第五章 狭义相对论基础内容：1. 经典力学的时空观；迈克耳逊—莫雷实验，长度收缩，时间延缓，同时的相对性，狭义相 对论的时空观质量与速度的关系；相对论动力学基本方程；相对论动量和能量2. 狭义相对论的基本原理；3. 洛仑兹坐标变换式；4.相对运动；重点与难点：1. 经典力学的时空观2. 迈克耳逊-莫雷实验3. 狭义相对论的基本原理；3. 质量与速度的关系；4. 相对论动量和能量5. 相对论动力学基本方程要求：1. 了解爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设2. 了解洛伦兹坐标变换了解狭义相对论中同时的相对性以及长度收缩和时间延缓了解 伽利略的绝对时空观和爱因斯坦狭义相对论的时空观及其二者的差异3. 理解狭义相对论中质量和速度的关系、质量和能量的关系 相对论包括狭义相对论和广义相对论两部分内容.狭义相对论提出了新的时空观，建立了物体高速运动所遵循的规律，揭示了时间和空间、质量和能量的内在联系.广义相 对论提出了新的引力理论，开始了有关引力本质的探索.本章仅介绍狭义相对论的运动学 以及相对论动力学的主要结论.§5-1 伽利略变换与力学相对性原理为了理解相对论时空观的变革，首先回顾一下牛顿力学的时空观.一、伽利略变换与绝对时空观 要描述某一个事件，应该说明事件发生的地点和时间.这就需要确定一个参考系，并 在其中使用一定的尺和钟，用以确定事件发生的空间坐标和时间坐标，即用x、y、z来 表示事件发生的空间位置，用t来表示事件发生的时刻.设有分别固定在两个惯性参考系上的两个直角坐标系S和S'，如图5-1所示，相应的 坐标轴相互平行，S'系相对于S系以恒定速度v沿x轴正方向运动.现在要讨论的问题是： 如果在S系上的观测者测得某一事件P发生的位置和时刻分别为x、y、z和t，而在S'系 上观测者测得同一事件P发生的位置和时刻分别为x'、y'、z'和t'，那么x、y、z、t 和x'、y'、z'、t'之间的关系如何呢？图 5-1讨论这一问题时，两个观测者所使用的尺和钟应当完全相同．即把它们放在同一参考 系的同一位置时，两把尺子的长度是相同的，两个钟的快慢也是相同的．为了讨论简单起 见，令两坐标系的原点O与O'重合的时刻为两个坐标系计时的起点，即这时t = t'二0 .从图 5-1分析，并把时间的量度也考虑进去，便可得到x' = x - vt5-1）y' = yz = zt =t这组关系式称为伽利略时空变换式．同样还可以得到x = x' + vt '5-2）y=yfz=zt=t通常把（5-1）式称为正变换，把（5-2）式称为逆变换．此两式就是一个事件在两个 相对运动的惯性系中测得的时空坐标的关系．以u和u'分别表示同一质点在S和S'系中的速度，由（5-1）式的前三式对时间t求 导数，并考虑到t=t'，得到dx' dx——= vdt' dtdy-drdz-dr= = r f f f dydrdzdr按速度的定义，即有u = u - vx xru =uyyu =uz z -（ 5-3）或写成矢量式u =u-v（ 5-4）（ 5-3）式和（5-4）式称为伽利略速度变换公式．在导出伽利略变换时，已经隐含着牛顿的时空观．这种时空观认为，空间是一个与物 质运动无关的、永恒不变的、固定不动的独立存在的框架，因此，长度测量是绝对的，与 参考系无关；时间单向永远地流逝着，因此，时间间隔的量度也是绝对的，与参考系无关．时 间、空间和物质客体三者是彼此独立、相互无关的.正是以绝对时空观为前提，事件P发 生的空间位置到O'y'z'平面的距离，在S系和S'系来量度，所得的量值是相等的，即 x' = x-vt ；由t0 = t0= 0，可以得到在S系和S'系测量事件P发生的时刻是相同的，即 t' = t .由此可以推论：如果有两个事件在S系看来同时发生，在S'系看来也必定同时发 生．也就是说同时性是绝对的，与参考系无关．绝对时空观与日常生活经验是一致的，因 而长期被人们认为是普遍正确的.伽利略变换就是绝对时空观的数学表述.二、力学相对性原理现在研究由S系和S'系测量同一质点运动的加速度a和a的关系.由（5-4）式对时 间求导数，考虑到t' = t，以及两惯性系之间的相对速度v与时间无关，即得du' _ du~dt即 a'= a上式表明，同一质点的加速度在S系和S'系测得的量是相同的.在牛顿力学中，一个质点的质量是不因其运动而改变的，因此，在S系和S'系测量同 一质点的质量的量值m和m应相等，即m' = m .牛顿力学中的力只跟质点的相对位置或 相对运动有关，也是和参考系无关的，因此，在两惯性系中测量同一力所得的F和F'是 相同的，即F' = F .综上所述，若对于S系有F = ma，则对于S'系必然有F = m'a'.这 表明经过伽利略变换，牛顿第二定律的形式不变.也就是说，力学规律在一切惯性系中都 具有相同的形式.这个结论称为力学相对性原理.历史上，早在牛顿定律建立之前，伽利 略就通过观察和实验，论证了力学规律在所有惯性系中都是相同的，亦即从力学的观点看 来所有惯性系都是等价的.因此，力学相对性原理也称为伽利略相对性原理.§5-2 狭义相对论的基本假设与洛仑兹变换一、狭义相对论的基本假设在物体低速运动的范围内，伽利略变换和力学相对性原理是符合实际的.然而，在19 世纪下半叶，随着电磁理论的发展，电磁现象与经典力学理论产生了许多矛盾.特别是人 们确认光就是电磁波，并证明了在真空中光沿各个方向传播的速度都相同.光速（用c表 示）是相对于哪个惯性系而言的呢？当时的物理学家普遍认为，光是在所谓光以太这种特 殊介质中传播的.根据伽利略变换，相对于光以太运动的不同惯性系，光速是不同的.如 果有一个惯性系S'相对于光以太沿光的传播方向以速度v运动，那么，在S'系测得的光速 应该为c' = c-v ；如果有一个惯性系S"相对于光以太沿光的传播相反的方向以速度v运 动，那么，在S〃系测得的光速应为c‘‘ = c + v .由此看来，似乎可以通过测定光速的实验 来发现物体（例如地球）相对光以太的速度.光以太本身就可以当作特殊的静止参考系， 其他所有物体相对它运动.然而，人们在绝对静止的光以太这个观点的基础上，对大量实 验和观察的结果进行讨论研究，出现了许多矛盾.力学相对性原理和伽利略变换遇到了不 可克服的困难．这里不去叙述和解释那一系列矛盾的历史，而直接介绍爱因斯坦1905 年在 《论动体的电动力学》这一具有划时代意义的论文中提出的新的理论．爱因斯坦在前人，特别是洛仑兹和庞加勒工作的基础上分析了经典力学与电磁现象之 间的矛盾，重新审视了人们头脑中根深蒂固的伽利略变换所蕴含的绝对时空观，提出了两 个新的假设．这就是狭义相对性原理和光速不变原理，创立了狭义相对论，建立了崭新的 相对论的时空观．这两个假设表述如下：（1） 狭义相对性原理：一切物理定律在相对作匀速直线运动的所有惯性系内均成立．这 是对伽利略相对性原理的推广．它指出，相对性原理不仅适用于力学现象，而且适用于一 切物理现象．因此，不论是力学实验还是其他任何物理实验，都不能判定一个惯性系比另 一个惯性系更优越，光以太的假设是多余的．（2）光速不变原理：真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为c ,并与光源的运 动无关．一个世纪以来,人们进行了大量相关的实验,这些实验事实只能用相对论来解释和预 见．只能在有了这些牢固的实验基础以后,人们才能回过头来说这两个假设是反映客观实 际的基本原理．二、洛仑兹坐标变换式 爱因斯坦依据光速不变原理结合狭义相对性原理,得到了狭义相对论的坐标变换式, 即洛仑兹坐标变换式．洛仑兹坐标变换式是关于一个“点”事件在两个惯性系中的时空坐标之间的变换关 系．所谓“点”事件,是指某一时刻发生在空间某点上的事件．我们仍采取导出伽利略变 换时的两个惯性坐标系S和S'系（图5-1所示），相应的坐标轴彼此平行，S'系相对于S系 以恒定速度v沿x轴正方向运动.规定两惯性坐标系中观测者所使用的尺和钟完全相同.同 样规定，两坐标系原点重合时为计时起点.设某一事件在惯性系S中的时空坐标为（x、y、 z、t ）,在惯性系S'中的时空坐标为（x'、y'、z'、t'）,洛仑兹坐标变换式为x - vtvt - xc2c 2其逆变换为具有空间坐标和时间坐标．所以在应用洛仑兹变换处理问题时，要特别注意两组时空坐标 是否代表同一物理事件的坐标．从（5-5）和（5-6）式可以看到，c是自然界的一个极限速度.为了使x'和t保持为 实数，v不能大于c.这表明两个参考系的相对速度不可能大于光速.由于参考系总是借 助于一定的物体而确定的，所以任何物体的速度都不可超过光速．从（5-5）和（5-6）式还可以看到，当S'系相对S系的速度v << c时，洛仑兹变换就 过渡到伽利略变换.§5-3 狭义相对论的时空观从洛仑兹变换可以得出四个主要结论，它们标志着相对论时空观区别于绝对时空观的 特点之所在.一、时间作为“第四维”从洛仑兹变换公式中可以看到，我们必须改变绝对的、普遍的时间概念.由（5-5）组 式中的第四式可知，S'系的观测者测得某事件发生的时刻t'不但与S系的观测者测得的时 刻t有关，而且与位置x有关，因而，我们不能把空间和时间作为彼此分离的概念，用三 个空间坐标和一个独立的时间坐标来表征一个事件，而应用洛仑兹变换“混合在一起”的 四个时空坐标来代替.在数学上，时刻可当作第四个空间坐标来看待，因此，有时将时间 称为“第四维”.二、同时的相对性按照伽利略变换，S系中的观测者测到两事件同时发生，则在S'系中的观测者亦测到 两事件同时发生，即同时是绝对的.现在讨论洛仑兹变换的情况.设有两个事件P和P，12S系中的观测者测得其时空坐标分别为（x , y ,z ,t ）和（x , y ,z ,t ）；在S系中的观1 1 1 1 2 2 2 2测者测得其时空坐标分别为（x', y', zt'）和（x', y', z',t'）.按照洛仑兹变换，有在S系和S'系测得的时间间隔分别为（t2--）和（t2-［），它们之间的关系为215-7)由此可见，在两个相对作匀速直线运动的惯性系中测得的时间间隔，一般说来是不相同的12若两个事件P和P在S系中的观测者看来是同时发生的，即t二t，由（5-7）可得 21t'—t'21t — t 丰 0 .21,t2这一结果表明，在一个惯性系中不同地点同由上式可以看出，当x丰x时，12时发生的事件，在相对它运动的任一其他惯性系中的观测者看来，并不同时发生.只有在 一个惯性系中同一地点、同一时间发生的两个事件，在相对它运动的另一惯性系看来，才 会同时发生.同时是相对的.三、时间间隔的相对性设在S'系中某点X处先后发生了两个事件p和p,其时刻分别为t；,t；，时间间隔为 t'一 t'.注意到P和P在S'系中的空间坐标相同，由（（5-6）式有 1 22 1 1 2vvt + X t + X由此可得t2At'上式表明，在S'系中同一地点先后发生的两个事件，在S系中的观测者测得其时间间隔， 比在S'系中的观测者测得其时间间隔长.通常，把在某一惯性系中同一地点先后发生的两 个事件的时间间隔称为固有时间间隔，用 At 表示.一般地说，在与该惯性系有相对运动0的另一惯性系中测得的这两事件的时间间隔为At总是大于At，这个效应叫做时间膨胀效应.时间膨胀效应表。