单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,1,、,掌握二面角的定义法,；,,2,、,掌握二面角的三垂线法,；,,3,、,掌握二面角的垂面法,;,,4,、,掌握二面角的射影面积法,;,,5,、掌握二面角的向量法学习目标:,,,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,,,这条直线叫做二面角的棱,,,这两个半平面叫做二面角的面,.,二面角的定义,:,复 习,:,2,、二面角的表示方法,A,B,,,二面角,,－,AB,－ ,,,l,二面角,,－,l,－ ,二面角,C,－,AB,－,D,A,B,C,D,A,B,,,C,E,F,D,二面角,C,－,AB,－,E,1,、定义,,二面角的平面角,:,,A,B,P,,,,,l,二面角的平面角必须满足,：,,3,）,角的两边都要垂直于二面角的棱,1,）,角的顶点在棱上,2,）,角的两边分别在两个面内,二面角的平面角的范围,:,0,,180,,,二面角的大小用它的平面角的大小来度量,以二面角的棱上任意一点为端点,,,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,,,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
A,1,B,1,P,1,注意,:,(,与顶点位置无关,),,∠,APB=,∠,A,1,P,1,B,1,,一、几何法,：,1,、定义法,:,以二面角的棱,a,上任意一点,O,为端点，在两个面内分别作垂直于,a,的两条射线,OA,OB,，,则,∠,AOB,就是此二面角的平面角,a,O,A,B,在一个平面 内选一点,A,向另一平面 作垂线,AB,，,垂足为,B,，,再过点,B,向棱,a,作垂线,BO,，,垂足 为,O,，,连结,AO,，,则,∠,AOB,就是二面角的平面角3,、垂面法,:,过二面角内一点,A,作,AB⊥,于,B,，作,AC⊥,于,C,，面,ABC,交棱,a,于点,O,，,则,∠,BOC,就是二面角的平面角a,A,B,C,O,2,、三垂线法,:,A,B,O,a,,P,A,B,C,D,过,E,作,ED⊥PC,于,D,，,则,∠,BDE,就是此二面角的平面角,连结,BD,，,过,B,作,BE⊥AC,于,E,，,E,,,∵△,ABC,为正,△,，,∴,BE=,在,Rt△PAC,中，,E,为,AC,中点，,,则,DE=,,在,Rt△DEB,中,tan ∠ BDE=,∴∠,BDE=,arctan,,例,1:,已知正三角形,ABC,，,PA⊥,面,ABC,，且,PA=AB=a,， 求二面角,A-PC-B,的大小。
三垂线法,:,,几点说明,：,⑴,定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法,⑵,三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法⑶,垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用,⑷,以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角,⑸射影法是在不易作出平面角时用在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,,,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用,练习,1:,正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,为棱,AA,1,的中点，求平面,EB,1,C,和平面,ABCD,所成的二面角A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,E,,E,F,G,A,B,D,C,A,1,B,1,D,1,C,1,H,F,G,B,C,D,A,H,练习,2,：在正方体,AC,1,中，,E,F,分别是中点,,,求截面,A,1,ECF,和底面,ABCD,所成的锐二面角的大小。
E,F,G,A,B,D,C,A,1,B,1,D,1,C,1,F,G,B,C,D,A,F,E,A,1,C,练习,2,：在正方体,AC,1,中，,E,F,分别是中点,,,求截面,A,1,ECF,和底面,ABCD,所成的锐二面角的大小练习,3,：三棱锥,P-ABC,中，,PA ⊥,平面,ABC,，,PA=3,，,AC=4,，,PB=PC=BC,（,1,）求二面角,P-BC-A,的大小； （,2,）求二面角,A-PC-B,的大小P,A,B,C,D,E,,1,、方向向量法,:,二、向量法,：,l,A,B,C,D,将二面角转化为二面角的两个面,,的方向向量（在二面角的面内垂直于二面角的棱且指向该面方向的向量）所成的角x,y,z,解,：,建立如图所示的空间直角坐标系,D,－,xyz,，,不妨设正方体的棱长为,2,，,BD,的中点为,O,，,则,B(2，2，0)，A,1,(2，0，2)，C,1,(0，2，2)，O（1，1，0）,∴ A,1,O⊥BD，C,1,O⊥BD,∴ 即为二面角,A,1,-BD,－,C,1,,的平面角∴,二面角,A,1,－,BD,－,C,1,的大小为,,求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。
,,m,n,如图：二面角的大小等于,,-,,2,、平面法向量法,:,,2,、平面法向量法,:,求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小m,n,α,β,如图：二面角的大小等于,,,例,4:,在底面是直角梯形的四棱锥,S—ABCD,,中，∠,ABC=,90°,，,SA,⊥,面,ABCD,，,,,AD=,,SA=AB=BC=,1,，,,求面,SCD,与面,SBA,所成的二面角的大小,.,x,y,z,解：以,A,为原点，如图 建立空间直角坐标系因为二面角为锐角 x,y,z,,,,小 结,1,、二面角的定义,2,、二面角的平面角的定义,3,、二面角的平面角的求解：,,①找（或作）出平面角,,⑴定义法 ⑵棱的垂面法,,⑶三垂线定理法 ⑷向量法,,②求解,,解三角形或用向量的夹角公式,,。