第一篇 力学基础第一章 运动的描述教学时间：5 学时本章教学目标：理解运动的绝对性和相对性；理解位置矢量和位移的不同含义； 能够根据运动方程求速度和加速度，能够根据速度和加速度求运动方程的表达式； 掌握伽利略变换公式，能够根据相对运动公式解决相关问题教学方式：讲授法、讨论法等教学重点：能够根据运动方程求速度和加速度，能够根据速度和加速度求运动方 程的表达式在经典力学中，通常将力学分为运动学、动力学和静力学本章只研究运动学 规律运动学是从几何的观点来描述物体的运动，即研究物体的空间位置随时间的 变化关系，不涉及引发物体运动和改变运动状态的原因§1.1 参考系 坐标系 物理模型一、运动的绝对性和相对性运动是物质的固有属性从这种意义上讲，运动是绝对的但我们所讨论的运动，还不是这种哲学意义上的广义运动即使以机械运动形式而言，任何物体在任何时刻都在不停地运动着例如，地球就在自转的同时绕太阳公转，太阳又相对于银河系中心以大约250 km/s的速率 运动，而我们所处的银河系又相对于其他银河系大约以600 km/s的速率运动着 总之，绝对不运动的物体是不存在的然而运动又是相对的 因为我们所研究的物体的运动，都是在一定的环境和特定的条件下运动。
例如，当 我们说一列火车开动了，这显然是指火车相对于地球（即车站）而言的因此离开特定的 环境、特定的条件谈论运动没有任何意义正如恩格斯所说：“单个物体的运动是不存 在的——只有在相对的意义下才可以谈运动二、参考系运动是绝对的，但运动的描述却是相对的因此，在确定研究对象的位置时，必 须先选定一个标准物体（或相对静止的几个物体）作为基准；那么这个被选作标准的物 体或物体群，就称为参考系同一物体的运动，由于我们所选参考系不同，对其运动的描述就会不同从运动学的角度讲，参考系的选择是任意的，通常以对问题的研究最方便最简 单为原则研究地球上物体的运动，在大多数情况下，以地球为参考系最为方便（以 后如不作特别说明，研究地面上物体的运动，都是以地球为参考系）但是当我们在 地球上发射人造“宇宙小天体”时，则应以太阳为参考系三、坐标系要想定量地描述物体的运动，就必须在参考系上建立适当的坐标系在力学中常用的有直角坐标系根据需要，我们也可选用极坐标系、自然坐标 系、球面坐标系或柱面坐标系等总的说来，当参考系选定后，无论选择何种坐标系，物体的运动性质都不会改 变然而，坐标系选择得当，可使计算简化物理模型任何一个真实的物理过程都是极其复杂的。
为了寻找过程中最本质、最基本的 规律，我们总是根据所提问题（或所要回答的问题），对真实过程进行理想化的简化 然后经过抽象提出一个可供数学描述的物理模型现在我们所提的问题是确定物体在空间的位置若物体的线度比它运动的空间 范围小很多时，例如绕太阳公转的地球和调度室中铁路运行图上的列车等；或当物 体作平动时，物体上各部分的运动情况（轨迹，速度，加速度）完全相同这时我们可 以忽略物体的形状、大小而把它看成一个具有一定质量的点，并称之为质点若物体的运动在上述两种情形之外，我们还可推出质点系的概念即把这个物 体看成是由许许多多满足第一种情况的质点所组成的系统当我们把组成这个物体 的各个质点的运动情况弄清楚了，也就描述了整个物体的运动如果我们研究物体的转动就必定涉及物体的空间方位，此时，质点模型已不适 用，因为一个点是无方位可言的若在我们所研究的问题中，物体的微小形变可以 忽略不计时，则可以引入刚体模型所谓刚体，是指在任何情况下，都没有形变的 物体当然，我们也可以把刚体看作一个各质元之间无相对位置变化且质量连续分布 的特殊质点系质点和刚体是我们在力学中所遇到的最初物理模型 综上所述：选择合适的参考系，以方便确定物体的运动性质；建立恰当的坐标 系，以定量地描述物体的运动；提出较准确的物理模型，以确定所提问题最基本的 运动规律。
§1.2 运动的描述 一、位矢、位移、速度、加速度在直角坐标系中的表示式 1、位置矢量点 P 在直角坐标系中的位置可由 P 所在点的三个坐标 x， y，z 来确定，或者用从原点0到P点的有向线段r来表示，矢量r叫做位置矢量（简称位矢,又称矢径)在直角坐标系中，位矢r可以表示成r = xi +yj +zk式中 i，j，k 分别表示沿 x， y， z 三轴正方向的单位矢量位矢 r 的大小为I rI = r= px2 +y2 +z2位矢的方向余弦：x y zcos a = — ,cos p== ,cos Y= .r r r质点的机械运动是质点的空间位置随时间变化的过程这时质点的坐标x, y，z 和位矢r都是时间t的函数表示运动过程的函数式称为运动方程，(轨道的参数方 程)可以写作x = x ( t ), y = ( t ), z = z( t ).r = r( t )知道了运动方程，就能确定任一时刻质点的位置，从而确定质点的运动质点在空间的运动路径称为轨道质点的运动轨道为直线时，称为直线运动 质点的运动轨道为曲线时，称为曲线运动轨道方程和运动方程最明显的区别，就在于轨道方程不是时间 t 的显函数。
例如，已知某质点的运动方程为x = 3sin—t, y = 3cos—t, z = 06 6 、y两式中消去t后,式中 t 以 s 计， x， y， z 以 m 计从 x， 得轨道方程x2 + y2 = 9, z = 0其表明质点是在z=0的平面内，作以原点为圆心，半径为3 m的圆周运动2．位移如图所示，设质点沿曲线轨道AB运动，在t时刻，质点在A处，在t+At时刻，质点运动到B处，A、B两点的位矢分别由r1和r表示，质点在时间间隔内位矢的增量|Ar| =2 ― r我们就称之为位移，它是描述物体位置变动大小和方向的物理量 位移是矢量，它的运算遵守矢量加法的平行四边形法则(或三角形法则)如图所示，位移的模只能记作△”，不能记作山△r通常表示位矢的模的增量,即 △r = |r2| |r1| ,而lArl则是位矢增量的模(即位移的模)而且在通常情况下 l^r I弦r必须注意，位移表示物体位置的改变，并非质点所经历的路程一般说来， l drl = ds显然，只有在At趋近于零时，才有I dr I = ds 应当指出，即使在At趋于0时，也没有I dr I = dr 这个等式成立在直角坐标系中，位移的表达式为Ar 二(x - x ) i + (y - y ) j + (z - z ) k = Axi + Av/ + Azk2 1 2 1 2 1位移的模为3 I ；((X2 - X1)2 + (y2 - V1)2 + (Z2 - Z1)2位移和路程的单位均是长度的单位，国际单位制(SI制)中为m。
3、速度：质点运动的快慢程度值，称为质点在t时刻附近At时间内的平均速度如上图，在时刻t到t+At这段时间内，质点的位移为那么Ar与At的比AB Arv = =-At At平均速度的方向与位移Ar的方向相同，平均速度的大小与在相应的时间At内 每单位时间的位移大小相同质点在某时刻或某位置的瞬时速度，等于该时刻附近At趋近于零时平均速度的 极限值，数学表示式为 v = lim 邑=空八A曲可见速度等于位矢对时间的一阶导数速度的方向就是At趋近于零时，平均速度或位移Ar的极限方向，即 沿质点所在处轨道的切线方向，并指向质点前进的一方速度是矢量，具有大小和方向描述质点运动时，我们也常采用一个叫做速率的物理量速率是标量，等于质点在单位时间内所行经的路程，而不考虑质点运动的方向 V = lim A =色=巴=V I” A dt d即瞬时速率就是瞬时速度的模在直角坐标系中，速度可表示成dr dx dy dzv = = i + j + k = v i + v j + v kdt dt dt dt x y z这时速度的模可以表示成v = v = Jv 2 + v 2 + v 2\ x y z速度和速率在量值上都是长度与时间之比，国际单位制(SI)中为m/s。
4．加速度加速度就是描述质点的速度（大小和方向）随时间变化快慢的物理量如图所示，VA 表示质点在时刻t、位置A处的速度，VB表示质点在时刻t+At、位置B处的速度，J3At?从速度矢量图可以看出，在时间At内质点速度的增量为 心=v _vB AA V与平均速度的定义相类似，比值二称为t时刻附近At时间内的平均加速度，即Avv 一 va = —b AAt平均加速度只是反映在时间At内速度的平均变化率.为了准确地描述质点在某一时刻t（或某一位置处）的速度变化率，须引入瞬时加速度.质点在某时刻或某位置处的瞬时加速度（简称加速度）等于该时刻附近厶t趋近于Av dv d 2r零时平均加速度的极限值，其数学式为a =lim 云二dt=A tO可见，加速度是速度对时间的一阶导数，或位矢对时间的二阶导数在直角坐标系中，加速度的表示式为d2ra =—dt2d2xdt2旦j+dt 2 Jd2 zdt 2加速度的模:a = a | = i a 2 + a 2 + a 2x y z加速度的方向:当At趋于0时，平均加速度或速度增量的极限方向例：一质点在XOY平面上运动，运动方程为x=2^;y=19-2t2,式中x、y单位为m, t单位是s。
1） 计算并图示质点的运动轨迹；（2） 计算 t=1s 末到 t=2s 末之间的平均速度；（3）计算2s末的速度和加速度； 解：（1）由质点的运动方程x=2t及y=19-2t2，消去t得质点的轨道方程为y = 19 - - x 22（2）当 t=1s 时，位置坐标为 x1=2m， y1=17m当 t=2s 时，位置坐标为 x2=4m， y2=11m1秒末到2秒末的位移为△*= x2- x1=2m， △，= y2- y1= -6m 所以1秒末到2秒末的平均速度为Arv =-Ag + AyjAt2i-6j(3)由分速度公式得v = dx = 2,v = dy = -4tx dt y dt 所以2秒末的速度为v = 2i -8j大小为 v = £22 + (-8)2 = 8.25m - s -1方向与X轴的夹角e为 由加速度公式得a =此x dt80 = tg -1(--) = tg -1(-4) = -76dv2=0, a = y = -4y dt所以 2 秒末的加速度为 a = -4j故a = \a | = 4m -s-2方向沿Y输负方向二、曲线运动的描述1、一般的平面曲线运动 为运算方便起见，常采用平面自然坐标系予以讨论，即将加速度沿着质点所在处 轨道的切线方向和法线方向进行分解，这样得到的加速度分量分别叫做切向加速度 和法向加速度。
设质点的运动轨道如图所示：t 时刻质点在 P1 点，速度为 v1 ；t+At时刻，质点运动到p点，速度为v2，Pl, P2两点的邻切角为在At时间内，速度增量为Av图b表示了 V], v2，Av三者之间的关系图中△卩就是BC矢量I i I B如果在AC上截取|ad | = |ab |= V] | 则剩下的部分|DC hl AC |-fAB hV2 l-V十化 i即。