1.如图，等边△ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE,EC延长线交BP于M，连接AM,求证：〔1〕BP=CE； 〔2〕试证明：EM-PM=AM.2.，如图①所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点．〔1〕求证：①；②；CENDABM图①CAEMBDN图②〔2〕在图①的根底上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出〔1〕中的两个结论是否仍然成立. 3.：如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使，连接．〔1〕求证：；〔2〕过点作，交于点，请你连接，并判断是怎样的三角形，试证明你的结论．4、在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点．如图1，观察并猜测，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；ADBECFADBECFABCDEF5. 如下图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．6中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、〔或它们的延长线〕于、当绕点旋转到于时〔如图1〕，易证AECFBD图1图3ADFECBADBCE图2F当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，不需证明．7、AC//BD,∠CAB和∠DBA的平分线EA、EB与CD相交于点E.求证:AB=AC+BD.8.等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC=120°，BD=DC．∠MDN=60°射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，①当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系．②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜测①中的结论还成立吗？假设成立，请证明．③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系．9.如图1，BD是等腰的角平分线，.ABCDFE图2〔1〕求证BC=AB+AD；〔2〕如图2，于F，交延长线于E，求证：BD=2CE；10、如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，则∠B与∠ADC互补.为什么？DBEAC11如图，在△ABC中∠ABC,∠ACB的外角平分线交P.求证:AP是∠BAC的角平分线EBAC图2D12、如图在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＋∠ABC＝180度，CE⊥AD于E，猜测AD、AE、AB之间的数量关系，并证明你的猜测，13如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD14如下图，在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC，DF⊥AC，垂足为F，DB=DC，求证：BE=CF15如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答以下问题：〔1〕如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；OPAMNEBCDFACEFBD图①图②图③〔2〕如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由16、：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G (!)求证：BF=AC； (2)求证：CE=BF； (3)CE与BC的大小关系如何？试证明你的结论17、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：CA是∠DCF的平分线18如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AC上的一点，BD=DC，P是BC上的任一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F为垂足．求证：PE+PF=AB．19.如图，△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．〔1〕如果点P段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q段CA上由点C向点A运动．①假设点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②假设点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？〔2〕假设点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过后，点P与点Q第一次在△ABC的边上相遇？〔在横线上直接写出答案，不必书写解题过程〕20：在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角△ADE，解答以下各题：如果AB=AC，∠BAC=90°．〔i〕当点D段BC上时〔与点B不重合〕，如图甲，线段BD，CE之间的位置关系为〔ii〕当点D段BC的延长线上时，如图乙，i〕中的结论是否还成立？为什么？21.如图14-1，在△ABC中，BC边在直线l上，AC⊥BC，且AC = BC．△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．〔1〕在图14-1中，请你通过观察、测量，猜测并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；〔2〕将△EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜测并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜测；〔3〕将△EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为〔2〕中所猜测的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？假设成立，给出证明；假设不成立，请说明理由．22.如图1，A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，假设AB=CD，试说明BD平分EF；假设将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时，其余条件不变，BD是否还平分EF，请说明理由。
23如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．求证：〔1〕AE＝CD； 〔2〕假设AC＝12 cm，求BD的长． 24如图，两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，∠DEA=∠ACB=90°，∠DAE=∠ABC=30°，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．25BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系26.如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取 CG=AB，连结AD、AG 求证：〔1〕AD=AG， 〔2〕AD与AG的位置关系如何27：BD，CE是△ABC的高，点F在BD上，BF=AC,点G在CE的延长线上，CG=AB. 求证:AG⊥AFBCDAGEF28、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．图1 图2 图3〔I〕如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是； 此时； 〔II〕如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜测〔I〕问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证明； 〔III〕 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，假设AN=，则Q=〔用、L表示〕．29、四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交〔或它们的延长线〕于．当绕点旋转到时〔如图1〕，易证．当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，不需证明．〔图1〕〔图2〕〔图3〕30 在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G.〔1〕如图1，E为线段DC上任意一点，点F段DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．①求证：DG=DC②判断FH与FC的数量关系并加以证明．〔2〕假设E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。
在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变．〔本小题直接写出结论，不必证明〕31.直线CD经过的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且．〔1〕假设直线CD经过的部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，假设，则〔填“〞，“〞或“〞号〕；②如图2，假设，假设使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是；〔2〕如图3，假设直线CD经过的外部，，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．ABCEFDDABCEFADFCEB图1图2图332.：如图，四边形ABCD中，AC平分ÐBAD，CE^AB 于E，且ÐB+ÐD=180°，求证：AE=AD+BE 33.操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．34．如下图，△ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，且DE=DB，求证：AC=BE+BC35，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l的垂线，即AD⊥CE，BE⊥CE，〔1〕如图1，当CE位于点F的右侧时，求证：△ADC≌△CEB；〔2〕如图2，当CE位于点F的左侧时，求证：ED=BE-AD；〔3〕如图3，当CE在△ABC的外部时，试猜测ED、AD、BE之间的数量关系，并证明你的猜测．36.如图1、图2、图3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，〔1〕在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。