八年级奥校35讲面积和面积法证题基础知识1.有关面积计算公式及等积定理、面积定理2.面积问题主要有两个方面，即计算和证明（另外尚有作图），前者常用有关公式，通过代数方法解决；后者常用等积变形（即等积变换）的方法解决，常用方法归纳如下：（1）利用面积公式；（2）利用等高的两三角形面积之比等于底边之比；（3）利用相似三角形面积之比等于它们的相似比的平方；（4）利用中线把三角形的面积分成相等的两部分；（5）利用等底等高的两个三角形面积相等例题精析例1 已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且△ABC、△ACD、△ABD的面积分别为，，，求△ABO的面积S[分析]此例中，直接出现面积，因此，一看便知须用面积关系进行解答，在解题过程中，常常把多边形面积转化为三角形的面积，再把三角形面积转化为底和高的问题，在转化中要特别留心是否等底或等高例2 在Rt△CAB中，∠CAB=，AD、AE分别是高和角平分线，且△ABE、△AED的面积分别为，，求证△ADC的面积S[分析]因Rt△ADC∽Rt△BDA，故可考虑用相似三角形面积之比等于相似比的平方解：Rt△ADC∽Rt△BDAAE是∠CAB的平分线 。
例3 如图，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，求证：[分析]运用两个等高三角形的面积之比等于它们底之比，即可获证说明：此例提供了一个把线段之比转化为面积之比的好方法，它在解决线段与面积关系方面起着重要的作用证明：∵ ∴[思考]此例中，当点E与点D重合时，结论仍成立吗？例4 已知从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，分别与对边或其延长线交于D、E、F，求证：[分析]利用AD∥EB∥FC可找出等高的三角形，再利用等底等高的三角形等积作等积代换，问题即可解决证明：∵AD∥EB∥FC,∴，，∴ 即 ∴即 例5 如图，已知点O为△ABC内一点，AD、BE、CF过点O分别交BC、CA、AB于点D、E、F求证：[分析]解此题的关键是化异分母为同分母，根据例3，可将线段的长度之比转化为面积之比，再由面积之比即可得出证明证明：∵∴同理 ，∴ = =[思考]1.你能利用面积公式证明吗？2.根据题设你能证明吗？例6 在△ABC中，若BC>BA，AD、CE是两条高（如图），求证：BC+AD≥AB+CE.[分析]“高不离积”，凡涉及三角形高的关系式，不妨用面积法试一试。
证明：[思考]1.不用面积法，你能证明本题结论吗？2.从本题你可以发现并归纳出什么规律？3.求证：直角三角形斜边与斜边上高的和大于两条直角边的和例7 E是平行四边形ABCD中AB上任一点，EF∥AC交BC于F，求证：△ADE与△DCF等积[分析] 此题证法较为灵活，可根据同底等高的两个三角形面积相等；有一对角相等的两个三角形的面积比等于角的两边乘积之比；等面积的积差比例等方法来解决证1 连结AF、CE，∵ABCD是平行四边形∴AB∥DC∴，同理 ，∵EF∥AC，∴，∴证2 ∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=DC，∵EF∥AC，∴，∴∴，∵∠DAB=∠DCB，∴，∴例8 在△ABC的边AB、BC、CA上取AD、BE、CF各等于所在的边长的三分之一，求证△DEF的面积等于△ABC面积的三分之一分析 因为△DEF与△ABC之间没有直接关系，因此要证，只要证明：即可，要证它们与的关系则可用同高的两角形面积之比等于它们底的比；或利用相似三角形的性质；或利用有一对角相等的两个三角形面积之比等于角两边乘积之比证1: 连结AE，∵△ABE与△ABC等高，，∴同理 同理 ∴证2: ∵∠B是△ABC与△BDE的公共角。
∴ ∴同理 ∴证明3：取BD之中点M，连结EM， ∵ ∴ME∥AC ∴△MBE∽△ABC ∴，， 同理可证： ∴例9．四边形ABCD的两对角线AC、BD之中点M、N，作MO∥DB，NO∥AC，各边之中点E、F、G、H与O连结，求证：OE、OF、OG、OH分四边形ABCD为四等分分析1 由于连结三角形中位线可以得到一个三角形的，为此连结MF、MG，可证，要证，只须证由已知可得OM∥FG，△OFG与△MFG是同底等高的三角形，因而可证其它部分同理可证证1: 连结MF、MG、FG，∵F、M是BC、AC之中点，∴同理∴∵F、G是BC，CD之中点，∴FG∥BD，∵OM∥BD，∴FG∥OM，∴，∴，同理分析2 连结各中点得平行四边形EFGH，恰等于的一半，又，要证，只要证即可，由已知可证，△MHE≌△CGF，即可，由已知可证，△MHE≌△CGF，从而得证证2：连结EF、FG、GH、HE、EM、HM，∵E、H是AB、AD之中点，∴EHBD，同理FGBD∴EHFG，∴EFGH是平行四边形，∵∵OM∥BD，EH∥BD，∴OM∥EH。
∴，∵H、M是AD、AC的中点，∴HM=CD=CG，同理EM=FC，∴△MHE≌△CGF，（SSS），∴∴，即同理.练习1.在△ABC的边BC上取一点P，过点P作PE∥BA交AC于E，PD∥CA交BA于D，且□ADPE与△ABC的面积之比为，求的值.2.已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，△AOD的面积，△BOC的面积，求梯形ABCD的面积S.3.如图，设M是△ABC的边AC的中点，过M作直线ME交AB于点E，过B作BF∥EM交AC于F，求证：4.梯形的面积被一条对角线分成3：7，求这梯形被它的中位线所分成两部分的面积之比5.如图，△ABC的三条中线AD、BE、CD相交于O，求证：6.用面积法证明：在△ABC中，M、N分别在AB、AC上，且AM=MB，AN=NC，求证：MNBC7.已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE.（提示：作DH⊥AM于H，EK⊥AM于K，连结DM、EM，要证DN=NE，只需证DH=EH，即证，然而，）8.求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰所引的垂线段之和为定值9.如图，在□ABCD的CD、AD边上各取一点，E、F，使AE=CF，如果AE、CF相交于P，则PB平分∠APC。
10.D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，F、G各是BD、CE之中点，求证△AFG的面积等于四边形BCDE面积的.练习题解1．解：∵PE∥AB，∴ 同理：，∴（1）又由PE∥AB得，由∥AC得：，∴（2）由（1）（2）得，∴，（3），∴（4）由（3），（4）知2.解，设△AOB，△DOC的面积分别为，AD∥BC∴3.证：连结BM，∵BF∥EM，∴，，∴∵M是AC之中点，∴∴4.证：设梯形ABCD，AB∥DC，EF为中位线，设BD对角线分梯形为两部分的面积比3：7即，∵AB∥DC，∴△BCE与△ABD等高，∴，令，则，∴∴5.证：∵，∴，∵∴同理可证6.证明：MN∥BC，7.证：过D作DH⊥AM于H，过E作EK⊥AM于K，∵8.分析，PE+PD之定值为何值，移动PD至C，可知定值为AB（腰）上的高CF证：过C作CF⊥AB于F，连结AP∵，则∴PE+PD=CF9.证：作BG⊥AE于G，BH⊥CF于H，连结BF、BE，则，∴而，∴而∵AE=CF ∴BG=BH，∴∠BPG=∠BPH，即PB平分∠APC10.证，连结DG、EF、FC取DE之中点M，连结AM，FM，GM∵G是EC之中点，M是DE之中点，∴MG∥AC，∴同理∴∵，∴同理，∴10。