§15.4 微观粒子的波—粒二象性 不确定关系一、微观粒子的波—粒二象性1923〜1924年间，德布罗意仔细地分析了光的微粒说和波动说的历史，深入的 研究了光子假设.他认为,19 世纪以来,在光的研究中人们只重视了光的波动性,而 忽视了它的粒子性.但在实物粒子的研究中却又发生了相反的情况,只重视实物粒 子的粒子性,而忽略了它的波动性.在这种思想的支配下,德布罗意大胆的提出了 物质的波一粒二象性假设.他认为,质量为m,速度为u的自由粒子,一方面可用能 量E和动量p来描述它的粒子性；另一方面还可用频率v和波长入来描述它的波 动性.它们之间的关系与光的波—粒二相性所描述的关系一样,即v - E/h,久=h/p (15.28)式(15.28)叫德布罗意公式.这种和实物粒子相联系的波称为德布罗意波,或叫物质 波.德布罗意因这一开创性工作而获得了 1929年的诺贝尔物理学奖.由于自由粒子的能量和动量均为常量,所以与自由粒子相联系的波的频率和 波长均不变,这说明与自由粒子相联系的德布罗意波可用平面波描述.对于静质量为m&速度为u的实物粒子，其德布罗意波长为(15.30)1 一 U2/C2德布罗意关于物质波的假设,1927年首先由戴维孙(CJ.Davisson,1881—1958) 和革末(L.H.Germer,1896—1971)通过电子衍射实验所证实.戴维孙和革末作电子 束在晶体表面散射实验时,观察到了和 X 射线在晶体表面衍射相似的电子衍射现 象，从而证实了电子具有波动性.当时的实验中，采用50KV的电压加速电子,波长约 为0.005nm.由于波长非常短,实验难度很高，因此这一实验是极其卓越的.后来证实了不仅电子具有波动性,其他微观粒子,如原子、质子和中子等也都 具有波动性.微观粒子的波动性在现代科学技术上已得到广泛的应用,利用电子的 波动性,已制造出了高分辨率的电子显微镜；利用中子的波动性,制成了中子摄谱 仪.既然微观粒子具有波动性,原子中绕核运动的电子无疑也具有波动性.不过处于原子定态中的电子的波动形式，与戴维孙和革末实验中由小孔 衍射的电子束的波动形式是不同的，后者可认为是行波，而前者则 应看为驻波.处于定态中的电子形成驻波的情形，与端点固定的振 动弦线形成驻波的情形是相似的.原子中电子驻波可如图15.8形 象地表示.由图可见，当电子波在离开原子核为r的圆周上形成驻 波时,圆周长必定等于电子波长的整数倍，即2nr = nA (n = 1,2,3 ,A )(15.31)利用德布罗意关系便可得电子的轨道角动量应满足下面的关系AhL = rP = n = nq (n = 1,2,3,A ) (15.32)2n A这正是玻尔作为假设引入的量子化条件,在这里,考虑了微观粒子的波动性就自然 的得出了量子化条件.例题 15.2 计算经过电势差 U=150V 和 U=104V 加速的电子的德布罗意波长 (在 U<104V 时,可不考虑相对论效应).解：忽略相对论效应，经过电势差U加速后，电子的动能和速率分别为式中m0为电子的静止质量.利用德布罗意关系可得德布罗意波长h h 1 1 1A = = • . = 12.25 x 10-10 m = 1.225 nmm u 2m e 、U
由德 布罗意关系同样可计算质量m=0.01kg，速度u =300m/s的子弹的德布罗意波长 九=2.21 x 10-34m .可见，由于h是一个非常小的量，宏观粒子的德布罗意波长是如此 的小,一致在任何实验中都不可能观察到它的波动性,而仅表现出它的粒子性. 二、不确定关系在经典力学中 ,粒子在任何时刻都有完全确定的位置和动量 ,在一过程中 ,粒 子的运动具有确定的轨道 .与此不同,微观粒子具有明显的波动性 ,以致它的某些 成对物理量不可能同时具有确定的量值.例如位置坐标和动量、角坐标和角动量 等不能同时具有确定的量值.其中一个量的不确定程度越小,另一个量的不确定程 度就越大.1927年,德国物理学家海森伯(W.K.Heisenberg,1901—1976)提出微观粒子不 能同时具有确定的位置和动量，同一时刻位置的不确定量Ax与该方向的动量不 确定量AP的乘积大于或等于q/2，即xAx- AP > q (15.33)x 2此式称为海森伯坐标和动量的不确定关系式.这一规律直接来源于微观粒子的波粒二象性,可以借助于电子单缝衍射实验 结果来说明.如图15.9所示,设单缝宽度为Ax，使一束电子沿Y轴方向射向狭缝，在 缝后放置照相底片,以记录电子落在底片上的位置.电子可以从缝上任何一点通过单缝,因此在电子通过单缝时刻,其位置的不确 定量就是缝宽Ax .由于电子具有波动性，底片上呈现出和光通过单缝时相似的单 缝电子衍射图样,电子流强度的分布已示于图中 .显然电子在通过狭缝时刻 ,其横 向动量也有一个不确定量 AP ,可从衍射电子的分布来估算 AP 的大小,为简便,先xx考虑到达单缝衍射中央明纹区的电子.设甲为中央明纹旁第一级暗纹的衍射角，则 sinp=X/Ax，又有AP =P sinp,再由德布罗意关系式P=h/九，就可得到xh A hAP 二 PsinO = = n AxAP > hx A Ax Ax x式中大于号是在考虑还有一些电子落在中央明纹以外区域.以上只是作粗略估算, 严格推导所得关系式为(15.33).不确定关系式(15.33)表明,微观粒子的位置坐标和同一方向的动量不可能同时具有确定值.减小Ax，将使AP增大，即位置确定越准确，动量确定就越不准确.这x和实验结果是一致的.如作单缝衍射实验时,缝越窄、电子在底片上分布的范围就 越宽.因此,对于具有波—粒二象性的微观粒子 ,不可能用某一时刻的位置和动量 描述其运动状态,轨道的概念已失去意义,经典力学规律也不再适用.如果在所讨论的具体问题中,粒子坐标和动量的不确定量相对很小,则说明粒 子的波动性不显著,实际上观察不到,则仍可用经典力学处理.例题15.3由玻尔理论算得氢原子中电子的运动速率为2.2x106m/s，若其不确 定量为 1.0%,求电子位置的变化范围.解：根据不确定关系可得电子位置的不确定量为Ax > 2Apn2m Aul・05 x10 -342 x 9.11x10-31 x 2・2 x10-6 x 0.01二 2.6 x10-9m此值已超出原子的线度(1010m).所以，就原子中的电子而言,说它有确定的位置同 时又有确定的速率,是没有意义的.显然,由于微观粒子的波动性,核外电子轨道的 概念是没有意义的.不确定关系不仅存在于坐标和动量之间,也存在于能量和时间之间,如果微观 粒子处于某一状态的时间为At，则其能量必有一个不确定量AE，由量子力学可推 出二者之间有如下关系AE - At (15.34)2此式称为能量和时间的不确定关系.将其应用于原子系统可以讨论原子各受激态 能级宽度AE和该能级平均寿命At之间的关系.显然，受激态的平均寿命越长(能 级越稳定),能级宽度就越小(能级越确定),跃迁到基态所发射的光谱线的单色性就 越好.不确定关系式是微观客体具有波—粒二象性的反映,是物理学中重要的基本 规律,在微观世界的各个领域中有很广泛的应用.作业(P224)： 30。