本节重点：熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念；区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同；掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件．个点相对于空间，如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每 这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．定 义 2.4.1 设 X 是 一 个 拓 扑X.如果点xex的每一个邻域U中都有A中异于x的点，即UG (A-{x})H ,则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点.集合A的所有凝聚点构成的集合称为 A的导集，记作d(A).如果xEA并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻，则称 x 为 A域 U 使得 UG (A-{x})=的一个孤立点．即:(牢记)在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它 所在的拓扑空间的那个给定的拓扑．因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而 又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容 许产生任何混淆．由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑 的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的 注释，而请读者自己留心．某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要 以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间 都有效．以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象．例 2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集.由于X中的每一个单点集 都是开集，因此如果xeX ,贝V X有一个邻域{x},使得，以上论证说明，集合 A 没有任何一个凝聚点，从而 A 的导集是空集，即 d(A)二例 2.4.2 平庸空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集.我们分三种情形讨论:第1种情形：A=.这时A显然没有d(A)=可以参见定理 2.4.1 中第(1)条的证明.)任何一个凝聚点，亦即第 2 种 情 形 ： A 是 一 个 单 点 集 ， 令 A} 如 果 xex，点x只有惟一的一个邻域X,这(A).然而对于；因此 x 是 A 的一个凝聚点，x^d的惟一邻域 X 有：所以d(A)=X-A．第3种情形：A包含点多于一个.请读者自己证明这时X中的每一个点都是A的凝聚点，即d (A)=X.定 理 2.4.1设 X 是 一 个 拓 扑 空 间 ，l)d(2)AB 蕴涵 d（A ）d（B）；(3) d (AUB)=d (A)Ud(B)；(4) d (d (A)) AUd(A).证明 (1)由于对于任何一点xex和点x的任何一个邻域U,有UGd（B）．这 证 明 了 d （ A ）3）根据（2），因为 A，BAUB,所以有 d（A），d（B）d (AUB)，从而 d（A）Ud（B）d(AUB)．另一方面，如果综上所述，可见（3）成立．（这是证明一个集合包含于另一个集合的另一方要证只要证即可．）4）设：即（4）成立．定 义 2.4.2 设 X 是个拓扑空间X.如果A的每一个凝聚点都属于A,即d (A) A,则称A是拓扑空间X中的一个闭集．例如，根据例2.4.1和例2.4.2中的讨论可见，离散空间中的任何一个子集 都是闭集,而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集．X.则A是一个闭集，当且仅当A的补是一个开集.证明 必要性：设 A 是一个闭集充分性：设：即A是一个闭集.例 2.4.3 实数空间 R 中作为闭集的区间．设a,b$R, aVb.闭区间[a, b]是实数空间R中的一个闭集，因为[a, b]的补集 二(-g, a)G(b,g)是一个开集．同理，(-g, a], [b, g)都是闭集，(-g, g) =R显然更是一个闭集.然 而开区间(a, b)却不是闭集，因为a是(a, b)的一个凝聚点，但a (a, b).同理区间(a, b], [a, b),(-g, 8)和(b,g)都不是闭集.定理2・4・3设X是一个拓扑空间•记F为所有闭集构成的族•则:⑴ X, eF(2) 如果A,BeF,则AUBeF从而如果在此定理的第（3）条中，我们特别要求的原因在于当时所涉及的交运算没有定义．证明根 据 定 理 2.4.2我们有T={|UGF｝其中，T为X的拓扑.(1 ) TX ,GT ,(2)若 A、BGF，则3）令：定理证明完成．总结：（1）有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开集．其余情形不■（2）有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭集．其余情形不一定．定 义 2.4.3 设 X 是 一 个 拓 扑 空间,AX,集合A与A的导集d（A）的并AUd⑷称为集合A的闭包，记作别)容易看出,(注意:与x^d(A)的区A=定 理 2.4.4 拓 扑 空 间 X 的 子 集 A 是 闭 集 的 充 要 条 件 是证 明 : 定 理 成 立 是 因 为 : 集 合 A 为 闭 集 当 且 仅 当d(A)A而这又当且仅当A=AUd(A)定理2・4・5设X是一个拓扑空间，则对于任意A,B£X,有：证明（1）成立是由于 是闭集（2）成立是根据闭包的定义．（3）成立是因为4）成立是因为=AUd(A)Ud(d (A))=AUd(A)=在第(3)条和第(4)条的证明过程中我们分别用到了定理 2.4.l 中的第(3)条和第(4)条．定 理 2.4.6 拓 扑 空 间 X 的 任 何 一 个 子 集 A 的 闭 包都是闭集．证明根据定理 2.4.4 和定理 2.4.5（4）直接推得．定理2・4・7设X是一个拓扑空间，F是由空间X中所有的闭某构成的族,则对于X的每一个子集A,有即集合A的闭包等于包含A的所有闭集之交.，而后者是证明 因为 A 包含于个闭集，由定理2.4.5(4)与定理 2.4.4另一方面，由于是一个闭集，并且，所以（“交”包含于形成交的任一个 成员）综合这两个包含关系，即得所求证的等式．由定理2.4.7可见，X是一个包含着A的闭集，它又包含于任何一个包含A 的闭集之中，在这种意义下我们说：一个集合的闭包乃是包含着这个集合的最 小的闭集．在度量空间中，集合的凝聚点，导集和闭包都可以通过度量来刻画．定义2.4.5设（X,p） —个度量空间.X中的点x到X的非空子集A的距 离P（x, A）定义为P（x, A）=inf{p（x, y）|y$A}根据下确界的性质以及邻域的定义易见：P（x,A）二0当且仅当对于任意 实数£>0,存在yGA使得p（x,y）V£，换言之即是：对于任意B （x,e）,而这又等价于：有 B(x,£)GAH对于x的任何一个邻域U有U GAH应用以上讨论立即得到．定理2.4.9设A是度量空间(X,P)中的一个非空子集•则(1)xWd(A)当且仅当 p(x, A-{x}) =0；(2) 当且仅当 P (x. A) =0.以下定理既为连续映射提供了等价的定义，也为验证映射的连续性提供了 另外的手段.定理2.4.10设X和Y是两个拓扑空间，f:X~Y •则以下条件等价：(l)f 是一个连续映射；( 2 ) Y 中 的 任 何 一 个 闭 集 B 的 原 象(B)是一个闭集;(3)对于X中的任何一个子集A, A的闭包的象包含于A的象的闭包，即(4) 对于Y中的任何一个子集B, B的闭包的原象包含B的原象的闭包，即证明 （1）蕴涵（2）．设 B一个闭集．则是一个开集，因此根据1)，是 X 中的一个开集，因此(B)是X中的一个闭集.(2)蕴涵(3)设 AX.由于f (A)根据(2)，成立.(3) 蕴 涵 (4) 设 A(B)X 应用（3）即得4 ） 蕴 涵 （ l ） ． 设 U 是 Y 中 的 一 个 开 集 ． 则是 Y 中的一个闭集．对此集合应用（4）可见:总结一下,到目前为止,证明映射连续的方法有几种?证明一个子集是开集,闭集的方法有几种?如何证明一个点是某个子集的凝聚点?作业:P69 1．2。