第四章微分中值定理和导数的应用4.1微分中值定理本节主要介绍微分学的几个中值定理,它们将可导函数在两点的函数值与这两点之间某 一点的导数值联系在一起，揭示了函数的整体性质与局部性质之间的关系，从几何上讲，微 分中值定理给出的是整体量(割线斜率)与局部量(切线斜率)之间的关系费马引理：设函数y=f (x)在 的一个邻域 上有定义，并在 可导，如果(或 ) ，贝.4.1.1罗尔定理罗尔(Rolle)定理：若函数f (x)满足条件：(1) 在闭区间［a, b］上连续；(2) 在开区间(a, b)内可导；(3) f (a) =f (b)，则在(a,b)内至少有一点 ，使得导数为 等于零的点称为函数 的驻点.罗尔定理的几何意义是：如果AB是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直与x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，那么在曲线弧AB上至少存在一点C ( )，在该点处曲线的切线平行于x轴，如图4-1所示.注意罗尔定理的三个条件是结论的充分条件，即如果缺少某一条件，结论就可能不成 立，但是即使三个条件都不满足，结论中的 仍可能存在，例如：(1) 函数 在区间［-2, 2］上除 不存在外，满足罗尔定理的其他条件，但在(-2,2)内找不到一点使得(2) 函数 在区间［0, 1］上除了 x=0处不连续外，满足罗尔定理的其他条件，但在(0,1 )内 ，因此在(0,1)内找不到一点使得 •例1•验证函数 在区间［-1,］上满足罗尔定理的条件，并求定理中的值.［答疑编号 506426040101］解：由于 是()内的初等函数，所以在区间［T,］上连续，在区间(-1，)内可导，且又因为 ，所以f (x)在［-1,］上满足罗尔定理的条件.令 ，解得 ，即 ，使例2•下列函数中，在区间［-1,1］上满足罗尔定理条件的是()•(A) (B)(C) (D)［答疑编号 506426040102］答案：B解析： 在x=0处无定义， 与 中，例3•下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的条件？如果满足，求出定理中的 值(1)（2）［答疑编号 506426040103］解：（1）显然y=ln （sinx）在 上连续， 在上有定义，且 所以满足罗尔定理，令（2） 在x=0处无定义，所以不满足罗尔定理.例4•判断函数 的导数方程 有几个不同实根.［答疑编号 506426040104］解：由于 为多项式函数，故 在区间［ ］与［ ］上连续，在区间（ ）与（ ）内可导，且根据罗尔定理，在（ ）内至少存在一点，使得 ，即为 的一个实根；在（ ）内至少存在一点为的一个实根.又 为一元二次方程，至多有两个实根，故方程 有两个不同实根.例5.不求导数，判断函数的导数有几个零点，并指出它们所在的区间.［答疑编号 506426040105］解：由于 为多项式函数，故 在区间 上连续，在区间 内可导，且根据罗尔定理：在 内至少存在一点，使得 在内至少存在一点，使得 在 内至少存在一点，使得又 为一元三次方程，至多有三个零点，故方程 有三个不同实根，分别位于区间 内，4.1.2拉格朗日中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理：设函数f （x）满足条件：（1） 在闭区间［a，b］上连续；（2） 在开区间（a, b）内可导，则在（a,b）内至少有一点 ，使得显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当f （a） =f （b）时的特殊情形，拉格朗日中值定 理是罗尔定理的推广.如图•割线AB的斜率为 ，点C处切线的斜率为 ，拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线y=f（x）的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切 线，那么在弧AB上至少有一点C（ ），该点处的切线平行于割线AB.推论1：如果函数f（X）在区间（a,b）内任意一点的导数 都等于零，那么函数f（x）在（a, b）内是一个常数.推论1：如果函数f （x）在（a, b）内每一点的导数 与 都相等，则这两个函数在区间（a, b）内至多相差一个常数，即 ，这里C是一个确定的常数.例6.验证函数 在区间［-1,0］上满足拉格朗日中值定理的条件，并求定理中的值.［答疑编号 506426040106］解：显然 在［T,0］上连续， 在 内有定义，即 在 内可导，故 在区间 上满足拉格朗日中值定理的条件，根据拉格朗日中值定理，得所以例7•下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件？如果满足，求出定理 中的值.（1）（2）［答疑编号 506426040107］解：（1）显然在［0,2］上连续,在（0,2）上有定义，所以满足拉格朗日中值定理，即所以（2） 在x=1处无定义，所以不满足拉格朗日中值定理.例&证明：[答疑编号 506426040108]证：当x=± 1时，等式显然成立.当 时，设 ，由于所以又因为 ，故例9•利用拉格朗日中值定理，证明下列不等式：（1） ；（2） ；（3）[答疑编号 506426040109]在(a,b)内有定义,解：(1) y=arctanx 在［a, b］上连续,(2) y=sinx 在［x,y］上连续，y' =cosx 在(x, y)内有定义，£ II sinx—siny I = I cos§ ・(x-y)|W| x—y I, f e(x, y).(3) y=ln (1+x)在［0,x］上连续， 在(0,x)有定义，则又因为 1〈1+f <1+x，所以 即4.2洛必达法则如果当x- (可以为)时，两个函数f (x)与g (x)都趋于零或趋于无穷大,那么极限 可能存在，也可能不存在，通常称这类极限为不定式，记为“ ”或“ ”对于这类极限，即使它存在，也不能直接使用第二章中商的极限的运算法则4.2.1基本不定式“ ”型或“ ”型的极限定理4.3设函数f (x) ,g (x)满足条件：(1) ;(2) 在点 的某个去心邻域内， 与 都存在，且(3) 存在或为无穷大，则定理4.4设函数 满足条件:(2)在点 的某个去心邻域内,都存在，且（3） 存在或为无穷大，则上面的定理中将分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛必达法则 使用洛必达法则时必须注意：（1） 必须是“ ”或“ ”型不定式.（2） 还是“ ”或“ ”型不定式，且函数 仍满足定理中满足的条件，则可以继续使用洛必达法则，即（3） 若无法判定 的极限状态，或能判定它的极限振荡而不存在，则洛必达法则失效，此时，需用别的方法来求（4） 若把定理中的 换成 此时只要把定理中的条件（2）做相应的修改，定理仍然成立.例 1.（1） （2）（3） （4）（5）[答疑编号 506426040201]解：（1）(3)(4)(5)例2.求下列极限：(1) ; (2)(3) ; (4)[答疑编号 506426040202]解：(1)(2)(3)(4)例3.求下列极限：(1) (2)解：(1)(2)例4.求[答疑编号 506426040204]解：由于当 时， ，故例5.求[答疑编号 506426040205]解：这个极限属于“ ”型不定式，但振荡不存在，故洛必达法则失效，需用其他方法求此极限，事实上 有例6. (1)下列极限问题中，不能够使用洛必达法则的是()•(A) (B)(C) (D)[答疑编号 506426040206]答案：A解析： ，此时无极限，故洛必达法则失效.(2) 下列极限问题中，能够使用洛必达法则的是().(A) (B)(C) (D)[答疑编号 506426040207]答案：C解析： ，可以使用洛必达法则.4.2.2其他不定式未定型分为7种 ，例7.求下列极限：(1) (2)(3) (4)(5)[答疑编号 506426040208]解：(1)(2)(3)(5)例&设，是连续函数，求a的值.［答疑编号 506426040209］解：4.3函数单调性的判定定理4.5 （单调性判定定理）设函数f （x）在［a,b］上连续，在（a,b）内可导.(1) 若在 (a,b)内，则f （x）在［a,b］上单调增加.（2）若在（a,b）内，则f （x）在［a,b］上单调减少.定理的证明可由拉格朗日中值定理推得，这里从略注意：（1）如果定理中的［a,b］换成其他各种区间（包括无穷区间），结论仍然成立（2）如果在（a,b）内立。
且等号仅在个别点处成立，结论仍然成例1.，是函数f （x）在（a,b）内单调增加的（）.（A）必要条件（B）充分条件（C）充要条件（D）无关条件［答疑编号 506426040301］答案：B判定函数f （x）单调性的步骤：（1）确定函数f （x）的定义域.(2)求，找出或 不存在的点，这些点将定义域分成若干小区间.（3）列表，有 在各个小区间内的符号确定函数f （x）的单调性.例2.判断函数 的单调性.[答疑编号 506426040302]解：函数 的定义域为（ ），它在（-8, +8）内可导，且，只有当x=0时， ，所以函数 在（-8, +8）内单调增加.例3.确定下列函数的单调区间：（1） （2）[答疑编号 506426040303]解：（1）函数 的定义域为（-8, +8），又令 ，得 x=-1， x=1.列表如下：x(-8, -1)-1(-1,1)1(1, +8)+0—0+f (x)2\-2注：表中符号表示单调增加，表示单调减少，下同 所以，f（X）在（-8, -1），（1，+8）内单调增加；在（-1,1）内单调减少.（2）函数 的定义域为（-8, +8），又当x=0时， 不存在.列表如下：x(-8, 0)0(0, +8)—不存在+f (x)\0所以，f（X）在（-8, 0）内单调减少；在（0, +8）内单调增加.例 4.证明：当 x>0 时，x〉ln （1+x）.证：令 f (x) =x-ln (1+x)，则当x>0时， ，所以f (x)在(0, +8)内单调增加，故f (x) >f(0).又因为f (0) =0,所以f (x) =x-ln (1+x) >0,即 x>ln (1+x)例5.当x>1时，[答疑编号 506426040305]解：令 则 ，当x>1时，f' (x) >0，所以f(X)在(1,+8)内单调增加，故 f (x) >f (1) =0，所以4.4函数的极值及其求法定义4.1设函数f (x)在点X。
的某个邻域内有定义，对于邻域内异于X的任意一点x 均有f (x) f (x°))，则称f (x°)是函数f (x)的极大值(或极小值)，称x0是函数f (x)的极大值点(或极小值点)函数的极大值和极小值统称极值；函数的极大值点和极小值点统称为极值点显然，函数的极值是一个局部性的概念，它只是在与极值点x0附近局部范围的。