持续交通流模型及数值模拟［摘要]本文对既有的交通流宏观模型进行了研究，总结了多种模型的思想、优缺陷以及合用条件，在此基本上,选用了Pａyｎe模型离散格式进行数值模拟,选用了某段高速公路的交通流作为模拟对象，呈现了Payｎe模型模拟交通流的可行性 [核心字］ 持续交通流;离散格式;数值模拟0 引言交通流理论研究加深了人们对复杂多体系统远离平衡态时演变规律的结识，增进了记录物理、非线性动力学、应用数学、流体力学、交通工程学等学科的交叉和发展等多学科的交叉渗入和互相发展交通流理论研究的对象是离散态物质,是一种复杂的非线性体系,对此类物质运动规律的描述，尚无成熟的理论 在宏观的持续流模型中，交通流被比拟为持续的流体介质,即将流量、速度和密度等集聚变量视为时间和空间的持续函数模型涉及时间和空间的状态方程，考虑了车辆的加速度、惯性和可压缩性，可以合理精确描述交通流的动态特性，相比微观模型有更大的优势持续流交通流模型一般用密度(k)、速度(u)、流量（q)三个变量来描述[1]1 持续交通流模型1.1 LＷR模型1９55年,Lighthill&Wｈiｔhaｍ提出了第一种交通流的流体力学模型——流体运动学模型[２],随后P.I．Ｒiｃhards独立地提出了类似的交通流理论。
LＷR模型用k(x,t)和u(x,ｔ)表达t时刻位于x处的交通流密度和平均速度，她们满足流体力学的持续方程： (1-１)此方程反映了车辆数守恒,其中g(ｘ,t)是流量产生率，对没有进出匝道的公路,g（x,t)=０，对进口匝道，g(x,ｔ)＞０，对出口匝道，g(x,t)=0k为交通密度,也称为交通流量；ｘ，t分别为空间测度和时间测度设u为空间平均速度，则存在如下关系: (1-2)对于平均速度u(x,t），假设平衡速度——密度关系: （1-３）以上3个方程构成了完整的一阶持续交通流模型,LWR模型的长处是简朴明了,可以采用流体力学和应用数学中的成熟工具进行分析,并且可以描述诸如交通阻塞形成和消散之类的交通现象,但是，由于该模型的速度是由平衡速度密度关系决定,并且没有考虑加速度和惯性影响，因此不合用于描述本质上处在非平衡态的交通现象,例如车辆上、下匝道的交通、“幽灵式”交通阻塞、交通迟滞、时走时停的交通等。
于是,后来的学者们引进了高阶持续介质模型，考虑了加速度和惯性影响，将动量方程替代方程(1-3）１.2 Payｎe模型Pipes于19５3年提出交通流加速度的一般体现式： （1－４）1971年,Ｐayｎe根据LWR模型的思想，假设交通流速度是动态变化的,在引用持续性方程时,引进运动方程，导出高阶持续模型［3]Pａynｅ从车辆跟驰理论的概念提出平均速度u与密度ｋ存在如下关系： (1-５）并取，——车辆跟驰理论在的延滞时间,对上式分别作有关和的Tａyloｒ展开,得到: (1-6）上式中，：预期指数,将平衡速度简写成从而建立了由如下三个方程构成的Paynｅ模型： （1-6） (1－７） (1－2)式（1—６)的右边第一项为盼望项,反映驾驶员对前方交通状态变化的反映过程；第二项式弛豫项，描述车流速度在时间内向平衡速度的调节,最优速度函数和其她参数通过道路实测和参数辨识拟定。
1９79年,Pａｙne编制了出名的ＦREFLO软件,有史以来第一次将交通流仿真模型应用于工程实践但Paｙne模型并未充足考虑整个弛豫过程，而只是将其定为一种常数的弛豫时间，虽然处在平衡状态时，弛豫时间变为零，在实际应用中，浮现了某些问题Rathｉ等人指出，使用Pａynｅ模型,车流速度到平衡态速度的调节过程过于缓慢Roｓs也发现，当道路拓扑特性和交通量在短时间内突变时，由于车流速度调节到平衡速度过程缓慢,无法捕获到实际交通流动态特性Cａstiｌlo等对Paynｅ模型进行了线性稳定性分析，发现车辆总是在稳定的范畴内行驶,这与实际不符Paｙne本人也发目前高密度状况下，模型也许会遇到稳定性问题,车流密度也许浮现大大偏离实际的高密度问题后来的研究者在payｎe模型的基本上，不断加入新的项,构成了各自的模型1.3 Kuhne模型19８4年,R.D.Khunｅ引入交通流的粘性影响,基于Navier-Stokｅs方程建立如下方程: （1-8）式中: 为直接与车辆跟驰的弹性有关的声速;为粘性系数线性稳定性分析表白,当时交通状态是稳定的而 (1-9）式中:称为临界密度。
当超过时交通完全瘫痪该模型可用于超拥挤状态的交通分析但仍需拟定平衡状态下的速度——密度关系，因而并未主线解决Ｐayｎe 模型中的致命问题１.4 吴正模型国内学者吴正针对国内低速混合交通提出了～维管流模型,引用了交通压力、交通指数等新概念,并通过数值模拟分析了交通堵塞的形成和疏导过程,与实测相符[４]一维管道内物质流的基本方程如下: (１－1０) (1－11)其中变量ｋ——车流密度，即单位长度路段上的车辆数;A——路段宽度或车道数；u——车流速度; ——车流通过单位面积路面时所受阻力;Ｐ——交通压力提出了交通流压力比拟的基本假定： (） (1－12）其中Ｃ和ｎ是两个可调参数,变化它们的取值就能使模型合用于不同的交通状况n称为交通状态指数吴正模型可以较好地模拟实际交通过程，涉及局部地方发生严重交通堵塞后的疏散过程东明等人在吴正的运动方程中考虑正比于速度的阻尼项的作用，数值模拟分析了地面交通对高架路交通的影响２ 交通流离散模型数值模拟2. 1 交通流计算模型笔者采用的交通流计算模型是Ｐaynｅ型模型 其运动微分方程为: (２-1） (2-2） (2－3） 2． ２ 模型的离散格式采用Eｕｌｅr积分对Payne运动微分方程进行离散，得到Payne模型的离散方程： （2-4) (2-5） (2-６)式中：ｎ=１,2,3，……,为时间步；i=1,2,3，……,为空间节点位置;为第i段道路长度;为进出匝道的流率。
本文采用的时间步长、空间步长随时间序列和空间节点位置两者的变化而变化的变步长令 (2-7) （2-8)其中（）为畅行速度３ 算例及计算成果分析以广深高速公路某时段的实测交通数据为样本进行数值模拟计算时边界条件均采用自由流边界条件：, (３-1) 算例的计算路段长度Ｌ= 6 km 设计速度 =１20km／ｈ 阻塞密度= ２00pcu/ ( ｋｍ•车道)最大波速选自广深高速公路2车道的实测数据回归值 ＝ =100km/h计算中，将路段L等距提成12个区段 即＝ 0.５ km, L= 12，模拟100步时间步,初值条件如表3-１所列表3－1 变步长计算初值条件区段12345678910１112密度／[pcu•（ｋm•车道)-1]1７．918.41８.41８．2１８．１5２.１5１．851．718．618．117.81８.１速度/（kｍ•h-1）87．787.687.６87.687．７44.94５.１45．2８７.６87．７87.７８7.７通过1０0步迭代计算后密度和速度的计算成果如图3-１、图3-2 所示，部提成果如表3-２所示图3-１ 变步长密度关系图图３－２ 变步长速度关系图表３－２ 100步迭代部提成果区段计算步长97步9８步99步1０0步密度速度密度速度密度速度密度速度1１７.9109.2117．9109．2117.9１0９.2１1７.９1０9.2１2１7.91０9．２1１7．910９.2１１7.910９．2117.9109.21３17.9109.2１17.910９．2１17.９10９.２117.9１09．21417.91０9．21１7.9109.2117.9109．２１1７.９1０9.21518108．591810８.591８１０8．5918１08.5９625．01１08.1625.011０8.1625.01１０8.162５．011０８．16７25．1１07.78２5.1１０7.782５．1107．7825.1１07．78825.07107．９２5.０7107.９25．0７１07.92５．07１07．9９１8.56１08.0418.56１08.0418.56１08．04１8．561０８.０41０１８.54108.16１8.54108．16１8.54１08.１６1８．54108.161１1８.51108．２91８．5２１０8.2９1８.51108.2918.52108．29１218.251０9.９618.22109.9618．2510９.9618.22109.96４ 结论本文一方面对既有的交通流宏观模型进行了研究,总结了多种模型的思想、优缺陷以及合用条件，在此基本上，选用了Ｐａynｅ模型离散格式进行数值模拟，选用了某段高速公路的交通流作为模拟对象，呈现了Payne模型模拟交通流的可行性。
参照文献：［１]李进平,张乐文.交通流的流体动力学模型研究,武汉理工大学学报（交通科学与工程版)，Vｏ１.2６.Ｎo.６．,Dｅc．:748—７5１[2] 王明祺.交通流理论的研究进展．力学进展.１995(3):343－3５6[3] Paynｅ，H.J.，Modｅｌｓ of ｆｒeeway tｒａｆfic and contrｏｌ,iｎ”Mtｈematiｃal Meｔhodｓ ｏｆ Publiｃ Sysｔems”(ed．Ｂy Ｂｅkey,G.Ａ.）［ｃ]．19７1,１(1）: 51-６1[4] 吴正．低速混合型都市交通的流体力学模型.力学学报，Vol.。