单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 场论,第,6,讲 矢量场的通量及散度,主要内容,1.,通量,2.,散度,3.,平面矢量场的通量与散度*,教材：第,2,章 第,3,节,简单曲线与简单曲面术语介绍,（,1,）简单曲线：,设连续曲线参数方程为：,曲线上的每一点都只对应唯一的一个参数值,t.(,闭合曲线闭合点除外,),简单曲线的一般特征是一条没有重点的连续曲线2,）简单曲面：,设连续曲面参数方程为：,曲面上的每一点都只对应唯一的一个参数值,（,u,v,）,.(,闭合曲面闭合点除外,),简单曲面的一般特征是一条没有重点的连续曲面1.,通量,引例：,设有流速场,v(M),流体是不可压缩的，设其密度为,1.,求单位时间内流体向正侧穿过有向曲面,S,的流量,Q,（如图）取微元,ds,(,微元内速度矢量和法矢量近似看做不变,),，则穿过,ds,的流量,dQ,近似等于：,以 表示点,M,处的单位法矢量则流量表示为：,令 为在点,M,处的这样一个矢量，其方向与法向量,n,一致，其模等于面积,ds,据此，在单位时间内向正侧穿过,S,的流量，就可用曲面积分表示为：,又如：在电位移矢量,D,分布的电场中，穿过曲面,S,的电通量：,在磁感应强度矢量,B,分布的电场中，穿过曲面,S,的磁通量：,通量定义,：,设有矢量场,A(M),沿其中有向曲面,S,某一侧的曲面积分：,叫做矢量,A(M),向积分所沿一侧穿过曲面,S,的,通量,。
若：,则有：,通量是可叠加的在直角坐标系中，设,则通量可写成：,又：,例,1,：,设由矢径 构成的矢量场中，有一由圆锥面 及平面 所围成的封闭曲面,S,如图，试求矢量场 从,S,内穿出,S,的通量,解：,以 表示曲面,S,的平面部分，以 表示锥面部分，则通量为：,其中,其中 为 在,xOy,面上的投影在 上有 则：,所以：,例,2,：,设,S,为曲面 被围在圆柱面 内的部分，求矢量场 向下穿出,S,的通量 解：,S,为函数 当,u,取值为,0,时的一张等值面由于矢量场向下穿出,S,的方向，是,z,减小的方向同时也是,u,值减小的方向，故,S,朝此方向的单位法矢量为：,所求通量为：,通量为正负时的物理意义：,对于流速场,v(M),设在单位时间内流体向正侧穿过,S,的流量为,Q,，根据前面所述，单位时间内流体向正侧穿过曲面元素,dS,的流量为：,其结果是个代数值：若,v,从曲面的负侧传到曲面的正侧时，,v,与,n,夹角为锐角因此,dQ,为正流量，如下图左所示；反之，,v,与,n,夹角为钝角,dQ,为负流量，如下图右所示：,因此，对于总流量,一般应理解为：单位时间内流体向正侧穿过曲面,S,的正流量与负流量的代数和。
如果,S,为一封闭曲面，此时积分 一般指沿,S,的外侧，此时流量表示从内穿出,S,的正流量与从外穿入,S,的负流量的代数和若,Q0,那,S,内必,有正源,；同理,Q0,S,内必,有负源,但是当,Q=0,时，不能断言,S,内无源例,3,：,在点电荷,q,所产生的电场中任何一点,M,处的电位移矢量为,其中,r,是点电荷,q,到点,M,的距离，是从点电荷,q,指向点,M,的单位矢量设,S,为以点电荷为球心，,R,为半径的球面，求从内穿出,S,的电通量 解：,如图，在球面,S,上恒有,r=R,且法矢量,n,与 的方向一致，所以,2.,散度,散度定义：,设有矢量场,A(M),，于场中一点,M,的某个领域内作一包含,M,点在内的任一闭曲面,S,，设其所包围的空间区域为,，以,V,表示其体积，以,表示从其内穿出,S,的通量，若当,以任意方式缩向点,M,时，比式：,的极限存在，此极限为矢量场,A(M),在点,M,处的,散度,记作,div A,散度,div A,为一数量，表示在场中一点处通量对体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处,源的强度div A,的符号为正表示该点处有散发通量的正源，反之则有吸收通量的负源。
其绝对值,|div A|,表示该点处散发或吸收通量的强度当,div A,的值为零时，表示该点处无源，由此称,div A0,的矢量场为,无源场把,矢量场,A,中每一点的散度与场中的点一一对应起来就得到一个数量场，称之为由此矢量场产生的,散度场散度在直角坐标系中的表达式：,定理：,在直角坐标系中，矢量场,在任一点的散度为：,证明：,由高斯公式得,：,再按中值定理有,M,*,为,内的某一点，由此：,当,缩向点,M,时，,M,*,就趋于,M,所以,推论,1,：,高斯公式可写成如下的矢量形式：,推论,2,：,穿出封闭曲面,S,的通量等于,S,所围区域,上的散度在,上的三重积分,由推论,1,可知：若在封闭曲线,S,内处处有,divA=0,推论,3,：,若在矢量场,A,内，某些点（或区域）上有,divA0,或,divA,不存在，而在其他的点都有,divA=0,，则穿过包围这些点（或区域）的任意两张封闭曲面的通量都相等，为一常数例,4,：,在点电荷,q,所产生的静电场中求电位移矢量,D,在任一点,M,处的散度,div D,解：,取点电荷所在之点为坐标原点，此时：,其中,因此,于是有,（,r 0,）,所以,可见，除点电荷,q,所在的原点（,r=0,）,divD,不存在外，电位移,D,的散度处处为零，为一无源场。
根据推论,3,和例,3,有电场穿过包含点电荷,q,在内的任何风闭曲面,S,的电通量都等于,q,，再根据通量可累加，可以得出电学上的,高斯定理：,穿出任意封闭曲面,S,的电通量，等于其内各点电荷的代数和对于在电荷连续分布的电场中，点位移矢量,D,的散度为：,根据高斯定理：,即电位移,D,的散度等于电荷分布的体密度散度运算的基本公式：,（,c,为常数）,(u,为数性函数,),例,5,：,已知 求,由基本公式得：,故,由于,解：,3.,平面矢量场的通量与散度*,上面讨论的是空间矢量场的通量和散度，用类似的方法可引入平面矢量场的通量和散度；,为此将平面有向曲线上任一点处的法矢量,n,的方向做这样的规定：若将,n,按逆时针方向旋转,90,度，它便与该点处的切向矢量,t,共线且同指向，如图：,通量定义,（平面矢量场）,设有平面矢量场,A(M),沿其中某一有向曲线,l,的曲线积分,叫做矢量场,A(M),沿法矢量,n,的方向穿过曲线,l,的,通量,在直角坐标系中，设,又曲线,l,的单位法矢量,则通量,可表示为：,若,l,为封闭平面曲线，取其逆时针为正方向，而且对于环绕,l,一周的曲线积分 来说，默认表示积分沿,l,的正方向进行。
据此，可引出散度的定义；,散度定义,（平面矢量场）,设有平面矢量场,A(M),于场中一点,M,的某个领域内做已包含点,M,在内的任一闭曲线,l,，设其所包围的平面区域为,，以,S,表示其面积，以,表示从其内穿出,l,的通量，若当,以任意方式缩向点,M,时，比式：,的极限存在，则称之为矢量场,A(M),在点,M,处的,散度即,类似地引入格林公式：,在直角坐标系中散度可表示为：,因此格林公式可写成如下的矢量,形式：,例,6,：,已知平面矢量场 其中,a,为常数，（,1,）求场,A,穿出使,divA=0,的等值线的通量；,（,2,）求,divA,在点,M(2,-1),处的方向导数的最大值解：,（,1,）因,使,divA=0,的等值线为一圆周,场,A,穿出,l,的通量为：,使用极坐标计算，则：,（,2,）,divA,在点,M,（,2,，,-1,）处的方向导数的最大值为：,作业,P65,习题,3,：,1,，,2,，,3,，,6,10,Homework 5,。