单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 线性系统的根轨迹法,本章主要内容与重点,根轨迹方程,根轨迹绘制的基本法则,根轨迹,系统的性能分析,本章阐述了控制系统的根轨迹分析方法包括根轨迹的基本概念、绘制系统根轨迹的基本条件和基本规则,以及利用根轨迹如何分析控制系统的性能本章重点,本章主要内容,学习本章内容,应重点掌握根轨迹的基本概念、绘制根轨迹的条件、系统根轨迹的绘制规则和利用根轨迹分析系统性能,4-1 根轨迹基本概念,特征方程的根 运动模态 系统动态响应（稳定性、系统性能）,一、根轨迹,开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹称为根轨迹若闭环系统不存在零点与极点相消，闭环特征方程的根与闭环传递函数的极点是一一对应的稳定性由闭环极点决定，系统的性能与闭环零极点 分布有关，零极点由根轨迹给出，也就给出了系统时间响应的全部信息，可以指明开环零极点如何变化可以满足系统的性能要求，同时可以求出系统的近似根例 :分析 二阶系统的根轨迹与,系统性能的关系,开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极点的全部数值。
K=1,K=2.5,二、根轨迹与系统性能,稳定性,考察根轨迹是否进入右半 s 平面K由0变到无穷根轨迹未进入S平面右半平面，可知系统稳定什么时候出现 临界开环增益）,稳态性能,开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系数但是由开环传递函数绘制根轨迹，K是根轨迹增益，根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系分析上例系统的根分布在虚轴的左侧系统是稳定的动态性能,由K值变化所对应的闭环极点分布来估计分析上例,0K0.5根为一对复根，欠阻尼状态阶跃响应为衰减振荡超调随k增大而增大K=1最佳阻尼状态,K1平稳性变差,所以绘制出系统的根轨迹即可分析系统的性能对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到根轨迹根轨迹法,图解法求根轨迹从开环传递函数着手，通过图解法来求闭环系统根轨迹三、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系,设 控制系统如图所示,和,：前向通路增益,：前向通道根轨迹增益,：反馈通道根轨迹增益,开环系统根轨迹增益与开环增益之间相差一个比例常数,结论：,（1）闭环系统的根轨迹增益=开环系统前向通道系统,根轨迹增益2）闭环系统的零点由 开环前向通道传递函数的零点和,反馈通道传递函数的极点所组成。
3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益,均有关根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点四、根轨迹方程,由闭环传递函数,当,求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹根轨迹变化的参数不一定是参数 也可使其他参数,根轨迹方程,根轨迹方程可以进一步表示为（实质是向量方程）,相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）,模值条件（幅值条件）：,4-2 根轨迹绘制的基本法则,可变参数为根轨迹增益,相角条件：,180,o,根轨迹,规则1,：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点简要证明：,又从,在实际系统通常是 ，则还有 条根轨迹终止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 个无限远（无穷）零点有两个无穷远处的终点,有一个无穷远处的起点,规则2,：根轨迹的分支数和对称性,根轨迹的分支数,与开环极点数n相等（nm）,系统有n个根所以K变化时s平面有n条轨迹（nm 时，则有（n-m)条根轨迹分支终止于无限零点这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定证明如下,渐近线是s很大时系统的根轨迹，,采用长除法,S很大时，省略高次项上式近似为,上式按二项式展开略去高次项,方程两边实部和虚部分别相等即可求出下式,渐近线是n-m条与实轴交点 为交角为 的一组射线,与实轴夹角,与实轴交点,例1 设单位反馈系统的前向传递函数为，利用上述法则确定相关数据,（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴,（1）,（3）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线,与实轴夹角,与实轴交点,规则4,：实轴上的根轨迹,若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。
这个结论可以用相角条件证明设开环零极点分布如图，,s,0,为一测试点j,z,1,z,3,s,0,z,2,p,3,p,2,p,0,p,4,利用向角条件分析,是各开环零点到测试点的相角是开环极点到测试点的相角1、由图可见复数共轭极点到实轴任意一点相角和为2,共轭零点也如此可以不考虑其影响2、测试点左侧的开环实数零极点到测试点的相角为零，右侧的开环实数零极点到测试点的相角为 ，,由相角条件,规则5,：根轨迹分离点与分离角,两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点称为分离点（会合点）分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定：,或,注：（1）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点3）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的4）l条跟轨迹分支进入并离开分离点时分离角由（2k+1）/l决定，k=1,2,3,.,l-1;,分离角是根轨迹进入分离点的切线方向与实轴夹角的正方向例 2 绘制图示系统大致的根轨迹,解（1）开环零点,开环极点,根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。
2）实轴上根轨迹,（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点,（4）分离点（用试探法求解）,规则6,：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）,起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴的夹角 终止角（入射角）：根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实轴的夹角 设系统m个开环零点n个开环极点靠近起始角处取点,s,1,另s,1,无限接近极点p,i,除,p,i,外所有开环零极点到,s,1,的向量角，,同理有,规则7,：,根轨迹与虚轴的交点,交点对应的根轨迹增益 和角频率 可以用劳斯判据或闭环特征方程（）确定例5 设系统开环传递函数,试绘制系统大致的根轨迹方法1利用劳斯判据：与虚轴相交系统处于,临界稳定，令劳斯表第一列含K 的项为零，确定K值利用偶次项，构造辅助方程求解，,方法2：s=jw带入闭环特征方程另虚部和实部为零求解参见实例解（1）无开环零点，开环极点,在实轴上根轨迹-3，02）有4条分支趋向无穷远处渐近线的夹角与交点,（3）分离点,（4）起始角（出射角）,（5）与虚轴的交点 运用劳斯判据,由第一列、第四行元素为零,由辅助方程,方法2：s=jw带入特征方程有实部,虚部方程,规则 8,：,闭环极点之和、闭环极点之积与根轨迹分支的走向,-1+j,-1-j,1,-1,若开环传递函数的积分环节个数,结论,：（1）若 n-m,2,闭环极点之和=开环极点之和=常数,表明：在某些根轨迹分支（闭环极点）向左移动，而另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右移动，才能维持闭环极点之和为常数。
2）对于1型以上（包括1型）的系统，闭环极点之积与开环增益值成正比闭环极点的确定,对于特定的K,*,值下的闭环极点，可以借助根轨迹图用模值条件确定根据K,*,值，通常用试探法先确定在实轴上的闭环极点，然后确定其它的闭环极点例6 确定 K,*,=4 的闭环极点因为已知分离点,-1+j,-1-j,1,-1,于是可知 K,*,=4 对应的闭环极点在分离点两侧经过若干次试探，找出满足模值条件的两个闭环极点,另外两个根可以从特征方程求出,4-3系统性能的根轨迹分析,一、系统性能的定性分析,闭环系统零点和极点对时间响应性能的影响1）稳定性：闭环极点分布在s左半平面即可，与闭环零点无关2）运动形式：闭环系统无零点，闭环极点均为实数响应一定是单调的，闭环极点均为复数响应一般是振荡的3）超调量：主要取决于复数主导极点衰减率,或阻尼比与其它闭环零极点接近原点的程度有关.,（4）调节时间：取决于最靠近虚轴的闭环的复数极点实部绝对值，如实部极点离虚轴最近且附近无零点，则调节时间取决其模值5）实数零极点影响：零点减小系统阻尼超调增大峰值时间提前，极点增大系统阻尼峰值时间滞后，超调减小，离原点越近作用越强6,）偶极子处理：零极点之间的距离接近，并且它们之间的距离比它们本身距离小一个数量级，可以约去，但是它们接近原点时必须考虑。
二、附加开环零点的作用,1.附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性设开环传递函数为,附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择，当 时，表明不存在有限零点令 为不同的数值，对应的根轨迹见下一页图所示：,（a）无开环零点；（b）；（c）,（d）,-1+j,-1-j,图,a,j,-1+j,j,-1-j,图b,-3,-1+j,j,-1-j,图c,-2,-1+j,j,-1-j,图d,图形与零点变化的关系,结论：开环极点不变附加负实数零点使系统的根轨迹向 S左半平面弯曲，或发生趋向附加零点方向变形，这种影响随开环零点接近原点而加强，上述结论对有共轭负实部零点同样适用2.附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善3.稳定性与动态性能对附加开环零点位置要求有时不一致例：,例：已知开环传函绘制根轨迹及临界稳定时,1、根轨迹起始点和终点,2、实轴上的根轨迹0，-4,3、根轨迹的渐近线,4,、根轨迹的分离点,5,、与虚轴的交点,G=zpk(,0-4-2-4i-2+4i,1);%建立等效开环传递函数,rlocus(G);%绘制根轨迹,本章小结,1、基本概念,根轨迹、前向通路增益、前向通道根轨迹增益、反馈通道根轨迹增益、根轨迹增益、及它们的关系,2、8条绘制根轨迹的规则和根轨迹的绘制。
3、利用根轨迹对系统性能的定性分析,。