极限的常用求法及技巧引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念极限的方法是微积分中的 基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方 法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变极限被称为微积分学习的 第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结， 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限(定积分)，其中 函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下 去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x趋于正无穷， x 趋于负无穷函数的极限等等本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较 全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种 方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到 能够举一反三，触类旁通1数列极限的常用求法及技巧数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方 法数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方 法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求 法。
1.1利用定义求数列极限利用定义法即利用数列极限的定义 设匕｝为数列若对任给的正数N,使得n大于nN 时有|a - <£则称数列匕｝收敛于a ,定数a称为数列匕｝的极限，并记作lim an = a,或n n nn fga f g,(n fg)n读作当 n 趋于无穷大时，例证明limn fg匕｝的极限等于a或a趋于ann3n 2n 2 一 2解 由于3n 2999 <-(n > 3)n2 一3 n9因此，对于任给的E >0,只要9 <£,便有n3n 2n 2 一 33 9时，（2）试成立又因为（1）式是在n > 3的条件下也成立，故应取EN = max |3, — j.在利用数列的—- N定义时，应意识到下几点1.—的任意性 定义中的正数—的作用在于衡量数列通项匕｝与定数a的接近程度，—n越小，表示接近的愈好；而正数—可以任意的小，说明匕｝与a可以接近到任何程度 n然而，尽管— 有其任意性，但已经给出，就暂时的被确定下来了，以便依靠它来求出N.又1.2 利用极限的四则运算极限的四则运算法则若｛ a ｝与｛ b ｝为收敛数列，则｛ a + b ｝, ｛ a -b ｝, ｛ a • b ｝也都是收敛数列，其有 n n n n n n n nlim(ainslim(ans土 b ) = lim a 土 bn n nn—g• b ) = lim a lim bn n nn—g n—g例 求 lim p n (*：n -1 -\n)n—gJn (Jn — 1 - Jn)=—''n +1 + *： n1.3 利用单调有界定理单调有界定理即在实数系中，有界的单调数列必有极限，单调数列即 若数列匕｝的各n 项关系式，a < a （a > a ）n n +1 n n +1则称L ｝为递增（递减）数列。
n递增数列和递减数列统称为单调数列有界性即 M存在使得对于一切正整数n,有 |aj < M这一方法是利用极限理论基本定理：单调有界数列必有极限，其方法为:（1）判定 数列是单调有界的，从而可设其极限为A2）建立数列相邻两项之间的关系式3） 在关系式两端取极限，得以关于A的方程，若能解出A,问题就可以解决了一般利用单调有界原理求极限的题目都给出了第 n 项和第 n+1 项的关系式首先应 用归纳法或“差法”，“比法”等方法证明其单调性，再证明其单调性，有界性（或先证 有界，再证单调）由单调有界定理得出极限的存在性，然后对关系式两端求极限， 例求数列Ja上a + Qa ,\：a + a + a a + J a +— •ja • • •其中（a>0 ）极限解： 设x = Qa， x = \：'a + \ia = 0 所以 A =即 lim xnnT8例设 x>0,a >0, Xn=0,l,2・・・.z证明数列览｝的极限存在，并求n+1之。
证明： 易见X >0,n=0,l,2・・・.所以有n+1x2L ) = Xn+1=a +1 — (—1)n (a — a)211+l由 oN时n n 0 0a < c < bnnn则数列：｝收敛，且limc二annnT8由迫敛法则可得所求极限与已知数列极限相等例求lim1.3.5…(加-】)2.4.6 •••(2n)n T8解 ：记 xn1.3.5・(2n-l)2.4.6 •••(2n)2.4.6 …(2n)3.5.7 --(2n +1)显然X < y ,n=1.2…,所以即数列長｝单调递减有下界，极限存在记limx = a ,对关系式X =1 （X +丄）n n n+1 2 n Xn» n令n—g取得极限得到A二、:万.（其中A=- /a <0,因不合舍去）例 设 a >O（i=l, 2, i3・・・m)，记M二max(a , a，…a )。
证明1 2 m证明：limain + a 2n +…amn = Mn因 Mn < ain + a2n +…amn < mn f M (n—8)即 limn T8ain + a 2n +…amn = Mn1.5利用递推关系有些题目中数列的单调性不易证得时就不能应用单调有界定理，此时可尝试采用递推关系应用压缩原理去解决•这些题目一般都给我们一个递推式a = f （a ），但单调性不易 n +1 n或根本无单调性，设a , a为任意取定的实数，且a.2+a22 ho,1 2 1 2定义a = ka +1a①n+1 n n-1其中，k , l 为正数，且k +1 = 1, n=l,2・・・.试求liman+1ans证明 由k +1 = 1,即0< k<1,0< 1 <1.由①式得a -a =-i(a -a )= 12 (a -a )= ...1n-1(a -a)n+1 n n n -1 n -1 n -2 2 1a = (a — a)+ (a — a )+ •••© — a)+ an+1 n+1 n n n-1 2 1 1=[(—i)n-i +(—i)n-2 + •••+_/ + i)](a + a)+ a 所以有2 1 10< x 2
对于一个有界数列匕｝取掉它的最初K项以后，剩下来的仍旧是一个数列，记这个数列的上确界为卩，下确界为a亦即kkP = sup {a }= sup 4 a - a •••}knn > k a = inf {a }= inf {kn >kna ,a k+1, k+2 k+3a , a •｝n k+1, k+2 k+3可见a <卩，令k = 1,2,3…于是可以得到一列命｝和一列匕｝，显然命｝是单调递减 k k k k k的,匕｝是单调递增的，所以这两个数列的极限都存在，我们称命｝的极限为数列｛ ｝k k n的上极限，匕｝为数列｛ ｝的下极限我们可根据上下极限处理一些极限问题 kn例设lim x =A.求证nn T812=A1 x + 2 x +... lim「3 2 证明由lim X =A,知对任给e > 0，存在N,使得当n>N时，有nn T8A- 8 < X A—£nns于是 limy > A—£nns于是A-e < limy
且limx — xn n—1- -yn—1=a 则 lim Znn=a或｛x ｝, ｛y ｝都是无穷小量，且｛y ｝是严格单调减少数列，且 n n nlim Xn * y — yn n -1i = a （ a为有限量，+8与—g ），贝U lim三n = a n Tg y n证明｛y ｝是严格单调增加的正无穷大量，且lim二_二亠=a（a为有限量，+8与—g ） n nTg y — yn n —1贝 U lim 二=anTg yn证：⑴考虑a = 0的情况由 lim XXn ts y yn i卄—0，有 V8, BN, Vn(n > N),n-1x -xn n 1y -yn n-1<£x - Xn n-1y ― yn n-1—|x — xn n-1+xn-1—X +•••+ x — X + Xn - 2 N+1 N 」< x -x1X 一 Xn-1 n-2X +N+1 N1<8[|y -y 11+ …+ yN +1- yNy 是严格单调增加的，因此 nX-nyny -y + y — y +••• + y — yN+1 NX|yny 是正无穷大量 nX —n ynX —n yn<8y ― yn Nyn3N , Vn(n > N ),2y|n取 N' = max(N, N ) +1,2Vn(n > N。