 2( )( )lim0()()taf tf xxatx→−≥≠−(D) 2( )( )lim0()()taf tf xxatx→−≤≠−(5) 设A是任一(3)n n ≥阶方阵,A∗是其伴随矩阵,又k为常数,且0, 1k ≠±,则必有()kA∗= ( ) (A) kA∗ (B) 1nkA−∗(C) nk A∗ (D) 1k A−∗ 三、三、( (本题满分本题满分5 5分分) ) 求函数tan()4( )(1)xxf xxπ−=+在区间(0,2 )π内的间断点,并判断其类型. 四、四、( (本题满分本题满分5 5分分) ) 确定常数, ,a b c的值,使30sinlim(0).ln(1)xxbaxxc ctdtt→−=≠+∫五、五、( (本题满分本题满分5 5分分) ) 利用代换cosuyx=将方程cos2sin3 cosxyxyxyxe′′′−+=化简,并求出原方程的通解. 六、六、( (本题满分本题满分6 6分分) ) 计算积分3 2 122dxxx−∫. 七七、、( (本题本题满分满分6 6分分) ) 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为ρ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0)k k >.试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式( )y= f v. 八、八、( (本题满分本题满分8 8分分) ) 设( )yf x=是区间[0,1]上的任一非负连续函数. (1) 试证存在0(0,1)x ∈,使得在区间0[0,]x上以0()f x为高的矩形面积,等于在0[,1]x上以( )yf x=为曲边的梯形面积. (2) 又设( )f x在区间(0,1)内可导,且2 ( )( )f xfxx′> −,证明(1)中的0x是唯一的. 九、九、( (本题满分本题满分8 8分分) ) 设有曲线1yx=−,过原点作其切线,求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积. 十、十、( (本题满分本题满分8 8分分) ) 设( )yy x=是一向上凸的连续曲线,其上任意一点( , )x y处的曲率为 211y′+,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为1yx=+,求该曲线的方程,并求函数( )yy x=的极值. 十一、十一、( (本题满分本题满分8 8分分) ) 设(0,1)x∈,证明： (1) 22(1)ln (1);xxx++,从而 020232321010024343 2210(2 )(2 )434311858370(1)(44).43312312Aydxydxxxx dxxxx dxxxxxxx−−−=−+=−−+−++=−−−−−=−+−−−−=+=∫∫∫∫(3)【答案】cotlnsincot.xxxxC−⋅−−+ 【解析】因为()2cotcscxx′= −21 sin x= −,所以 2lnsin sinxdx x∫()lnsincotxxdx′= −∫lnsincotxdx= −∫ [cotlnsincotlnsin ]xxxdx −⋅−∫分部 coscotlnsincotsinxxxxdxx= −⋅+⋅∫22coscotlnsinsinxxxdxx= −⋅+∫ 221 sincotlnsinsinxxxdxx−= −⋅+∫ 2cotlnsin1sindxxxdxx= −⋅+−∫∫()cotlnsincotxxxdxx′= −⋅+−−∫cotlnsincotxxxxC= −⋅−−+. (4)【答案】2()xf x 【解析】作积分变量代换22,uxt=−2:0:0txu x→⇒→, ()222dud xttdt=−= −1 2dtdut⇒= −, 220()xtf xt dt−∫22uxt=−201( )2xtf udut=−∫220011( )( )22xxf u duf u du=−=∫∫, 2 22001()( )2xxddtf xt dtf u dudxdx−=∫∫()221()2f xx′=⋅221() 2()2f xxxf x=⋅=. 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若( )( )( )( )ttF tf x dxβα=∫,( ) tα,( ) tβ均一阶可导,则 [][]( )( )( )( )( )F ttfttftββαα′′′=⋅−⋅. (5)【答案】1yxe=+ 【解析】题中未说什么渐近线,所以三类渐近线都要考虑. 由曲线方程1ln()yxex=+知,铅直渐近线可能在两处：1xe+→ −及0x →,但题设0x >,所以1xe+→ −不予考虑,考虑0x+→的情况.当0x+→时, 01ln()1limln()1limlim0 ttxetxextxtet+→+∞→+∞→++ = =≠ ∞+洛, 所以无铅直渐近线； 因 1lim( )limln()limln, xxxy xxexex→+∞→+∞→+∞=+== +∞ 故无水平渐近线. 再考虑斜渐近线: 1limlim ln()1 xxyexx→+∞→+∞=+=, ()11limlimln() 1limlnln(1) 1111limln(1)lim,xxxxxyxxexexexxxexexe→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞−=+−=++−=+=⋅=(x → +∞时,11ln(1)exex+) 所以有斜渐近线y1xe=+. 【相关知识点】1.铅直渐近线：如函数( )yf x=在其间断点0xx=处有0lim( ) xxf x →= ∞,则0xx=是函数的一条铅直渐近线； 水平渐近线：当lim( ),( xf xa a →∞=为常数）,则ya=为函数的水平渐近线. 斜渐近线： 若有( )lim,lim[ ( )] xxf xabf xaxx→∞→∞==−存在且不为∞,则yaxb=+为斜渐近线. 二、选择题二、选择题( (本题共本题共5 5小题小题, ,每小题每小题3 3分分, ,共共1515分分, ,在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一项符合题只有一项符合题目要求目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.).) (1)【答案】(D) 【解析】方法方法1:1:直接利用无穷小量的性质可以证明(D)是正确的. 由1()nnn nyx yx=⋅及1lim0,lim0nnnnnx yx→∞→∞==可知ny为两个无穷小之积,故ny亦为无穷小,应选(D). 方法方法2:2:排除法. (A)的反例:22111,,limlimlim0nnnnnnnxn yx ynnnn→∞→∞→∞===⋅==满足题设,但lim0nny →∞=不发散； (B)的反例:21,21,0,21,1,2,0,2 ,2 ,2 ,nnknknkxyknkknk−=−=−=====, 满足lim0nnnx y →∞=,但ny不是有界数列； (C)的反例:1 11:1,,,,,2 3nxn有界数列,1(1,2,),nyn==满足1limlim0nnnnx yn→∞→∞==,但ny不是无穷小； 排除掉(A)、(B)、(C),故选(D). (2)【答案】(B) 【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是分段函数.22( )(2)1f xxxx x=−−−,当0, 1x ≠±时( )f x可导,因而只需在0, 1x =±处考察( )f x是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数. 由 22222222(2) (1),1,(2) (1),10,( )(2) (1),01,(2) (1),1,xxxxxxxx xxf xxxxxxxxx xx−−−,当(),xaaδδ∈−+时,( )( )f xf a≤,即( )( )0f xf a−≤.因此, 当(),xaaδ∈−时,[]()( )( )0;xaf xf a−−≥ 当(),xa aδ∈+时,[]()( )( )0xaf xf a−−≤. 所以,(A)与(B)都不正确. 已知( )f x在xa=处连续,由函数在一点连续的定义可知,lim( )( ) xaf xf a →=,再由极限四则运算法则可得 22( )( )( )( )lim0()()()taf tf xf af xxatxax→−−=≥≠−−. 应选(C). (5)【答案】(B) 【解析】 对任何n阶矩阵都要成立的关系式,对特殊的n阶矩阵自然也要成立.那么,当A可逆时,由1AA A∗−=,有 111111()()nnnkAkA kAkAAkA AkAk∗−−−−−∗==⋅==. 故应选(B). 一般地,若()ijn nAa×=,有()ijn nkAka×=,那么矩阵kA。