为了加深对数学思想方法的理解，增加数学素养，从本学期 开始我们将在教学栏目刊登有关这方面的阅读资料，供大家 课余欣赏阅读一悖论及其意义一、悖论的举例及其注释为了便于理解悖论的特征和意义，我们不妨先从实例讲起 由于悖论的起源和发展几乎与科学史同步，所以悖论已经历了几千年漫长的 发展和演变过程，因而种类繁多，无法一一列举，下面仅举几个典型例子1．说谎者悖论公元前六世纪，克里特人构造了这样一个语句，一个克里特人说：“所有克 里特人说的每一句话都是谎话，”试问这句话是真是假？这里给出这句活是真是 假的逻辑论证：假设它是真的，即所有克里特人说的每一句话都是谎话，由于这 句话正是克里特人所说，故根据此话的论断可推出这句话是假的由此可见，由 这句话的真可推出它是假的显然，这是一个逻辑矛盾产生矛盾的原因是，命 题的论断中包含了前提反之，假设这句话是假的，也就是说并非每一个克里特 人的每一句话都是假话，从而既不能导致逻辑矛盾，也推不出它的真此悖论的特征是，由它的真可以推出它的假，但反之，由它的假却推不出它 的真现将此悖论略加修改，可以构造一个强化的说谎者悖论：“我说这句话时 正在说谎”，试问这句话是真是假？下面给出这句话真假性的逻辑论证。
假设这句话是真的，即肯定了这句话的论断，但由此话的论断推出这句话是 假反之，假设这句话是假，则应否定这句话的论断，即肯定其反面，从而又推 出这句话是真以上矛盾产生的原因是，由于语言结构层次的混乱，具体地讲，这是一句话 套话的句子，且被套的话就是套它的话自身，或者说被断定的话与断定的话混而 为一2. 康托悖论这个悖论是康托 1899 年发现的，现叙述如下设集合M是所有集合的集合，试问集合M的基数M与集合M的幂集的基 数PM，哪个大一方面，根据康托定理，任何集合 A的基数亍小于其幂集P(Af,即< P(A，可推得M < P(M ) (i)另一方面，由P(M)是M的幂集，可知集P(M)中的任一个元素x，即x g P(M)都是M的子集，所以x必是一个集合而又因M是所有集合的集合，从而又有x g M于是有P(M)匸M，即P(M)是M的子集，故又有M > P(M) (ii)显然，(i)式与(ii)式矛盾，产生这种悖论的原因是，在承认康托定理的前 提下，根据概括原则所确定的集合M是不存在的3. 罗素傅论此悖论是罗素的 1902 年提出的，叙述如下将集合分为两种，一种是集合A亦是它的元素，即A g A，例如，所有集合 的集合就属于这一种。
人们称这种集合为本身分子集另一种集合A不是它的元 素，即A纟A，例如，自然数集就属于这一种集合人们称这种集合为非本身分 子集观将所有集合按此标准分为两类，一类是所有本身分子集，另一类是所有 非本身分子集现在问，所有非本身分子集组成的集是哪一种集合为了陈述简 明清晰，不妨设所有非本身分子集构成的集为M，即M = {x: x电x}如果M是本身分子集，即M g M，由M的组成可推出M电M ；反之，如 果M是非本身分子集，即M电M，由M的构成又可推出M g M综合以上可得如下逻辑推理表达式这是一个两边互相矛盾的等价式（注意这和康托悖论中的两个互相矛盾的命 题有些微妙的差异因为两个互相矛盾的等价命题，当然首先是两个互相矛盾的 命题；但反之，两个互相矛盾的命题未必都能化归为两个互相矛盾的等价命题） 产生这个悖论的根源是，这种所有非本身分子集是不存在的4. 理发师悖论下面我们介绍罗素 1919 年仿他构造的集合论悖论改写而成的理发师悖论将李家村上有刮胡子习惯的所有人分成两类，一类是自己给自己刮胡子，另 一类是自己不给自己刮胡子该村有一个有刮胡子习惯的理发师给自己规定：给 而且只给那些不能自己刮胡子的人刮胡子。
试问这个理发师属于上述两类人中的 哪一类或者这个理发师自己给自己刮不刮胡子？如果说他是属于自己给自己刮 胡子的一类，但按照他自己的规定，他不能给自己刮胡子，从而推得他只能属于 自己不给自己刮胡子的一类，反之，如果说他是属于自己不给自己刮胡子的一类， 但按照他的规定，他必须给自己刮胡子，因而他只能属于自己给自己刮胡子的一 类综合以上可推出如下的两个互相矛盾的等价命题理发师自己给自己刮胡子O理发师自己不给自己刮胡子5. 理查德悖论这个悖论是 1905 年提出的，现已有很多不同的表达形式，这里仅就其中的 一种陈述如下将自然数的所有性质编成号码a], a2，…,an，…,如果序数i具有a,所表示的性质，则称i是非理查德自然数域，简称非理查 德数例如，若令彳表示素数集或素数定义，因为3是素数，于是3就是非理 查德数如果素数i与a,所表示的性质不符，则称i为理查德数例如，令厶表 示偶数，因为 5 不是偶数，所以 5是理查德数根据以上概念构造理查德悖论如 下理查德数是与编号所表示的性质不符的序数的自然数显然，这句话也表示自然数的一个性质，因而也有一个号码a厂 试问序号j是理查德数还是非理查德数？下面给出简要论证。
如果 j 是非理查德数，根据定义 j 具有这句话所表达的性质，即， j 是一个 理查德数；反之，如果 j 是理查德数，根据定义 j 与这句话意思不符，即不满足理查德数的定义，所以 j 必是非理查德数从而有j是非理查德数o j是理查德数故上述那句话是一个悖论6. 抛球悖论这个悖论是哲学家布莱克根据芝诺悖论略加修改而获得的一个关于时间的 悖论其内容如下11一个球在A框中停一分钟，传到B框中停-分钟，再传回到A框中停-分钟, 24又传回到B框中停1 =丄分钟，如此往复作下去，试问球最后在A框中还是在B8 23方框中？显然，在 A 框中不对，在 B 框中也不对因为，数列不存在最后一个二、悖论的特征及其根源综述1. 悖论的逻辑结构分析 以上六个悖论从逻辑结构上大体可分为四类，概述如下1）A ，但「A n A即由A可以推出非A ;但反之，由非A却不能推出 A 譬如说谎者悖论2 ） A a B（A丰B），即由A可以推出非B和B譬如康托集合论悖论3）「A o A，即A与非A可以互为因果关系，或者A与非A同假同真 譬如罗素悖论 4） A n ? ，这表示由前提 A 推不出什么结果譬如抛球悖论2. 悖论的严格定义在历史上人们把导致逻辑矛盾的命题形式或语句通称悖论，守旧派甚至把为 冲破旧传统观念的局限性和束缚而引入的新概念和新方法也诬蔑为悖论。
例如， 远在古希腊时期，由于人们发观了不可通约或不可公度线段的存在，从而导致了 无理数的产生，这个新概念的提出就冲破了有理数的局限和束缚，当时的守旧派 就诬蔑无理数是数学中的悖论由此可见，从历史上看，悖论这个概念的外廷比 较大，因而涉及的面就广目前对悖论也有几种不同的定义，有的对条件要求太严，因而它的外廷太小， 有的却对条件要求太松，从而导致它的外延太大我们认为这两个极端都不太好， 所以赞同其中这样的如下一种定义如果在某一个理论系统中，能够推出两个互相矛盾的命题或语句，或者该系 统中能证明两个互相矛盾的等价命题或语句，则称该理论系统中包含有悖论如 果这个悖论能陈述为一种命题的形式或语句(注意有的悖论往往要在一个推演过 程中才能表观出来)，又称这个命题形式或语句是该系统中的一个悖论由上述定义可知，悖论是一个相对概念，即悖论是对一个理论系统而言的 另外，悖论是一个系统中的逻辑矛盾，但并非所事有逻辑矛盾都是悖论，譬如， “说谎者悖论”，虽然是一个逻辑矛盾，但在上述定义中却构不成一个悖论，即 悖论集是逻辑矛盾集的一个真子集3. 悖论的根源(1)逻辑方面的因素悖论实质上是一种特定的逻辑矛盾产生这种逻辑矛盾的根源之一是构成悖 论的命题形式或语句中隐藏有一个利用恶性循环定义(被定义的对象已包含在借 以定义它的对象之中)的概念。
正是这种恶性循环圈的存在导致了悖论的产生 例如，在康托悖论中就包含了一个这样的概念：集合 M 是所有集合的集合在 这里集合M被定义为所有集合的集合，显然，所有集合中当然已包含了集合M下面我们再引伸一步，为什么能出观恶性循环定义呢？从语义学的角度讲， 在语句结构中话套活，因果交叉，层次混乱，从数学的角度讲，主要原因有，一 是运用了 X G X与X纟X之类作为条件；二是利用康托朴素集合论的概括原则构造集合，即将满足某一性质p的元素的总体确定一个集合，记作A = {x: p(x)}或 x g A o p(x) 三是无限概念的参与，可以说它是数学矛盾的主要根源之一2.认识论与方法论方面的因素从认识论和方法论的角度看，产生逻辑矛盾或悖论的根本原困，无非是人们 认识客观世界的方法与客观规律的矛盾例如，在康托悖论中，首先利用概括原 则构造了一个作为论题出发点的集合，即所有集合的集合然而，客观世界中就 根本没有这样的集合这种由概括原则构造集合的任意性 （注意在前面提到的 ZFC 公理系统中的子集公理的提出，就是为了限制这种任意性与客观世界中生成 集合的非任意性的矛盾）是导致康托悖论的根本原因再如，贝克莱悖论（当牛顿 —莱布尼兹微积分诞生以后，一方面在科学和生产实践中得到了广泛的应用，但 另一方面，无穷小方法包含有逻辑矛盾，这个逻辑矛盾当初被称为贝克莱悖论）， 在十八世纪人们认为从逻辑上讲确已构成悖论，但是，当今这个悖论已不存在了。
这表明悖论有它的相对性和时间性，产生这种时间性的根本原因，是人们认识客 观世界有其局限性这就是说，随着人类对客观世界认识的发展和深化，以前是 悖论现在有可能被消除，现在是悖论将来也许就不是了或者被消除三、解决悖论的方法悖论形式多样（一般大体可分为逻辑悖论和语义学悖论两类），因而解决悖论 的方法也不唯一用的较多的有罗素的分支类型论、塔尔斯基的语言层次论、策 墨罗—弗兰克的公理化方法这里我们着重介绍策墨罗—弗兰克的公理化方法， 即在前面己介绍过的 ZFC 集合论公理系统由于人们普遍认为集合论应该是整个数学的基础，因此悖论在集合论中的出 现就动摇了整个数学的基础，所以在数学界、逻辑界引起了很大的震动为捍卫 数学理论基础的科学性和逻辑严密性，当时很多著名的数学家、逻辑学家和哲学 家都积极地投入了一场解决集合论中悖论的大会战这就是策墨罗—弗兰克公理 集合产生的客观背景，也正是我们着重介绍它的主要原因然而，集合论包含悖论的主要根源是，在康托朴素集合论中一个构集的原则， 即概括原则有问题，而概括原则出问题就在于它在构造集中用了任意性原则（如 “所有集的集”）于是，策墨罗等人就根据这个产生悸论的关键因素建立了一 个公理系统。
在这个公理系统中，一方面保留了康托朴素集合论中概括原则的合 理因素，另一方面对它构造集的任意性的不合理因素加以适当限制，这样就形成 了一个包括改造了的概括原则，即分离公理或子集公理在内的集合论公理系统 在该系统中只承认由它的公理组所允许范围内构造的集合才算集合，凡是超出本 系统所控制的范围所构造的集合统统不予以承认，即都不是集合下面我们来证 明康托悖论与罗素悖论在 ZFC 集合论公理系统中的确已被排除要证康托悖论与罗素悖论在 ZFC 公理系统中被排除，只要能证明“所有集合 组成的集合M ”与“所有非本身分子集所组成的集合A ”都在ZFC公理系统中 不是集合即可为此，首先根据ZFC公理系统中的分离公理出发，在该系统中证 明如下的一个定理定理 任何一个非空集合M必有一个子集，但它不是M的元素用形式符 号表示为VM '[mU M a M电M]证明 首先从M出发，根据分离公理构造集M '为M' ={x: x e M a x 电 x}即集M '是由M中满足条件x电x的元素。