第三EAdrancedmathematics′`一一′「′「、′ 内容导航第一节不定积分的概念与性质第二节不定积分的换元法与分部法第三节有理函数的不定积分第四节定积分的概念与性质第五节微积分基本定理第六节定积分的挨元法和分部法第七节定积分的挨元法和分部法一皂0厂一 定积分-/Q0dx对裆积出数和积分区间部有要求(积分区间为[日是有限区间)桢积函数(:)在[o.日上是有界的一舫还要求是连续的然市在实际问题中.往往会遇到不满足上述条件的情形.例如将火前发射到远离地球的太空中去要计算克服地心引力所作的功这就需要考虑积分区间为无限的积分,因此有必要推广定积分的概吾,卵把积分区间扩展到无穷区间.比如(史,[aea)或(),或者被积函数()在积分区间内是无界时的情形从而形成.反常积分“义积分/的概吾而原来的定积分可以称为常义积分E 一、无限区间上的反常积分先看几个定积分:1,一dr+o取对应的定积分的极限,则有.荆螂I″订hm醴m魍‖X俨】】【′二I矗【瓤矗疃麟_誓峪」二imn命=imlnb=h.Eeee@吊 一、无限区间上的反常积分曲线y一,x轴正半轴所“国「的图帘寸以向x轴正方向无限L伸(见图3-54,旦有有限面积,对应的积分极限存在;而曲线)一「灵xz1,x轴正半轴所「国「的图汗也寸以向太轴正方向无眼延1申(见图355)“同时“面积“也无限增大,故对应的极限不存在.这就是我们这一节要讨论的反常积分的“人何意义“下面给出反常积分的定义 一、无限区间上的反常积分定义1设函数广)在区间(史上连续,取e<5,如果极限im『TCix存在,则称此极限为函数广(x)在无穷区间(闪上的反常积分,证fFCox,危广GOar-lm[]T(e-这时也称反常积分“(Jdx收敛.如果这个极限不存在,则称反常积分广FCOt发散_Eesrs““ˇˇˇˇe6ee匹 当反常积分厂一x收敛时,卜(oJx表示一个数,而当反常积分;|111是任意1111方式都成立:111广TCJax&Bd,厂广(oJtx仅是一个笛导!11 s水江河2同样可以定义区间[a+oo)或(+oo)上的反常积分_…葛置定义2设函数广(x)在区间[aioa)上连续,Tnm[TCJix存在,则称此极限为函数广(x)在无穷区间[a,ioo)上的反常积分,iff[“T(gx,即TCDaezm]TC9a.这时也称反常积分]“厂(x收敛,如果这个极限不存在,则称反常积分[TCJax散9669吓 一、无限区间上的反常积分定义3设函数厂(在区间()上连续,若厂(9lr,[“T(shx均收敏,则称上述两反常积分之和为函数(在无穷区间(eo)内的反常积分,记作广7即(春<厂)坂“(7e也称反常积分“(xhx收敛,否则就称反常积分|“厂(xJx发散__l干'll=口966e吓 。