广东省中山市濠头中学高二数学理联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ） A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53参考答案：A【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差． 【专题】计算题． 【分析】直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可． 【解答】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值： =46． 众数是45，极差为：68﹣12=56． 故选：A． 【点评】本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力． 2. 已知△ABC，内角A、B、C的对边分别是a，b，c，a=，b=，B=60°，则A等于( )A．45° B．30° C．45°或135° D．30°或150°参考答案：A【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】根据正弦定理，代入题中数据算出sinA=，结合a＜b得A＜B，可得A=45°，得到本题答案．【解答】解：∵△ABC中，a=，b=，B=60°∴由正弦定理，得sinA===∵A∈（0°，180°），a＜b∴A=45°或135°，结合A＜B可得A=45°故选：A【点评】本题给出三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角．着重考查了利用正弦定理解三角形的知识，属于基础题．3. 、甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是 （ ）A. B. C. D.参考答案：A略4. 给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直其中正确命题的个数为（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：B5. 设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数取函数.当=时，函数的单调递增区间为( )A . B. C . D. （改编题）参考答案：C6. 已知{1，2}?Z?{1， 2，3，4，5}，满足这个关系式的集合Z共有 ( )．A．2个 B．6个 C．4个 D．8个参考答案：D7. 已知函数，则的极大值点为( )A. B. 1 C.e D. 2e参考答案：D【分析】先对函数求导，求出，再由导数的方法研究函数的单调性，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以，因此，所以，由得：；由得：；所以函数在上单调递增，在上单调递减，因此的极大值点.故选D【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，根据导数判断出函数的单调性，进而可确定其极值，属于常考题型.8. 等差数列中，，，则当取最大值时，n的值为（ ） A．6 B．7 C．6或7 D．不存在参考答案：B9. 如果甲是乙的必要不充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要非充分条件，则丁是甲的 ( )A.充分不必要条件； B.必要不充分条件；C.充要条件； D.既不充分又不必要条件参考答案：A略10. 点的极坐标化为直角坐标为（ ）A. B. C. D. 参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。
若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______参考答案：略12. 已知曲线在点处的切线的斜率为8，则= ______ ．参考答案：略13. 对于三次函数给出定义：设是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点” ．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题： （1）函数的对称中心为_________； （2）计算…_________．参考答案：,2012略14. 某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n= . 参考答案：19215. 在（2x+1）（x﹣1）5的展开式中含x4项的系数是 ．（用数字作答）参考答案：15【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】把多项式按乘法展开，将问题转化为二项展开式的系数问题；利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，分别令x的指数为3，4求出展开式含x3，x4项的系数；再求（2x+1）（x﹣1）5展开式中含x4项的系数．【解答】解：（2x+1）（x﹣1）5=2x（x﹣1）5+（x﹣1）5，∴（x+2）（x﹣1）5展开式中含x4项的系数为（x﹣1）5展开式中x4系数与x3系数的2倍之和；∵（x﹣1）5展开式的通项为Tr+1=（﹣1）rC5rx5﹣r，令5﹣r=4，得r=1；∴展开式中含x4的系数为﹣5；令5﹣r=3，得r=2；∴展开式中含x3的系数为10；∴（2x+1）（x﹣1）5展开式中含x4项的系数为（﹣5）+2×10=15．故答案为：15．16. 点的极坐标为 。
参考答案：或写成17. 设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，记．当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是 ．参考答案：（，1）【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离． 【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，可得∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0，即，从而可求λ的取值范围．【解答】解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1）∴=（1，1，﹣1），∴=（λ，λ，﹣λ），∴=+=（﹣λ，﹣λ，λ）+（1，0，﹣1）=（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1）=+=（﹣λ，﹣λ，λ）+（0，1，﹣1）=（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1）显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0∴∴（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2=（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得＜λ＜1因此，λ的取值范围是（，1）故答案为：（，1）【点评】本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原 点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）. （Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 …（1）∵OA⊥OB ∴, 即，……(2)又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得∴所以重心为G的轨迹方程为（II）由（I）得当且仅当即时，等号成立所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；19. 椭圆C：，其长轴是短轴的两倍，以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为，直线与椭圆交于，两点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点O作直线l的垂线，垂足为D.若，求点D的轨迹方程；（3）设直线OA，l，OB的斜率分别为，，，其中且.设的面积为S.以OA、OB为直径的圆的面积分别为，，求的取值范围.参考答案：（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由题意知a＝2b，且，由此能求出椭圆方程．（2）先考虑直线斜率存在时，设直线的方程为，和椭圆的方程联立，结合向量的垂直关系即可找到找m，k的关系式，从而求得．再验证斜率不存在时也满足，则可得点的轨迹方程.（3）设直线l的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，利用韦达定理、椭圆弦长公式结合已知条件能求出的取值范围．【详解】（1）由题可知，，且，解得：，，故椭圆的方程为：.（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，由可得，由韦达定理有：且∵，∴，即∴由韦达定理代入化简得：∵垂直直线，∴ 当直线斜率不存在时，设：，易求，此时所以点的轨迹方程为.（3）设直线的方程为，由可得，由韦达定理有：且∵，∴，即由韦达定理代入化简得：.∵，∴此时，即.故又为定值.∴∴当且仅当时等号成立.综上：.【点睛】本题考查椭圆方程的求法及求曲线的方程，考查弦长公式、三角形面积公式及直线与椭圆位置关系的应用，考查了函数思想，属于较难题．20. [选修4-4：坐标系与参数方程]（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （α为参数），M为C1上的动点，P点满足=2，点P的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的普通方程；（Ⅱ）设点（x，y）在曲线C2上，求x+2y的取值范围．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设点的坐标为p（x，y），根据题意，用x、y表示出点M的坐标，然后根据M是C1上的动点，代入求出C2的参数方程即可；（Ⅱ）令x=3cosθ，y=2sinθ，则x+2y=3cosθ+4sinθ=5（）=5sin（θ+φ）即可，【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则由条件知M（）．由于M点在C1上，所以，即，消去参数α得即C2的普通方程为（Ⅱ） 由椭圆的参数方程可得x=3cosθ，y=2sinθ，则x+2y=3cosθ+4sinθ=5（）=5sin（θ+φ），其中tanφ=．∴x+2y的取值范围是[﹣5，5]．【点评】本题考查轨迹方程的求解，及参数方程的应用，属于基础题．21. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系中,直线l的极坐标方程为．（1）求出线C1的极坐标方程及直线l的直角坐标方程；（2）设点P为曲线上的任意一点,求点P到直线l的距离最大值．参考答案：（1）曲线C1的极坐标方程，直线l的直角坐标方程为（2）【分析】（1）先求解的普通方程，然后将其转化为极坐标方程；（2）设出点的参数形式，利用点到直线的距离公式以及三角函数有界性求解最大值.【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数)，消去方程中的可得普通方程为，将，代入上式得．所以曲线的极坐标方程．直线l的极坐标方程为，即，将，代人上式，得，所以直线的直角坐标方程为．（2)设为曲线上。