全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题： 18 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数( )f x在区间 1,1上连续，则0 x是函数0( )( )xf t dtg xx的（）A跳跃间断点 . B可去间断点 . C无穷间断点 . D振荡间断点 . （ 2）曲线段方程为( )yf x，函数( )f x在 区间0,a上有连续的导数，则定积分0( )atafx dx等于（）A曲边梯形ABCD面积 . B梯形ABCD面积 . C曲边三角形ACD面积 . D三角形ACD面积 . （3）已知24( , )xyf x ye，则（A）(0,0)xf，(0,0)yf都存在（B）(0,0)xf不存在，(0,0)yf存在（C）(0,0)xf不存在，(0,0)yf不存在（D）(0,0)xf，(0,0)yf都不存在（4）设函数f连续，若2222()( , )uvDf xyf u vdxdyxy，其中uvD为图中阴影部分，则Fu（）（A）2()vf u（B）2()vf uu（C）( )vf u（ D）( )vf uu（5）设A为阶非 0 矩阵E为阶单位矩阵若30A，则（）AEA不可逆，EA不可逆 . BEA不可逆，EA可逆 . CEA可逆，EA可逆 . DEA可逆，EA不可逆 . （6）设1221A则在实数域上域与A合同矩阵为（）A2112. B2112. C2112. D1221. （7）随机变量,X Y独立同分布且X分布函数为F x，则max,ZX Y分布函数为（）A2Fx. BF x F y. C211Fx. D11FxFy. （8）随机变量0,1XN，1,4Y N且相关系数1XY，则（）A211P YX. B211P YX. C211P YX. D211P YX. 二、填空题：9-14 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设函数21,( )2,xxcf xxcx在(,)内连续，则c . （10）设341()1xxf xxx，则222( )_f x dx. （11）设22(,)1 Dx y xy，则2()Dxy dxdy. （12）微分方程0 xyy满足条件(1)1y的解y. （13）设 3 阶矩阵A的特征值为1， 2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则14_AE. （14）设随机变量X服从参数为1 的泊松分布，则2P XEX.三、解答题：15 23 小题，共94 分 .请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分10 分）求极限201sinlimlnxxxx. (16) （本题满分10 分）设( , )zz x y是由方程22xyzxyz所确定的函数， 其中具有 2 阶导数且1时. （1）求dz（2）记1,zzu x yxyxy，求ux. (17) （本题满分11 分）计算max(,1),Dxydxdy其中( , ) 02,02Dx yxy. (18) （本题满分10 分）设fx是周期为2 的连续函数，（1）证明对任意实数t，有220ttfx dxfx dx；（2）证明202xttG xftfs ds dt是周期为2 的周期函数(19) （本题满分10 分）设银行存款的年利率为0.05r，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19 万元，第二年提取28 万元， ，第 n 年提取（ 10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？(20) （本题满分12 分）设矩阵2221212n naaaAaa，现矩阵A满足方程AXB，其中1,TnXxx，1,0,0B，（1）求证1nAna; （2）a为何值，方程组有唯一解; （3）a为何值，方程组有无穷多解. （21） （本题满分10 分）设A为 3 阶矩阵，12,a a为A的分别属于特征值1,1特征向量， 向量3a满足323Aaaa，证明（ 1）123,a a a线性无关；（2）令123,Pa a a，求1PAP. （22） （本题满分11 分）设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为11,0,13P Xii，Y的概率密度为1010Yyfy其它，记ZXY（1）求102P ZX；（2）求Z的概率密度（23） （本题满分11 分）12,nXXX是总体 为2(,)N的 简单 随机样 本. 记11niiXXn，2211()1niiSXXn，221TXSn. （1）证T是2的无偏估计量 . （2）当0,1时 ，求DT.考研数学（三）真题解析一、选择题(1)【答案】B【详解】0000( )lim( )limlim0 xxxxf t dtg xfxfx，所以0 x是函数( )g x的可去间断点(2)【答案】C【详解】00000( )( )( )( )( )( )aaaaaxfx dxxdf xxf xf x dxaf af x dx其中( )af a是矩形 ABOC 面积，0( )af x dx为曲边梯形ABOD 的面积，所以0( )axfx dx为曲边三角形的面积(3)【答案】B【详解】240000( ,0)(0,0)11(0,0)limlimlim0 xxxxxxf xfeefxxx0011limlim1xxxxeexx，0011limlim1xxxxeexx故(0,0)xf不存在242020000(0, )(0,0)11(0,0)limlimlimlim00yyyyyyyfyfeeyfyyyy所以(0,0)yf存在故选B. (4)【答案】A【详解】用极坐标得222()222011,()vuufrrDfuvFu vdudvdvrdrvf rdruv所以2Fvfuu. (5)【答案】C【详解】23()()EA EAAEAE，23()()EA EAAEAE. 故,EA EA均可逆(6)【答案】D【 详 解 】 记1221D， 则2121421ED又2121421EA，所以A和D有相同的特征多项式，所以A和D有相同的特征值 . 又A和D为同阶实对称矩阵，所以A和D相似由于实对称矩阵相似必合同，故D正确 . (7)【答案】A【详解】2max,ZZZZFzP ZzPX YzP Xz P YzFz F zFz. (8)【答案】D【详解】 用排除法 . 设YaXb，由1XY，知道,X Y正相关， 得0a，排除A、C由(0,1),(1,4)XNYN，得0,1,EXEY所以()()E YE aXbaEXb01,ab所以1b. 排除B. 故选择D. 二、填空题(9)【答案】 1 【详解】由题设知| 0cx，所以22,( )1,2,xxcf xxcxcxxc因为22limlim(1)1xcxcfxxc，22limlimxcxcfxxc又因为( )f x在(,)内连续，( )f x必在xc处连续所以limlim( )xcxcfxfxf c，即2211ccc. (10)【答案】1ln 32【详解】222111112xxxxfxxxxxx，令1txx，得22tf tt所以22222222222111ln2ln 6ln 2ln 32222xfx dxdxxx. (11)【答案】4【详解】2221()2DDDxy dxdyx dxdyxydxdy利用函数奇偶性21200124dr rdr. (12)【答案】1yx【详解】由dyydxx，两端积分得1lnlnyxC，所以1xCy，又(1)1y，所以1yx. (13)【答案】 3 【详解】A的特征值为1,2,2，所以1A的特征值为1,1 2,1 2，所以14AE的特征值为4 113，4 1 21 1，4 1 2 11所以143 1 13BE. (14)【答案】112e【详解】由22()DXEXEX，得22()EXDXEX，又因为X服从参数为1 的泊松分布，所以1DXEX，所以21 12EX，所以21111222PXee！. 三、解答题(15) 【详解】方法一 ：22001sin1sinlimlnlimln 11xxxxxxxx32000sincos1sin1limlimlim366xxxxxxxxxx方法二 ：2230001sincossincossinlimlnlimlim2sin2xxxxxxxxxxxxxxx洛必达法则20sin1lim66xxxx洛必达法则(16) 【详解】 (I) 22xdxydydzxyzdxdydz122dzx dxy dy221x dxy dydz1(II) 由上一问可知22,11zxzyxy，所以11221222,()()1111zzxyyxu x yxyxyxyxy所以223322(1)2(1)2(12)2(12)11111xzuxxxx. (17) 【详解】曲线1xy将区域分成两个区域1D和23DD，为了便于计算继续对区域分割，最后为max,1Dxydxdy123DDDxydxdydxdydxdy11222221110002211xxdxdydxdydxxydy1512ln 2ln 2419ln 24(18) 【详解】方法一 ：(I) 由积分的性质知对任意的实数t，202202ttttfx dxfx dxfx dxfx dx令2xu，则202002ttttfx dxfu dufu dufx dx所以2020200ttttfx dxfx dxfx dxfx dxfx dx(II) 由 (1)知，对任意的t有2220tfx dxfx dx，记20afx dx，则0( )2xG xfu duax. 所以，对任意的x，200(2)( )2(2)2xxG xG xfu dua xf u duax22022220 xxf u duafu dua所以G x是周期为2的周期函数 . 方法二 ：(I) 设2( )( )ttF tf x dx，由于( )(2)( )0Ftf tf t，所以( )F t为常数，从而有( )(0)F tF. 而20(0)( )Ffx dx，所以20( )( )F tf x dx，即220( )( )ttf x dxf x dx. O 0.5 2 xD1D3D2(II) 由 (I)知，对任意的t有2220tfx dxfx dx，记20afx dx，则0( )2xG xfu duax，20(2)2(2)xG xfu dua x由于对任意x，(2)2 (2)2 ( )G xf xaf xa，( )2 ( )G xf xa所以(2)( )0G xG x，从而(2 )()G xGx是常数即有(2)( )(2)(0)0G xG xGG所以G x是周期为2的周期函数 . (19) 【详解】方法一 ：设nA为用于第n年提取(109 )n万元的贴现值，则(1)(109 )nnArn故111111 09191 02 0 09(1)(1)( 1)( 1)nnnnnnnnnnnnnAArrrr设1()(1, 1)nnS xn xx因为21()()()(1, 1)1(1)nnxxS xxxxxxx所以11()()42011.05SSr(万元 ) 故2 0 094 2 03 9 8A(万元 )，即至少应存入3980 万元 . 方法二 ：设第t年取款后的余款是ty，由题意知ty满足方程1(1 0.05)(10 9 )ttyyt， 即11.05(109 )ttyyt(1) (1)对应的齐次方程11.050ttyy的通解为(1. 0 5 )ttyC设(1)的通解为*tyatb，代入 (1)解得180a，3980b所以 (1)的通解为(1.05)1803980ttyCt由0yA，0ty得3980AC0C故A至少为 3980 万元(20) 【详解】 (I) 证法一 ：2222122121213210122122112221301240134(1)2(1)3231(1)0nnnaaaaaaaaaAraraaaaaaanaanararanannnan证法二 ：记|nDA，下面用数学归纳法证明(1)nnDna当1n时，2222122121213210122122。