单位根检验

单位根检验以及平稳时间序列建模目录一、 DF统计量及DF检验 3二、 ADF 检验………………………………………………………………5三、 例题 6由于虚假回归问题的存在，所以在进行回归模型拟合时，必须先检验各序列的平稳性单位根检验(由 Dickey-Fuller 1979 年提出)是指检验序列中是否存在单位根单位 根检验方法有多种，这里主要介绍DF和ADF检验介绍这种检验方法之前，先讨论DF统计 量的分布特征一、DF统计量及DF检验1、DF 统计量以1阶自回归序列为例：x二申x + at 1 t—1 t该序列的特征方程为：X—P = 01当特征根申在单位圆内时，该序列平稳，反之，该序列为非平稳序列所以可以通过检 验特征根是在单1位圆内还是单位圆外(或上)，来检验序列的平稳性，这种检验就称为单位根 检验由于现实生活中绝大多数序列都是非平稳序列，所以单位跟检验的原假设定位： 原假设H :序列x非平稳；备择假设H :序列x平稳1t检验统计量为 t 统计量：t(P)=竖二21，其中，e为参数申的最小二乘估计，1 s (e) 1 11E (x —e x )t 1 t —1S （（P ）=1S2T==1T — 11 t=1当e =0时，t(e )的极限分布为标准正态分布；11当i e i< 1时，t(e)的渐进分布为标准正态分布，但当ie |= 1时，t(e)的渐进分布不再是 1 1 1 1正态分布。

记T = 4 — 1该统计量称为df检验统计量，它的极限分布为S他)161-1 f1W (r )dW (r)T =山 极限> 7 ，其中W (r)为自由度为r的维纳过程所谓维纳过程具有如下S (61) JW (r )1 drV 0性质：1）W（1）~ N（0，1）(2) gW(r)〜N(0, g2r)(3) [W(r)]2/r 〜x 2(1)DF检验为单边检验，当显著性水平取为a时，记t为DF检验的a分位点，则a当t

t假设检验如下：原假设H :序列｛x - u｝非平稳即I p 1> 1 ；0 t 1备择假设H :序列｛x — u｝平稳即I p 1< 1 ；1 t 1第三种：有常数均值、有线性趋势的1阶自回归过程：x二卩 + Bt +e x +£t 1 t —1 t此种情况下，可以通过最小二乘法可以得到三个未知参数的估计值，通过检验特征根的 性质，可以考察中心化序列｛x - u — P t｝的平稳性t假设检验如下：原假设H :序列｛x - u - pt｝非平稳即I p 1> 1;0 t 1备择假设H :序列｛x -u-pt｝平稳即Ip l< 1 ；1 t 1二、ADF检验DF检验只适用于1阶自回归过程的平稳性检验，为了使DF检验能适用于AR(p)过程的平 稳性检验，需要对DF检验进行一定的修正，得到增广DF检验(augmented Dickey一Fuller)， 简记为 ADF1、 ADF 检验的原理对于AR(p)过程，如果其特征方程的所有特征根都在单位圆内，则序列｛x ｝平稳，如果t 有一个特征根存在且为1，则序列非平稳，且自回归系数之和恰好等于1证明如下:尢 p — © 尢 p—1 — •…一© = 01p1 — © —・・・—© = 01p=© +© + •… +© = 11 2 p因此，对于AR(p)过程我们可以通过检验自回归系数之和是否等于1来检验序列的平稳 性。

作如下假设检验:H : p = 0 今 H : p < 001其中:p = © + © + •…+ © — 11 2 p八ADF检验统计量：t=—「，其中S(6)为参数p的样本标准差S(P)2、 ADF 检验的三种类型第一种：无常数均值、无趋势的p阶自回归过程：x =© x +…+© x +8t 1 t —1 p t — p t第二种：有常数均值、无趋势的p阶自回归过程：x =卩+© x +…+© x +8t 1 t —1 p t — p t第三种：有常数均值、有线性趋势的 p 阶自回归过程：x =卩 + Pt +© x + •…+© x + 8t 1 t —1 p t — p t三、例题用 Eviews5.1 来分析 1964 年到 1999 年中国纱产量的时间序列年份纱产量年份纱产量1964971982335.4196513019833271966156.51984321.91967135.21985353.51968137.71986397.81969180.51987436.81970205.21988465.719711901989476.71972188.61990462.61973196.71991460.81974180.31992501.81975210.81993501.519761961994489.519772231995542.31978238.21996512.21979263.51997559.81980292.61998542198131719995671、建立时间序列文件。

在 eviews 中建立工作文件，选择 file — new — workfile ，输入 1 到 40 点击file—import,导入excel文件，并取名为sha2、检验原时间序列的平稳性平稳序列的时序图应该显示出序列始终围绕一个常数值波动，且波动的范围不大如果 观察序列的时序图显示出该序列有明显的趋势或周期，那它通常不是平稳序列绘制序列sha的时间序列图：选中sha序列，并点击主菜单Quick一Graph选择其中的折 线图(Line graph)就可作图，如下图3-1：3— 1从图可以看出，纱产量呈现波动中上升的趋势，显然不平稳，所以不是一个平稳序列这一结论，还可以通过单位根检验（ADF检验）进一步说明点击 quick一series statistics—unit root test, 输入 sha 点击 ok, 结果如下表 3—2：IaDF Test Stati Stic 愛1 鑼1% Critical Value*-3.G3535% Critical Value-2.949910% Critical Value-2.6133ac Kin non critical values for reje d&qr) of hypothesis of a unit rootAugmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable DiSHA}FvIethod Least Squa「esDate: 12/22/10 Time: 15:15Sample(adjusted； 1903 1936Included observations: 34 日ftE「adjusting endpcintsVariableCoefficie ntStd Errort-StatisticProb.SHA(-1)-0.0004620.028222-0 0163840 9870-0.2423220.173407-1.3974160.1722C16..1758610.146521.5942270 1210R-squared0.059693Mean dependent var12.85294Adjusted R-squar-ed-0.000972S.D. dependent var23.06021S E of「Egr&ssion23.07U2Akaike infc critE「icin9.199164Sum squa「Ed「Esid16601 01Schwarz criterion9.333843Log likelihood-153.3858F-statistic0.983971Durbin-Watson stat2.034194ProbfF-statistic}0.3851973— 2从表中看出t统计量为-0.016384,其P—值比显著性 水平大，所以要接受原假设，认 为序列 sha 是非平稳序列。

3、对原时间序列进行平稳化处理从折线图可以看出原序列可能存性增长趋势，所以在eviews中输入命令：series sha1=d (sha, 1),生成一阶差分序列shal，并绘制该序列的折线图，如下图3-3：6040200-20-405 10 15 20 25 30 35 40sha13— 3sha1 序列的时间序列图始终围绕一个常数值波动，因此可以认为该序列是平稳序列同 样的，用单位根检验法进行检验得到表3-4,原假设是序列非平稳，该结果显示P—值为 0.0001，比显著性 水平小，所以要拒绝原假设，认为shal序列是平稳的lADF Test Statistic1-4.5501401 % Critical Value*-3.64225% Critical Value-2.952710% Critical Value-2.6148*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.Augmented Dickey-Fuller Test EquationDep endent Variable: D(SHA1) Method: Least SquaresDate: 12/22/10 Time:15:29Sample(adjusted): 1904 1936Included observations:33 after adjusting endpointsVariable。