人体行走时重心的数学模型为了研究杯中咖啡溢出问题，我们必须考虑杯子的运动状态，而杯子的运动状态主要由人 的运动状态所决定，所以我们必须研究人的运动状态人在行走过程中四肢的运动和躯干的扭 动会使得重心产生移动同时为了减小手中杯子里的咖啡溢出，人会尽量减小杯子与人的相对 位置的变化所以为了方便研究杯子的运动状态和人的运动状态之间的关系，我们假设人在运 动过程中，杯子相对人的位置是不变的，即杯子与人体重心的运动状态时相同的，所以我们将 杯子的运动状态看成人体重心的运动状态，进而分析人体的运动对杯中液体运动状态的影响重心是指合重力的作用点，而人体的重心是指人体各部位合重力的作用点人在自然站立 时，人体中心的位置大约在腰部肚脐附近如果人体改变了姿势，那么人体重心的位置一定会 发生改变因此人体的各组成部分的相对应的位置发生了变化，重心也会发生相应的变化例 如弯腰、举手 、抬腿等等因为人的行走具有周期性，所以人行走过程中重心的变化也具有周 期性假设人在行走过程中腿时刚体，即在行走过程中，跟骨到人体重心的距离在行走过程中始 终保持不变，则当某条腿从落足、支撑到摆动过程中，人体重心的运行轨迹是以该足跟骨为中 心，跟骨到重心的距离长为半径的一段向上凸的圆弧。
首先，分析人行走过程中左腿和右腿都和地面垂直幅度的情形我们从左脚起足和右脚落 足交替时开始分析，此后将过渡到右腿支撑、左腿摆动的阶段，此时重心的绝对高度变化为从 低到高，同时重心的位移路径为从左后向右前；继续行进时，人的运行方式变到右脚起足、左 脚落足的阶段，在这一左腿支撑、右腿摆动的阶段，此时重心的高度变化为从低到高，同时重 心的位置路径仍然为由右后向左前；继续行进时，将过渡到左脚起足和右脚落足阶段，在这一 阶段重心的高度将由从高到低，此时，重心的运行轨迹为左后向右前在上述过程中，当某腿 和地面垂直时，人体重心的高度最高，左右足在起足和落足交替时重心的高度最低至此，行 走运动完成了一个周期，而重心的运行轨迹也同时完成了一个周期概括地说从左脚起足和右 脚落足交替时开始一个周期内，重心的高低变换关系为：低—高—低—高—低，人体重心运行 的轨迹为：左后—右前—右前—左前下面将进行这样的变化过程我们从三个方向对重心运的重心在左右方向是晃动的行的轨迹进行观察分析，首先在左右方向是左一右一左一右……循环变化，即行走过程中人体z 轴表示重心分别是左足、图1 中， x的高度， p 为重心， l 为骨跟中心到重心的距离， a 为跟骨到原点的距离， m,n右足的足跟中心，A,b分别是右脚起步和左脚起步重心的高度。
而曲线C ,C表示的分别是左 12足与地面垂直发展到右足与地面垂直阶段的运行轨迹，它们分别是以 M,N 点为圆心，足跟中 心到人体重心P的距离l为半径的两个向上凸圆弧e = ZAMP = ZBNP = arcsin a/1为摇晃 的角度其次从行走中的上下方向看，重心是由高一低一高一低……变化着的，即人体的重心 在行走过程中在上下方向是跳动的 图2— 图2中，y轴方向表示人行走的方向，z轴方向表示重心的高度，其中点A, C, E,G表示 重心位置最低，是在彳丁走过程中左右两足起足和落足交替瞬间时；B, D, F表示重心位置最咼， 是在某腿和地面垂直瞬间时假设 A 点是左足落足右足起足的状态，随着行进，左腿逐渐到达 垂直位置，继续迈步，又到左脚后右脚前的状态，这过程中重心的位置变化为低—高—低，由 前面分析知：重心在为 ABC 间的运行轨迹是以左足为中心、左足跟中心到重心的距离为半径 的一段向上凸圆弧；同理，在 CDE 间的运行轨迹是以右足为中心、右足跟中心到重心的距离 为半径的一段向上凸圆弧； EFG 间的运行轨迹又是以左足为中心、左足跟中心到重心的距离 为半径的一段向上凸圆弧，然后循环。
从中可以看出， A,C, E,G 这些点，是左足和右足起、 落足交替时重心的位置，在它们的两侧重心运行的圆弧轨迹半径没有发生改变（前提是人的两 个足跟到重心的距离相等），但是圆心的位置发生了改变从人的正面来看（即从 XZ 平面来看），人的重心进行的是左右晃动和上下跳动，由前面分 析得知，重心在左右方向上的晃动是分别以两足跟中心为圆心， l 为半径的两段相连接的圆弧（见图1）所以重心的运动轨迹是一个循环的曲线从人体侧面来看（即从YZ平面来看）重心 的移动轨迹是时上时下波浪形的轨迹（见图 2）综合以上分析，我们可以得出人体在行走过程中重心的运动轨迹是一条螺旋形的曲线，假 设人是沿着直线做匀速运动，根据以上特点，我们建立如下的数学模型：首先，以人的身高为Z轴、人身体运动所在的直线为Y轴，且身体运动的方向为Y轴的正 方向人向前运动时肢体的左右方向为 X 轴（以右手方向为 X 轴的正方向），原点 O 为人站立 时两足跟中心连线的中点建立空间直角坐标系站立或行走过程中某条腿和地面垂直时重心距地面的高度为 Z ，即行走过程中左足和地面垂直、右足摆动的瞬间为模型建立时的起始时刻， o则人在行走运动过程中重心的移动轨迹方程为：x = - a + l sin tx = a + l sin t< y = ktz = lcos t< y = ktz = lcos t公式1、2中，a,l,k取正数，t > 0时，左足起支撑作用时，适用公式（1）,右足起支撑左右时，适用公式（2）,其中12 = a 2 + Z 2 , k表示人的行走速率，t为x, y, z的参量。
取值范围0为[0, +8 ] •当t = 0时，x = -a, y = 0, z = 1，此时重心向左右两侧偏离的位移最大，向前位移为 0,重心的位置最高通过mat lab画图任取1 = 0.8 m，a = 0.1m, k = 1m得到如下图形图3 由图中人体运动时重心沿着运动方向做螺旋运动，与前面的分析一致而杯子的运动状态与人 体运动状态相同，故图 3 也是杯子的运动状态由图 3 知杯子沿着人体运动方向做螺旋运动 故杯子中的咖啡同样沿着人体运动方向做螺旋运动加速度对杯子水溢出的影响通过将人行走的视频逐帧观察、分析膝盖和髋骨与上关节节点垂直方向所成的夹角a、B，并 选取向右为正方向图4绘制出a、B与散点图图6图5观察发现人走路的时候，髋骨和膝盖运动的角度二、I存在周期性 取其中一个周期进行拟合：a = 10sin(3t) — 110sin(3t) 一 1戈 Ef E [|="]人行走过程中的速度：人行走过程中的加速度v = a X leg — p X calfdva dt3 Osin (— (t^] — 7i) + 3由于速度在行走过程中的速度一直大于0其中leg为人大腿长度，calf为小腿长度。
加速度：90calf X sir. (3t) — 301eg X sin(t)[04-57]，[佔兀|卫—90calf X sir (3t：i — 301eg X:sin(t)135 322 calf X sin(^ t) 3Oleg X sin(t)，[-^.3-774]135 3-=calf X sini^ t) 3OlegX sin(t),[3.774,2-71]50403020100-10-20-30-40:中-5Q -图7晃动的高度h之间的关系I I I I I下面研究加速度a与水在杯为了得到加速度a和水在杯中晃动的的高度h之间的关系，我们对晃动部分的水到达最高点时 的受力进行分析如图：由图9的分析，易知:mg sing + N cos9 = mah = R tan 9 mg cosg = N sing可得 N tan9 sin9 + N cos9 =Nh sin9+ N cos9a=。