第四章 线性系统的根轨迹分析,,张学广电力电子与电力传动研究所E-mail: zxghit@,引 言,系统的稳定性和动态性能与闭环极点在s平面位置有密切关系1. 垂直线区域,衰减度，表示一种相对稳定性2. 扇形区域,,,闭环系统将具有一定的阻尼比§4.1 根轨迹的基本概念,§4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则,§4.3 控制系统根轨迹的绘制,（1）单回路系统的根轨迹（2）参数根轨迹（3）多回路系统的根轨迹（4）正反馈回路的根轨迹,本章主要内容,§4.4 利用根轨迹分析系统性能,（1）暂态响应性能分析（2）增加开环零极点对根轨迹的影响（3）对稳态性能的影响,§4.1 根轨迹的基本概念,分析系统性能时，需知道闭环系统极点的确切位置；,分析和设计过程中，可能还需要研究一个或几个参量在一定范围内变化时对系统性能的影响依万斯(W.R.Evans)提出了求解系统特征方程式根的图解方法－根轨迹法通过开环零极点绘制控制系统闭环极点随参数变化的运动轨迹以二阶系统为例,开环传递函数为：,有两个开环极点，0 和 -a.,系统闭环传递函数为：,特征方程为：,根为：,,在K1和a为正值时，上述二阶系统总是稳定的。
暂态性能却随特征方程的根而变化，即随a和K1的值而变化讨论a保持常数，特征方程的根随增益K1改变的情况：,当,时，s1和s2为互不相等的两个实根2),,，则两根相等，即 3),,，两根成为共轭的复数根，其实数部分为 ，,,这时根轨迹与实轴垂直，并相交于,,点K1从零变化到无穷大时的根轨迹,二阶系统的根轨迹有两条，K1=0时分别从p1=0和p2=-α出发；,(2) 两个根都在负实轴上，系统处于过阻尼状态；,(3) 当K1增加到α2/4时，两个特征根相等会合于 ；,,(2)当K1>a2/4 时，对应欠阻尼状态，K1越大，振荡的频率也越高，由于两个根的负实部不变，系统的调节时间变化不大根轨迹：当系统的某一个或几个参数变化时，闭环传函特征方程的根(闭环极点)在s平面上运动的轨迹常规根轨迹：以系统开环增益为可变参量绘制的根轨迹§4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则,,闭环系统特征方程为：,1+G(s)H(s)=0 或 G(s)H(s)= -1,可以得到幅值条件和相角条件：,,,,一、绘制根轨迹的基本条件,在s平面上，凡能满足相角条件的点所构成的轨迹即为根轨迹。
绘制根轨迹主要依据相角条件，而幅值条件用于确定根轨迹上某点对应的系统参数值设开环传函为：,—开环零点,,,—开环极点,K1为开环传函写为零极点形式时的增益,K为开环传函写为时间常数时的增益,,,用零极点形式绘制根轨迹比较方便，将其代入幅值条件和相角条件中，可得：,或,,用相角条件绘制根轨迹；用幅值条件确定根轨迹上某一点对应的增益值幅值条件与相 角条件示例,ξ=0.466ω n=2.34,s1=-0.825s2,3= -1.09±j2.07,,2.26,,,2.11,,,,2.072,K*=,= 6.0068,92.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o= –180o,-1.09+j2.07,二、根轨迹的基本性质和绘制规则,1.根轨迹的连续性,闭环特征方程的根是根轨迹增益K1(或其它参数)的连续函数根轨迹的对称性,,特征方程的根为实数或共轭复数，根轨迹对称于实轴规则一 系统根轨迹的各条分支是连续的，而且对称于 实轴根轨迹的分支数？,等于特征根的个数，亦等于系统的阶数2.根轨迹的起点和终点,根据幅值条件,K1=0时，只有s=pi才能满足上式，故根轨迹各分支的起点即为各开环极点。
当K1→∞，只有s→zi或s→∞时才能满足上式的幅值条件 因此当K1→∞时，根轨迹的m条分支趋向开环零点，另外n-m条分支趋向无穷远处规则二 当K1=0时，根轨迹的各条分支从开环极点出发；当K1→∞，有m条分支趋向于开环零点，另外有n-m条分支趋向无穷远处3.实轴上的根轨迹,规则三 在s平面实轴线段上存在根轨迹的条件是，在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数规则五 伸向无穷远处根轨迹的渐近线与实轴交于一点，交点的坐标为,4.根轨迹的渐近线,当K1→∞时，n-m条根轨迹分支沿着与正实轴正方向夹角为φa、截距为σa的一组渐近线趋向于无穷远处规则四 根轨迹中趋向于无穷远处n-m条分支的渐近线的相角为,例4-1 设某负反馈系统的开环传递函数为,试确定系统根轨迹条数、起点和终点、渐近线及根轨迹在实轴上的分布 解：开环极点 p1= 0、p2= 1、p3= 5 系统的根轨迹有三条分支，分别起始于系统的三个有限开环极点，由于不存在有限的开环零点，当Kg 时，沿着三条渐近线趋向无穷远处；三条渐近线在实轴上的交点：,j,实轴上的根轨迹分布在(0，1)和(5， )的实轴段上。
60,,三条渐近线与正实轴上间的夹角：,-2,5.分离点和汇合点,,,,,,,,,,,,,,,,,,,P1,P2,z1,,若实轴上两开环极点之间存在根轨迹，则一定存在分离点；,若实轴上相邻开环零点之间存在根轨迹，则一定存在汇合点； 若实轴上的根轨迹处在开环零点和开环极之间，可以既无分离点也无汇合点，也可能既有分离点也有汇合点规则六 复平面上根轨迹的分离点处存在重根，必须 满足方程：,上述条件只是确定分离点的必要条件，不是充分条件定义：,因为有重根：,消去K1有,由,可以得到同样的结果分离角和会合角：分离点或会合点的切线与正实轴的夹角r为趋向或离开实轴的根轨迹分支数例4-2 求例4-1系统根轨迹的分离点 解：根据例4-1，系统实轴上的根轨迹段（1，0），位于两个开环极点之间，该轨迹段上必然存在根轨迹的分离点设分离点的坐标为d，则:,3d 2 + 12d + 5 = 0 d1 = 0.472 d2 = 3.53(不在根轨迹上，舍去)d1 = 0.472,分离点上根轨迹分离角为：,6.根轨迹与虚轴的交点,与虚轴的交点为临界稳定点，表明系统处于临界稳定状态。
此处的增益称为临界根轨迹增益求法：,(1)令s=jω,代入特征方程，令实部和虚部分别等于零，求得临界稳定时的ω和增益K12)利用劳斯判据，求交点坐标及临界稳定增益例4-3 求例4-1系统的根轨迹与s平面虚轴交点的坐标 解：,方法一： s3 + 6s 2 + 5s + Kg = 0令s=jω，则 (jω)3 + 6(jω)2 + 5 (jω) + Kg = 0, ω3 + 5ω = 0 6ω2 + Kg= 0,Kg= 0(起点，舍去),Kg= 30,方法二： s3 + 6s 2 + 5s + Kg= 0劳斯表为,s3 1 5s2 6 Kgs1 (30 Kg)/6s0 Kg,当Kg=30时，s1行全零，劳斯表第一列不变号，系统存在共轭虚根共轭虚根可由s2行的辅助方程求出： 6s 2+ Kg= 0,,,,j,,,,,d = 0.472,,,Kg= 30,Kg ,Kg ,Kg ,Kg= 30,,出射角：起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与正实轴的夹角。
入射角：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与正实轴的夹角规则七 在开环复数极点处根轨迹的出射角为,,在开环零点处根轨迹的入射角为,φ为其它开环零、极点对该出射点或入射点提供的相角7.根轨迹的出射角和入射角,8.闭环极点的和与积,开环极点之和:,,闭环特征方程为：,闭环极点之和为：,若,,闭环极点之积为：,若n-m≥2,当K1增大时,如果一些根轨迹右行,则另一些根轨迹必左行判断根轨迹走向),,§4.3 控制系统根轨迹的绘制,一、单回路系统的根轨迹,例：已知开环系统的传递函数为：,,绘制K1从0到无穷大变化时的根轨迹1）系统的开环极点为p1＝0、p2=-3、p3,4=-1±j，n-m =4条根轨迹趋于无穷远处σ,jω,0,,,,,,,,,,,,,(2) 0～-3之间存在根轨迹3,,,,(3)求渐近线截距σa和夹角φa,,,,,,,-1.25,(4) 求根轨迹在实轴上的分离点,,解得分离点出现在-2.28处,,-2.28,,,,,,,(5) 根轨迹在极点p3处的出射角为,,,,,-71.6°,,,,,71.6°,（6）求根轨迹与虚轴的交点,,将s=jω代入，令实、虚部都为零解得：,,,,,,,二、参数根轨迹,以系统其它参数变化绘出的根轨迹，称为参数根轨迹或广义根轨迹。
如时间常数、测速反馈系数、开环零极点等）,必须首先正确地求出单回路系统的等效开环传递函数 依照绘制K1变化时的根轨迹法则，绘制出系统的参数根轨迹系统的开环传递函数：,,特征方程：,,,,等效开环传递函数中有两个极点、一个零点：,,,根轨迹是一个圆弧，圆心在原点上分析τ变化对系统特性的影响：,随着τ值的增大，系统阻尼也增大适当选择 τ 可以改善系统的动态性能三、多回路系统的根轨迹,分析局部闭环或其它参数对整个系统性能的影响步骤1. 先根据局部闭环子系统的开环传递函数绘制其根轨迹，确定局部小闭环系统的极点分布；,方法：,步骤2. 由局部小闭环系统零、极点和系统其它部分零、极点所构成的整个多回路系统开环零、极点的布局，绘制出总系统的根轨迹通常所分析的变量不只一个，形成根轨迹族从内环入手，由里到外，从局部到整体，多次绘制系统的开环传递函数为：,,系统的特征方程为,,,求取开环极点,,可化为,,等价于求左边闭环系统根轨迹,内环根轨迹,系统闭环根轨迹,例：试绘制如图所示控制系统的根轨迹，其中K1、Kf 均为可变参数局部小闭环的传递函数为,,,全系统的开环传函为,内环的特征方程为,,可化为：,等效开环传函,,三个开环极点：0、-1、-2。
时（ζ=0.5）,,,可以绘出以K1为参数的闭环系统根轨迹Kf=1.03时，K1无论为何值，系统总是稳定但K1增大，阶跃响应振荡加剧四、正反馈回路的根轨迹,控制系统中可能有局部的正反馈可能是控制对象本身的特性，或者是为提高控制系统性能而附加进去的内环闭环传递函数为：,系统的特征方程为：,,根轨迹的方程：,幅值条件：,,相角条件：,正反馈系统的相角条件是180°的偶数倍，所以叫零度根轨迹与负反馈系统的常规根轨迹不同，需要修改的规则有3个：,(1) 在s平面实轴线段上存在根轨迹的条件是:在这些线段右边的开环零点和开环极点数目之和为偶数2) 根轨迹的渐近线,①渐近线与实轴的交点σa与常规根轨迹相同,②渐近线与实轴的夹角改为,离开开环极点pa处的出射角为：,,φj为各个开环零点到该极点的相角之和；,θi为各个开环极点到该零点的相角之和进入开环零点zb处的入射角为：,φj为其它开环零点到该零点的相角之和；,θi为其它开环极点到该极点的相角之和3) 根轨迹的出射角和入射角,例：设单位正反馈系统的开环传递函数为,,绘制K1从0→∞变化时的根轨迹1）两个开环极点：p1,2=-1±j 一个开环零点：z=-2。
2)开环复数极点p1处的出射角,,(3)根轨迹的汇合点,,,S1=-0.59S2=-3.41（舍去）,根轨迹的汇合角为,。