实验五 定积分的近似计算我们已经学习了定积分的基本概念和定积分的计算方法，那里所谓的计算方法，是基于 原函数的牛顿-莱布尼兹公式但在许多实际问题中遇到的定积分，被积函数往往不用算式 给出，而通过图形或表格给出；或虽然可用一个算式给出，但是要计算它的原函数却很困难， 甚至于原函数可能是非初等函数本实验的目的，就是为了解决这些问题，介绍定积分的“数 值积分”，即定积分的近似计算所谓定积分的近似计算，就是找到一个适当的计算公式，利用被积函数在积分区间上若干个点处的函数值，来计算定积分的近似值，并作出误差估计我们知道，定积分Jbf (x)dx a在几何上表示曲线y二f (x)，直线x二a, x二b及x轴所围成的曲边梯形的面积定积分近 似计算的思想，就是将积分区间分割成许多小区间，然后在小区间上近似计算小曲边梯形的 面积，最后将小曲边梯形的面积求和，就得到了定积分的近似值1、 观察黎曼和式的收敛性由定积分的定义知道，定积分就是黎曼和式工f (E )Ax的极限，因此可以用黎曼和iii=1式来近似计算定积分为计算方便，这里特殊的，将积分区间等分为段，并以小区间中点bp — 1 b? —处的函数值作近似，于是黎曼和式为： 乙f (a + ((k — 1) + 0.5) )，nnk=1因而 Jbf (x)dx 〜-_-工 f (a + ((k — 1) + 0.5) -_a)。
a n nk=1例1 计算J 3 dx的黎曼和2 ln x解：输入命令如下：f x_ : 1 Log x a 2 b 3 n 200ba bas NSum fa k 1 0.5 , k, 1,上述命令是将区间［2, 3］等分为200段，运行求得黎曼和为：1.118?22、 梯形法大家可以看出，用上述方法进行的近似计算，其实是对小曲边梯形的面积用矩形面积 来近似，上面取的特殊的黎曼和又称为中点积分公式如果不用矩形而改用梯形来近似，就 可以得到定积分的一个较好的近似方法——梯形积分法具体方法如下：将区间［a，-］用a = x ,x，…,x = b等分为n个小区间，小区间的长度为 设0 1 n ny = f (x ) = f (a + i-—a) (i = 0,1,…,n)，则每个小梯形的面积为儿 二乙1 - ，从i i n 2 n而得到梯形法的公式为：Jbf (x)dx 沁「[( y + y ) +[ (y + y ) + ••• +[ (y + y )]b " a 2 0 1 2 1 2 2 n —1 nb—a 1[(y + y ) + y + y + …+ y ]n 2 0 n 1 2 n —1b — a「f(a) + f(b)丄戸 b — an 2 ni=1F面来估计梯形法的误差。
第i个小曲边梯形的面积为AAib 一 a 、 b - ax = x + -_ t，则 AA =Jxi+1 f (x)dx = J*1 f (x +i—1 n i x 0 i—1 ni[a, b]上连续时，利用分部积分法可以证明：t) •-n=1Xi+1 f (x)dx，做变换xidt，当f''(x)在区间AAi =穿「f( Ji)+ f(卩-譽 T 心 t)八 xi—1 + 号心设M为I f''(x)l在区间[a,b]上的最大值，则第i个小曲边梯形与相应的梯形面积之差的绝 2对值估计如下：I AA — [ f (x ) + f (x )] 1= (b - a)3 I J11 (1 — t) f''(x + b — at )dt Ii 2n i-1 i 2n 3 0 i—1 n< J11(1 — t)1 f''(x +2n 3 0 i-1 n匕 t )dt < • M Ji t (1 -1 )dt2n3 2 0=(b 一 a)3 M12n3 2=(b 一 补 M12n 2 2于是，梯形法的绝对误差为£少—""M12n3 2i=1例2 用梯形法近似计算J3丄』x，要求误差不超过10 -52 ln x解：设f (x)=，则f''(x) = 2、+ 1、，显然f''(x)在区间[2,3]上的最ln 2(ln )3 2(ln )2大值为M = f ''(2)。
下面我们根据梯形法利用Mathematica编程，在程序中，定义了n等 2分时的梯形公式t(n)，并采用“Do”命令进行循环直到满足精度要求或达到预定的循环次 数为止，每次循环要求输出n及t(n)输入命令如下:1 Log3 m2 b aN f'' 2 daltaf a f b Sum10A5 n0 100b a i ni, 1, n 1Do Print n," bar If -12 nA2",N t nn n0, Print "fail"从运行结果看,循环到100次结束，最后输出“fail”，这表明没有达到精度要求，如把 n0 的值改为 200，再次运行，发现循环到 n=130 时结束，此时达到精度要求，积分的近似 值为：1.11843m2delta, Breakn,3、 抛物线法 梯形法的近似过程是在每个小区间中用直线段来近似被积函数段，即逐段地用线性函 数来近似被积函数为了进一步提高精确度，可以考虑在小范围内用二次函数来近似被积函 数，这种方法称为抛物线法，也称为辛普森(Simpson)法具体方法如下：用分点a二x ,x ,x，…,x二b，将积分区间n等分(这里要求n为偶数)，各分点对 0 1 2 nb — a^应的函数值为y ,y ,歹，…，y，即y二f (x)二f (a + i )。
我们知道平面上三点可0 1 2 n i i n以确定一条抛物线y二px2 + qx + r，而相邻的两个小区间上经过曲线上的三个点，则由这 三点做抛物线(因此抛物线法必须将区间等分为偶数个小区间)，把这些抛物线构成的曲边 梯形的面积相加，就得到了所求定积分的近似值下面计算在区间［x ,x ］上以抛物线为曲边的曲边梯形面积为此，先计算区间L h,h］ 02上，以过(-h,y0),(0, yi),(h，y2)三点的抛物线y二px2 + qx + r为曲边的曲边梯形面积S：S = Jh (px 2 + qx + r)dx = 2fh (px 2 + r)dx = 2 ph 3 + 2rh ,— h 0 3由 y 二 ph 2 — qh + r, y 二 r, y 二 ph 2 + qh + r 得： ph 2 二 y + y — 2 y0 1 2 0 2 1故 S 二 13 + 6rh)= 1 h(2ph2 + 6r)二 1 h(y + 4y + y )3 3 3 0 1 2b—a取h二 ，则上面所求的S等于区间[x ,x ]上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积同n 0 2理可以得到区间［x , x ］上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积: i—1 i+1b—aS 二 (y + 4y + y ), i = 1,2,…,n — 1。
i 3n i —1 i i+1n于是，将这工个曲边梯形的面积加起来，得到定积分的近似值为(设n = 2k)： 2S = a [ y + y + 4( y + y + …+ y ) + 2( y + y + …+ y )]n 3n 0 n 1 3 n —1 2 4 n — 2=害［f (a) + f (b) + 4》f (x ) + 2刃 f (x )］6k 2i-1 2ii=1 i=1上式称为辛普森公式或抛物线公式用这个公式求定积分的近似值时，其绝对误差可以证明 不超过蔦n： m 4 '其中m 4是1 f(4)( x)i在区间［a，b］上的最大值例3 用抛物线法近似计算Ajx，要求误差不超过10-52 ln x1解：设f(x)= ，可由命令D［f［x］,{x,4}］ 得到f(x)的四阶导函数为：ln xf(4)(x) =24x4(ln x)536+ x4(ln x)422+x4(ln x)36+x4(ln x)2显然f⑷(x)在区间［2,3］上的最大值为M = f⑷(2)下面根据抛物线法的思想利用Mathematica编程，在程序中，与 4例2 一样，定义了等分n = 2k时的抛物线公式p(k)，并采用“Do”命令进行循环直到满足要求或达到预定的循环次数为止，每次循环要求输出k及p(k)。
输入命令如下：fx1 Log xa2 b3 m4 Df x , x, 4.x 2 delta 10 a 5 k0 100pk_ :b ab af a fb 2 Sum f ai i , i, 2, 2k 2,26k2kb a4 Sum f a i , i, 1, 2 k 1,22kDo Print k, " ", N p kb a A5If m4 delta, Break , If k n0, Print "fail" , k,180 2 k A4从运行结果看，循环到 k = 6 时因达到精度要求结束循环，并得到积分的近似值为：1.11843从例 2、例 3 可以看出，抛物线法比梯形法收敛的要快，这与实际情况也是相符的最后，我们再说明一点，在Mathematica内部有一个数值积分的命令“NIntegrate”,例如要计算J3丄』x,我们可以调用命令：2 ln xNIntegrate 1 Log x , x, 2,3 1或者我们可以通过基本输入模板直接输入积分符号： N 2 百*字母“n”是表示输出的结果为实数的形式运行后均得结果1.11842虽然使用内部的命令计算数值积分非常方便，但是误差估计不明显，而且作为一个大学 生，应该要知道隐藏在命令后面的原理。
因此掌握本实验介绍的数值积分的原理、公式及编 程方法也是很必要的实验习题51、计算定积分sin x 2dx的黎曼和2、分别用梯形法、抛物线法计算定积分 sin x2dx 的近似值（精确到 0.0001）。