§ 1.4 常用的分布及其分位数1 .卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导生的分 布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布2 一当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从 N(0,1)时，Z= Xi的i分布称为自由度等于 n布密度p(z尸1n22的n2 x2分布，记作Z〜2(n),它的分式中的nu2n20,其他,1ue du,称为Gamma函数，且 1 =1 ,1 _—=%’ 兀2相互独立,2分布是非对称分布，具有可加性，即当 Y与ZY〜 2(n), Z〜 2(m),则 Y+Z 〜 2(n+m)证明：先令Xi、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xn+m相互独立且都服从N(0,1),再根据 2分布的定义以及上述随机变量 的相互独立性，令y=x 2+x 2+ -+x 2 z=x 2 /1 八1 八2 八n， J八n 1y+z= x 2+x2+---+Xn+x 2 1 即可得到 Y+Z〜2(n+ m)o+X+X2 . t分布若X与Y相互独立，且X 〜N(0,1), Y〜2(n),则 Z = xY :的分布称为自由度等于n的t分布，记作(一P(z)= 2- 14n (；)Z〜t(n),它的分布密度J O n请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当 n>30时，t 分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。
这时, t分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得到3. F分布 若X与Y相互独立，且 X〜2(n), Y〜2(m), 则Z= — /Y的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于n mm的F分布，记作Z〜F (n, m),它的分布密度n m n 1z 0其他2z2P(z尸?mn m2 (m n z) 20,请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度1的次序有美，当 Z〜F (n, m)时，Z〜F (m ,n)4. t分布与F分布的关系2若 X 〜t(n),则 Y=X 〜F(1,n)n 1证：X〜t(n), X的分布密度 p(x)=^- 1 x21nY=X2 的分布函数 FY(y) =P{Y< y}=P{X 20 时，FY(y) =P{- y<
但是，解应用问题时，通常是查分位 数表有关分位数的概念如下：4.常用分布的分位数1）分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即a 分位数、上侧a分位数与双 侧a分位数，它们的定义如下：当随机变量X的分布函数为F（X）,实数a满足0 < a <1时，a分位数是使P{X< X民}=F（ X °尸a的数X 0 ,上侧民分位数是使P{X >入}=1 - F（入户口的数人，双侧a分位数是使 P{X<入1}=F（入1）=0.5 a的数人1、使 P{X> 入 2}=1 - F（入 2）=0.5 a 的数入 2因为1- F（入户a , F（入）=1- a ,所以上侧a分位数人就是 1- a分位数X 1- % ；F（入1）=0.5 a , 1- F（入2）=0.5 a ,所以双侧a分位数入1就 是0.5a分位数X 0.5人 双侧a分位数入2就是1- 0.5a分位 数 X 1- 0.5a2)标准正态分布的a 分位数记作Ua , 0.5 a分位数记作U0.5a , 1- 0.5 a 分位数记作U 1- 0.5a当 X 〜N(0,1)时，P{X< Ua }=F 0,i(Ua 户 a,P{X
根据标准正态分布密度曲线的对称性， 当 = =0.5 时，Ua =0; )5,当 a <0.5 时，Ua <0Ua =- U 1- a如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查由U 1- a ,然后得到U a = -U1- a论述如下：当 X 〜N(0,1)时，P{X< U a}= F0,1 (Ua 户 a,P{X< U 1- a}= F 0,1 (U 1- a )=1- a ,P{X> U 1- a}=1 - F 0,1 (U 1- a 户 a ,故根据标准正态分布密度曲线的对称性，Ua = - U 1- a例如，u 0.10= - u 0.90= - 1.282,u 0.05= — u 0.95= - 1.645,u 0.01= — u 0.99= — 2.326,u 0.025= — u 0.975= — 1.960,u 0.005= — u 0.995= — 2.576o又因为P{|X|
2 a (n)>0,当 X 〜2(n)时，P{X< 2 a (n)}=民例如，20.005(4)=0.21,2o.025(4)=0.48,20.05(4)=0.71,2 0.95(4)=9.49,2 0.975(4)=11.1 ,2 0.995(4)=14.94) t分布的a分位数记作J (n)当X〜t (n)时，P{X30时，在比较简略的表中查不到J (n),可用Ua作为ta (n)的近似值5) F分布的a分位数记作Fa (n , m)Fa (n，m)>当 X〜F (n , m)时,P{X
论述如下：Fi (m , n )当 X 〜F(m, n)时,P{X< F i- a(m, n)}=1 - a ,P{->1}=1 -民,P{-<1}=民,X F 1(m,n)X F 1(m,n)又根据F分布的定义，工〜F(n, m), P{-
6 .若X〜2(4), P{X<0.711}=0.05 , P{X<9.49}=0.95 ,试写 由有关的分位数7 .若X〜F(5,3), P{X<9.01}=0.95 , Y〜F(3,5), {Y<5.41}二 0.95,试写由有关的分位数8 .设X1、X2、…、X10相互独立且都服从 N(0,0.09)分布, 试求 P{ X2 >1.44}习题答案：1.①2.73,② 21.02.①- 1.860,② 1.7823.①嗫，②3.374. 1.960为上侧0.02吩位数，-1.96归1.960 为双侧0.0汾位数5. 2.13劾上侧0.0盼位数，-2.132与2.132 为双侧0.1分位数6. 0.711为上侧0.9吩位数，9.4以上侧0.05 分位数，0.711与19.49为双侧0.1分位数7. 9.01为上侧0.05分位 数，5.41为上侧0.0汾位数，就与5.41为双侧0.1分位数，541与 9.01为双侧0.1分位数8. 0.1。