第六章 定积分及其应用§6-1 定积分的概念与性质(Concept and propoties of definite integra)l（一）、定积分的概念1、 问题的提出1）、求面积——曲边梯形的面积S （分析）‘无限细分'采用的做法［化整为零，无限累加、积零为整_3J06设曲边梯形由连续函数y = f （x） （ f （x） > 0 ）和x = a，x = b及x轴围成，面积为S作如下处理(1) 分割：在［a, b］间插入 n + 1 个分点 a = x , x , x x , x = b，将［a, b］分成了 n 0 12 n -1 n个小区间段， 同时将曲边梯形分成了 n 个小曲边梯形， 各小区间的长度记为Ax = x - x ，小曲边梯形的面积记为AS ,则有s =》Asi i i -1 i ii=1(2) 近似计算：在［x ,x ］中任取一点g，用以Ax及f忆)为边的矩形面积近似替代i - 1 i i i iA S，即 A s ~ f (g)Axi i i i(3) 求和：因而整个曲边梯形的面积就可以近似计算为s = Z As a 为 f (g)Axi i ii =1 i =1(4) 取极限：求 S 的精确值记l = max{D x }，则当九T 0时，取上述和式的极限，便得曲边梯形的面积为：i1 ＃i nS = lim Z f (g)A xn (或 Xt 0) . i ii = 12)、求变速直线运动的路程我们知道若物体作匀速直线运动，则其路程可用速度乘以时间来计算，但若为变速直线 运动，则不能这样计算，因为速度是在随时间的变化而变化.在平面直角坐标系中，作出速度v(t)的函数图形，求速度为v(t)的变速直线运动在时间［a,b］内的运动路程s。
1) 分割：将时间段［a, b］用n + 1个分点a = x , x , x x , x = b分成n个小区间0 1 2 n -1 n段［t , t ］，小区间的长记作D t = t - t (i = 1,2,鬃,n)i - 1 i i i i- 1(2) 近似计算：在［t ,t ］中任取一点g，在此时间段内把物体的变速运动近似看作速i - 1 i i度为v(x )的匀速运动，则此时间间隔D t内所走路程为D s籇v(x ) t ( i = 1, 2,鬃,ni i i i i(3) 求和：s =邋D s 籇 v (x ) ti i ii = 1 i = 1(4) 取极限：记l = max{ D t }，令l 0，则 s = lim Z v (g )At i i i1＃i n XT 0 i=12、 定积分的定义(144---145页)设y=f（x）在 ［a，b］上有定义（或连续）（或有界）D、细分［a,b］为几个小区间［x ,x ］，Ax = x - xi-1 i i i i-12) 、做乘积：f G ).A x , x , x ］i i i i -1 i3) 、求和：f f (g ). Axiii 二 14)、取极限 lim fn f (g )Axn fg (或 0) i 'i = 1(X = max (A x ))1< i < n 1若极限存在，则称函数f（x）在［a,b］上可积，且称该极限值为 y=f（x）在［a,b］上的定积分，记为Jbf（x）dxaJb f (x) dx =alim f f (g )Ax匚0 1i=1其中：f（x）叫做被积函数，f（x）dx叫做被积表达式，［a,b］称为积分 区间，a,b称为积分下、上限，x称为积分变量。
注意理解： Jb f（x）dx 是一个数，这个数的大小只与积分区间和被积函a数有关，与区间的分割方法、点g的取法无关，与积分变量选择无关,i即Jb f ( x)dx = Jb f (t)dt aa3, 定积分的几何意义一f（x）＞0时,p f（ x）dx在几何上表示由y=f（x）,ax=a,x=b,y=0围成的曲边梯形的面积S,即J b f ( x ) dx(举例)f (x)< 0……s = -fh f (x)dx (画图说明)a例1 计算由曲线y = x 2，直线x =0，x = 1及x轴所围成的平面图形的面积S解 由定积分的几何意义知$ = f 1 x 2 dx0因为x2是［0,1］上的连续函数，所以在［0,1］上可积，故和式旨n f（x）D x的iii = 1极限值与区间的分割方法、乂的取法无关，因此不妨将［0」］进行n等i分，分点分别为0 = x , x , x x , x = 10 1 2 n-1 n取x = x，则有iii , i i -1 1 、x = , Ax = x — x = — = ,(i = 1,2,..., n)i n i i i -1 n n nnS =乙ni=1n i 1 1f (x )Ax =乙(―)2 = [1 + 2i i n n n3i=1+ . . ~n(n + 1 ) n -2 <=6n21)x2dx0又因为 lim Snn t a4、 可积性关于函数的可积性，我们不做证明地给出以下几个结论可积函数必有界；有限闭区间［a,h］上的连续函数必可积；在有限区间［a,h］上只有有限个间断点的有界函数必可积。
二) 定积分的性质(Propertions of definite intagral)1、2、J kdx = k(b 一 a) (k为常数，卜同)ak = 1时 Jb dx = b 一 a k = 0时 Jb 0 dx = 0aa(规定)J af( x) dx = 0a3、Jb f ( x)dx = 一 Ja f ( x)dx (简述理由)ab4、Jb kf ( x)dx = k Jb f ( x)dxaa5、Jb [ f (x) 土 f (x)] dx = Jb f (x)dx ± Jb f (x)dx1 2 1 2a a a6、Jb f (x) dx = Jc f (x) dx + Jb f (x) dxaac7、若 f(x)> g(x), xG [a,b],则 Jb f (x)dx > Jb g (x)dx特别地'Jb 1 f (x) 1 dx > 1 Jb f (x)dx 1a a a a8、若(最小值)m < f (x ) < M (最大值),x e [a, b ] (估值 Th.)则 m (b 一 a ) < Jb f (x ) dx < M (b 一 a )a9、(中值Th.)若f(x)在［a,b］上连续，则在(a,b)内至少存在 一点c,使得Jb f (x) dx = f (c) - (b — a)a10、(奇偶性)J a f ( x ) dx =—a’ 0,( f ( x )为奇函数)2 J af ( x ) dx,(f ( x )为偶函数)0J1 exdx与J1 ex3 dx比较大小是例 2： 0 0J1 exdx > J1 ex3 dx 或选择题00例3 (186页一习题3⑴)估计积分的值：I = J2 ex2—xdx。
0例4设f(x)在［0, 1］上连续，在(0,1)内可导,且满足f(1)=2J：f(x)dx0证：在(0，1)内至少存在一点；，使f‘G)= 0证明：f(1)=2J2 f (x)dx ======定理 2f (c)•(1 )-—0= f (c),c er 1)0,一012丿I 2丿在区间［c,i ］上利用罗尔定理，得f' G)= 0， g e(c ,1 )u(o,l )得证 J”例 6：x cox , dx =—” x2 + cox1 1 + si nJ1 dx =—1作业： 186页 (A) 2(4)；3(2)§6-2 微积分基本公式(牛顿---莱布尼兹公式(Newton_Leibniz fermula)(一)、变上、下限积分的概念由上节我们知道J bf (x ) dx是一个与f( x)，a，ab 有关的常数，当 f(x)和a固定时，则J bf (x ) dx会随着b的变化而变化，同样，当f( x)和b固a定时，则Jbf (x)dx会随着a的变化而变化a若f(x)在［a,b琏续，则对于区间J,b］中的任一点x —"积分Jxf (x)dxa存在，且确定了［a,b］中点X的函数，称之为变上限积分确定的函数,简称为可变上限积分，记为：*(x)，即© (x) = J xf (t) dt，(画图)a类似地，定义可变下限积分为g(x)=Jbf(t)dt ，(画图)x另外还有J x f (t)dt ,Jb f (t)dt ,a 9 ( x )等)fx f(t)dta（二）、变上、下限积分的求导Th若f （x）在［a,b］上连续，则可变上、下限积犹（x）与g （x） = fbf（ t）dt均可导，且证明：）x1 0 ' (x)= — f x f (t)dt = f (x)dx L2- g ' ( x )=邑「f bf (t) dt】 = -f (x )(证明： dx L3.d「卜dx- a4.d[f bdx95.d「卜dxL 9(x)f (t) dt = f 9 (x )]* ' (x )f ( t) dt](x )2 (x )(x )另外有=—f 9 ( x '( x )f (t) dt = f (x ”化'(x )- f \_9 (x )]* ' (x )举例：1）F( x)=fx cos tdt0兀求 F'(—)22)F (x) =2f arccos tdt ,cos xF'( x )=...求极限：3) f(x 1 — cos t ) dt3) lim 卡 = x T 0 x 34) lim A (沁 一》〃，其中 f (x) 在 (—. , +J 内连续;xT 0 x 25)e -12dtlim cos xx T 0 X 2例 6)设f( x)连续。
f (0) = o,f'(o)工 0.求 J丄f C)dt求lim十xT0 x2Jxf (/)dt04f' (x2 )^3 f (x )- f(0 ) f() = 13 + f' (x )x-0(三) ・牛顿…莱布尼兹公式Newton----Leibniz 公式：若 f (x )在 [a,b]上 连续•且 F 心)=f (x)，则Jbf (x)dx = F(x) Ib = F(b) - F(a)a。